概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)試題及答案

1、.考試科目： 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)考試時(shí)間：120分鐘 試卷總分100分題號(hào)一二三四總分得分123456一、選擇題（在每個(gè)小題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，填在題末的括號(hào)中，本大題共5小題，每小題3分，總計(jì)15分）1擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，則在出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)的條件下出現(xiàn)1點(diǎn)的概率為（ a ）。(a)1/3 (b)2/3 (c)1/6 (d)3/62設(shè)隨機(jī)變量的概率密度，則k=（ b ）。(a)1/2 (b)1 (c)-1 (d)3/23對(duì)于任意隨機(jī)變量，若，則（ b ）。(a) （b）(c) 一定獨(dú)立 （d）不獨(dú)立5設(shè)，且，則p-24=（ a ）。(a)0.8543 (b)0.1457 (c)0.35

2、41 (d)0.2543 二、填空題（在每個(gè)小題填入一個(gè)正確答案，填在題末的括號(hào)中，本大題共5小題，每小題3分，總計(jì)15分）1設(shè)a、b為互不相容的隨機(jī)事件則（ 0.9 ）。2設(shè)有10件產(chǎn)品，其中有1件次品，今從中任取出1件為次品的概率為（ 1/10 ）。3設(shè)隨機(jī)變量x的概率密度 則（ 8/10 ）。4設(shè)d()=9, d()=16, ，則d()=（ 13 ）。精品.*5設(shè)，則（ n(0,1) ）。三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題10分，總計(jì)60分）1某廠有三條流水線(xiàn)生產(chǎn)同一產(chǎn)品，每條流水線(xiàn)的產(chǎn)品分別占總量的25，35，40，又這三條流水線(xiàn)的次品率分別為0.05，0.04，0.02?，F(xiàn)從出廠的產(chǎn)

3、品中任取一件，問(wèn)恰好取到次品的概率是多少？（1）全概率公式2設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度為 (1)確定常數(shù)a (2)求 (3)求分布函數(shù)f(x).（2）故a=5 。 （3分）當(dāng)x0時(shí),f(x)=0; （1分）當(dāng)時(shí)， （2分） 故 . （1分）精品.3設(shè)二維隨機(jī)變量（）的分布密度求關(guān)于和關(guān)于的邊緣密度函數(shù)。（3）4設(shè)連續(xù)型隨即變量的概率密度，求e(x),d(x) （4） （4分）（3分） （3分）四證明題（本大題共2小題，總計(jì)10分）2設(shè)是獨(dú)立隨機(jī)變量序列，且，試證服從大數(shù)定理。精品.(2)由切比雪夫大數(shù)定理可知服從大數(shù)定理。（1分）考試科目：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 考試時(shí)間：120分鐘 試卷總分100分一

4、、選擇題（在各小題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，填在題末的括號(hào)中，本大題共5個(gè)小題，每小題3分，總計(jì)15分） 1設(shè)為兩隨機(jī)事件，且，則下列式子正確的是aa b. 2. 設(shè)那么當(dāng)增大時(shí)， ca增大 b減少 c不變 d增減不定 3設(shè)a1 b. 2 c3 d0二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，總計(jì)15分 1 .設(shè)a、b、c、是三個(gè)隨機(jī)事件。用a、b、c表示事件“a、b、c至少有一個(gè)發(fā)生” ; 2設(shè)有10件產(chǎn)品，其中有1件次品，今從中任取出1件為次品的概率是 0.1 3設(shè)隨機(jī)變量x與y相互獨(dú)立，則隨機(jī)變量的概率密度函數(shù) ; 精品.4已知?jiǎng)t 1.16 三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題10分，共

5、計(jì)60分）設(shè)考生的報(bào)名表來(lái)自三個(gè)地區(qū)，各有10份，15份，25份，其中女生的分別為3份，7份，5份。隨機(jī)的從一地區(qū)先后任取兩份報(bào)名表。求先取到一份報(bào)名表是女生的概率。解.設(shè)為“取得的報(bào)名表為女生的”,為“考生的報(bào)名表是第i個(gè)地區(qū)的”,i=1,2,3由全概率公式 2分 3分 3分 1分即先取到一份報(bào)名表為女生的概率為. 1分設(shè)隨機(jī)變量x的概率密度為 ，求 a值； x的分布函數(shù)；(1) ， 2分 (2) 1分 3分 1分精品.(3) 3分設(shè)二維隨機(jī)變量有密度函數(shù)：求：（1）常數(shù)；（2）落在區(qū)域d的概率，其中3. ， 5分 5分4 . 設(shè)足球隊(duì)a與b比賽，若有一隊(duì)勝4場(chǎng)，則比賽結(jié)束，假設(shè)a，b在每場(chǎng)

6、比賽中獲勝的概率均為，試求平均需比賽幾場(chǎng)才能分出勝負(fù)？4. 設(shè)為需要比賽的場(chǎng)數(shù)， 1分則， 4分所以 4分答：平均需比賽6場(chǎng)才能分出勝負(fù) 1分設(shè)為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列, 證明服從大數(shù)定律。2 1分精品. 1分令則 2分，由切比雪夫不等式知 1分故有，即服從大數(shù)定律。 1分1對(duì)于事件，下列命題正確的是da若互不相容，則 b若相容，則若互不相容，則 若 那么2. 假設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，密度函數(shù)為若與有相同的分布函數(shù)，則下列各式中正確的是ca； b； c； d；. 若，那么的聯(lián)合分布為c.二維正態(tài)，且；. 二維正態(tài)，且不定； . 未必是二維正態(tài)； . 以上都不對(duì) 精品. 設(shè)隨機(jī)變量和的方差存在

7、且不等于，則是和的c a . 不相關(guān)的充分條件，但不是必要條件；b .獨(dú)立的必要條件，但不是充分條件； c . 不相關(guān)的充分必要條件； d . 獨(dú)立充分必要條件二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，總計(jì)15分1. 設(shè)a、b、c、是三個(gè)隨機(jī)事件。用a、b、c表示事件“a、b、c恰有一個(gè)發(fā)生” ; 2. 設(shè)離散型隨機(jī)變量x分布律為則a= 1/5 3. 用的聯(lián)合分布函數(shù)表示= ; 4已知且則 7.4 三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題10分，共計(jì)60分）轟炸機(jī)轟炸目標(biāo)，它能飛到距離目標(biāo)400，200，100（米）的概率分別為0.5，0.3，0.2，又設(shè)他在距離目標(biāo)400，200，100（米）的命中

8、率分別為0.01，0.02，0.1。求目標(biāo)被命中的概率。1.由全概率公式 2分 7分目標(biāo)被命中的概率為. 1分設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 ，求值； 的分布函數(shù)；求落在區(qū)間內(nèi)的概率。2.(1) ， 2分 (2) 1分精品. 4分 (3) 3分設(shè)二維隨機(jī)變量的密度函數(shù)：求：求關(guān)于與關(guān)于的邊緣分布密度；3. 當(dāng)時(shí)，3分于是 2分 同理 5分4 .設(shè)隨機(jī)變量具有密度函數(shù)，求及。4. 5分 5分四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）設(shè)，是獨(dú)立隨機(jī)變量序列，精品.證明服從大數(shù)定律。2由切比雪夫大數(shù)定理可知服從大數(shù)定理。（1分）一、填空題（本大題共5小題，每小題4分，總計(jì)20分）1. 設(shè)為隨機(jī)事件,

9、則 2/3 2設(shè)10把鑰匙中有2把能打開(kāi)門(mén), 現(xiàn)任意取兩把, 能打開(kāi)門(mén)的概率是 17/45 3設(shè), 且與相互獨(dú)立, 則 35 4設(shè)隨機(jī)變量上服從均勻分布,則關(guān)于未知量的方程有實(shí)根的概率為_(kāi)5/6_5. 設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,方差,用切比雪夫不等式估計(jì)得 4/5 .二、選擇題（在各小題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，填在題末的括號(hào)中，本大題共5個(gè)小題，每小題4分，總計(jì)20分） 1設(shè)事件相互獨(dú)立,且,，則有 b (a) ; (b) ; (c) ; (d) 2. 設(shè),那么概率 d (a) 隨增加而變大; (b) 隨增加而減小； (c) 隨增加而不變; (d) 隨增加而減小 3. 設(shè),則 c (a)

10、; (b) ; (c) ; (d) 4設(shè)相互獨(dú)立，服從上的均勻分布，的概率密度函數(shù)為，則d(a) ; (b) ; (c) ; (d) 三、計(jì)算題（本大題共5小題，每小題10分，共計(jì)50分）1某產(chǎn)品整箱出售，每一箱中20件產(chǎn)品，若各箱中次品數(shù)為0件，1件，2件的概率分別為80，10，10，現(xiàn)在從中任取一箱，顧客隨意抽查4件，如果無(wú)次品，則買(mǎi)下該箱產(chǎn)品，如果有次品，則退貨，求: (1) 顧客買(mǎi)下該箱產(chǎn)品的概率；(2) 在顧客買(mǎi)下的一箱產(chǎn)品中，確實(shí)無(wú)次品的概率.精品.解:設(shè)表示“顧客買(mǎi)下該箱產(chǎn)品” ，分別表示“箱中次品數(shù)為0件，1件，2件” 則80，1010，1，(3分)由全概率公式得：448/47

11、5，(7分)由貝葉斯公式得：95/112 (10分)2已知隨機(jī)變量的密度為,且,求: (1) 常數(shù)的值; (2) 隨機(jī)變量的分布函數(shù)解: (1) 由, 解得 (4分) (2) ,當(dāng)時(shí), ，當(dāng)時(shí), , 當(dāng)時(shí), ， 所以 (10分)精品.3設(shè)二維隨機(jī)變量有密度函數(shù)： （1）求邊緣概率密度；（2）求條件密度；（3）求概率.解: （1） (4分)(2) 當(dāng)時(shí), =當(dāng)時(shí), (8分)(3) (10分)4 . 設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分布，都服從參數(shù)為的泊松分布，設(shè), 求隨機(jī)變量與的相關(guān)系數(shù)4 .解: , (8分)=3/5 (10分)四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）1. 設(shè)事件相互獨(dú)立,證明事件與

12、事件也相互獨(dú)立1. 證明：由于事件相互獨(dú)立，所以，精品.，(2分)所以即,所以事件與也相互獨(dú)立 (5分)一、填空題（本大題共5小題，每小題4分，總計(jì)20分）1 .設(shè)是兩個(gè)隨機(jī)事件,則事件“同時(shí)發(fā)生” 的對(duì)立事件的概率為 0.6 2設(shè)有40件產(chǎn)品，其中有4件次品，從中不放回的任取10次，每次取一件，則最后一件取的為次品的概率是 0.1 3設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立,則隨機(jī)變量的方差為 24 4設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,方差,用切比雪夫不等式估計(jì)得,則 10 二、選擇題（在各小題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，填在題末的括號(hào)中，本大題共5個(gè)小題，每小題4分，總計(jì)20分） 1設(shè)總體,是取自總體的一個(gè)樣本, 則

13、為參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量的是( a )(a) ; (b) ; (c) ; (d) 2. 設(shè),則滿(mǎn)足的參數(shù)( c )(a) 0; (b) 1; (c) 2; (d) 3 3設(shè), , 則( c )(a) ; (b) ; (c) ; (d) 三、計(jì)算題（本大題共5小題，每小題10分，共計(jì)50分）1兩個(gè)箱子中都有10個(gè)球，其中第一箱中4個(gè)白球，6個(gè)紅球，第二箱中6個(gè)白球，4個(gè)紅球，現(xiàn)從第一箱中任取2個(gè)球放入第二箱中，再?gòu)牡诙渲腥稳?個(gè)球，(1) 求 從第二箱中取的球?yàn)榘浊虻母怕剩?2) 若從第二箱中取的球?yàn)榘浊?，求從第一箱中取?個(gè)球都為白球的概率1解: 設(shè)表示“從第二箱中取的球?yàn)榘浊颉?，分別表示“從第

14、一箱中取的2個(gè)球都為白球,1白1紅，2個(gè)球都為紅球精品.” ， 則=2/15，=8/15，=1/3，2/3，7/12，1/2，(4分) 由全概率公式得：17/30， 由貝葉斯公式得：8/51 (10分)2設(shè)隨機(jī)變量與同分布，的概率密度為 ，事件與事件相互獨(dú)立，且，求常數(shù)的值。2解: 由于事件相互獨(dú)立，所以，所以，解得或（舍去），(5分)所以，得 (10分)3設(shè)二維隨機(jī)變量有密度函數(shù)： （1）求常數(shù)；（2）求邊緣概率密度；（3）是否相互獨(dú)立。3解：（1）， (4分) 精品.（2）(8分)（3），所以相互獨(dú)立。(10分)4 . 設(shè)隨機(jī)變量，相關(guān)系數(shù)，設(shè)求： (1) 隨機(jī)變量的期望與方差 ；(2)

15、隨機(jī)變量與的相關(guān)系數(shù)4 . 解： (1) ，所以， ，所以，(5分)(2) 由于，所以 (10分)四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）1. 設(shè)事件相互獨(dú)立,證明事件與事件也相互獨(dú)立.1. 證明：由于事件相互獨(dú)立，所以，所以即,所以事件與也相互獨(dú)立。(5分)精品.一、填空題（本大題共6小題，每小題3分，總計(jì)18分）1. 設(shè)為隨機(jī)事件,則 2/3 210個(gè)球隊(duì)平均分成兩組進(jìn)行比賽,則最強(qiáng)的兩個(gè)隊(duì)分到同一組的概率為 2/9 3設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)間上服從均勻分布,則的數(shù)學(xué)期望為 4設(shè)為二項(xiàng)分布,且,則_8_ 0.2 5. 設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)間上服從均勻分布,用切比雪夫不等式估計(jì)得 1/12 .二

16、、選擇題（在各小題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，填在題末的括號(hào)中，本大題共6個(gè)小題，每小題3分，總計(jì)18分） 1設(shè)為事件,且,則下列式子一定正確的是( b )(a) ; (b) ; (c) ; (d) 2. 設(shè)隨機(jī)變量的分布率為, ,則 ( d )(a) ; (b) ; (c) ; (d) 3. 設(shè),概率密度為,分布函數(shù)為,則有( a )(a) ; (b) ; (c) , ; (d) , 4. 設(shè),則( a )(a) ; (b) ; (c) ; (d) 5. 設(shè)隨機(jī)變量滿(mǎn)足方差,則必有( b )(a) 與獨(dú)立; (b) 與不相關(guān);(c) 與不獨(dú)立; (d) 或三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小

17、題10分，共計(jì)60分）1有三個(gè)盒子,第一個(gè)盒子中有2個(gè)黑球,4個(gè)白球,第二個(gè)盒子中有4個(gè)黑球,2個(gè)白球,第三個(gè)盒子中有3個(gè)黑球,3個(gè)白球,今從3個(gè)盒子中任取一個(gè)盒子,再?gòu)闹腥稳?球.(1) 求此球是白球的概率；(2) 若已知取得的為白球,求此球是從第一個(gè)盒子中取出的概率. 解:設(shè)表示“取得的為白球” ，分別表示“取得的為第一，二，三盒的球” 則精品.，(2分)由全概率公式得：1/2，(6分)由貝葉斯公式得：4/9 (10分)2已知連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為,其中為常數(shù)。求: (1) 常數(shù)的值; (2) 隨機(jī)變量的密度函數(shù);(3) 解: (1) 由右連續(xù)性, ， 得， 解得 (6分) (2) ,

18、 (8分)(3) =1/3 (10分)3設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)間上服從均勻分布, 求概率密度。3解: 的概率密度為，反函數(shù)導(dǎo)數(shù)，所以的概率密度為精品.(10分)4設(shè)二維隨機(jī)變量的密度函數(shù)： （1）求常數(shù)的值；（2）求邊緣概率密度；（3）和是否獨(dú)立?4解: （1）由，得 (3分)(2)(6分) (9分)(3) ，不獨(dú)立(10分)5 . 設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)： 求（1）數(shù)學(xué)期望與；（2）與的協(xié)方差5 .解: ,(2分),(4分) (6分)，所以=9/40 (10分)四、證明題（本大題共1小題，每小題4分，共4分）1. 設(shè)三個(gè)事件滿(mǎn)足,試證明:1. 證明：由于，所以，所以 (4分)一、填空題（本大題

19、共6小題，每小題3分，總計(jì)18分）精品.1. 設(shè)為隨機(jī)事件,則 0.1 210件產(chǎn)品中有4件次品,從中任意取2件,則第2件為次品的概率為 0.4 3設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)間上服從均勻分布,則的概率密度函數(shù)為 4設(shè)隨機(jī)變量的期望,方差,則期望 54 5. 設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為2的泊松分布,則應(yīng)用切比雪夫不等式估計(jì)得 1/2 .二、選擇題（在各小題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，填在題末的括號(hào)中，本大題共6個(gè)小題，每小題3分，總計(jì)18分） 1設(shè)為對(duì)立事件, , 則下列概率值為1的是( c )(a) ; (b) ; (c) ; (d) 2. 設(shè)隨機(jī)變量,概率密度為,分布函數(shù),則下列正確的是( b )(a) ; (b) ; (c) , ; (d) , 3. 設(shè)是隨機(jī)變量的概率密度,則一定成立的是( b )(a) 定義域?yàn)? (b) 非負(fù); (c) 的值域?yàn)? (d) 連續(xù) 4. 設(shè),則( a )(a) ; (b) ; (c) ; (d) 5. 設(shè)隨機(jī)變量的方差,相關(guān)系數(shù),則方差 ( d )(a) 40; (b