基本波動(dòng)方程的求解方法

1、關(guān)于弦振動(dòng)的求解方法李航一、無界弦振動(dòng)1、一維齊次波動(dòng)方程達(dá)朗貝爾方程解無界的定解問題 在常微分方程的定解問題中，通常是先求方程的通解，然后利用定解條件確定通解所含的任意常數(shù)，從而得到定解問題的解。考慮無界的定解問題一般方程為由達(dá)郎貝爾公式，解在點(diǎn)的值由初始條件在區(qū)間內(nèi)的值決定，稱區(qū)間為點(diǎn)的依賴區(qū)域，在平面上，它可看作是過點(diǎn)，斜率分別 為的兩條直線在軸上截得的區(qū)間。2、一維非齊次波動(dòng)方程的柯西問題達(dá)朗貝爾方程解非齊次定解問題令，可將此定解分解成下面兩個(gè)定解問題：(I) (II) 其中問題(I)的解可由達(dá)朗貝爾公式給出：。對(duì)于問題(II)，有下面重要的定理。定理（齊次化原理）設(shè)是柯西問題的解，則

2、是問題(II)的解。二、有界的弦振動(dòng)方程1、分離變量法齊次條件的分離變量法（1）（2）（3）設(shè)，代入方程（1）得：上式右端不含，左端不含，所以只有當(dāng)兩端均為常數(shù)時(shí)才能相等。令此常數(shù)為，則有：（4）（5）所齊次邊界條件可得：（6）從而特征值問題:對(duì)的取值分三種情況，進(jìn)行討論。這個(gè)定解的特點(diǎn)是：偏微分方程是齊次的，邊界條件是齊次的。求解這樣的方程可用疊加原理。類似于常微分方程通解的求法先求出其所有線性無關(guān)的特解，通過疊加求定解問題的解。非齊次條件分離變量法分離變量法要求方程是齊次、邊界條件也為齊次,如果上述條件之一破壞，則不能采用分離變量法解。分離變量法要求定解問題的邊界條件是齊次的，這是因?yàn)橛梅?/p>

3、離變量法要將特征函數(shù)疊加起來，如果邊界條件非齊次，則通過疊加后的函數(shù)就不可能滿足原邊界條件。所以當(dāng)邊界條件是非齊次時(shí)，必須設(shè)法將邊界條件化成齊次的。如：設(shè)，通過適當(dāng)選取使新的未知函數(shù)滿足齊次邊界條件，這只須使?jié)M足：，即可。小結(jié)：分離變量法的解題步驟a， 令b， 將試探解帶入泛定方程。c， 將等式兩邊同時(shí)乘以，進(jìn)行分離變量，獲得兩個(gè)常微分方程。d， 由邊界條件，將方程解出需要討論本征值（，）三種情況，獲得本正值和本征函數(shù)。e， 寫出解的形式后與一起構(gòu)成通解形式。f， 由初始條件確定待定系數(shù)。三、無界、有界，齊次、非齊次的通解方法傅里葉級(jí)數(shù)解法設(shè)（4），其中構(gòu)造讓其滿足（2）則：所以對(duì)有：令（9）式帶回到（6）式解出：整理出與構(gòu)成的解，再帶回到（3）是求出待定系數(shù)。小結(jié)：一般傅里葉級(jí)數(shù)的求解步驟1、 令，其中展開基為對(duì)應(yīng)齊次函數(shù)本征函數(shù)（由邊界條件決定）2、 將帶入泛定方程后，將也按展為傅里葉級(jí)數(shù)，比較等式兩邊，獲得的常微分方程。3、 將帶入初始條