函數(shù)的連續(xù)性與間斷點.ppt

1、1,第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性 與間斷點,函數(shù)的連續(xù)(continuity),函數(shù)的間斷點,小結(jié) 思考題 作業(yè),(discontinuous point),第一章 函數(shù)與極限,2,間變化很小時,生物生長的也很少.,在函數(shù)關(guān)系上的反映就是函數(shù)的連續(xù)性.,在自然界中,許多事物的變化是連續(xù)的,如氣溫變化很小時,單擺擺長變化也很小.,時,在高等數(shù)學中,主要的研究對象就是連續(xù)函數(shù).,這種現(xiàn)象,從直觀上不妨這樣說, 連續(xù)函數(shù)的,特征就是它的圖形是連續(xù)的,也就是說,可以,一筆畫成.,3,1. 函數(shù)的增量,自變量,稱差,為自變量在,的增量;,函數(shù)隨著從,稱差,為函數(shù)的,增量.,如圖:,一、函數(shù)的連續(xù)性,4,連續(xù),2

2、. 連續(xù)的定義,定義1,設(shè)函數(shù) f (x)在,內(nèi)有定義,若,則稱函數(shù)f(x)在x0處,并稱x0為函數(shù)f(x)的,連續(xù)點.,定義2,若,則稱函數(shù)f(x)在x0處,連續(xù).,充分必要條件,5,連續(xù)性的三種定義形式不同,這三種定義中都含有,但本質(zhì)相同.,f (x)在,內(nèi)有定義;,(1),(2),(3),三個要素:,定義3,把極限定義嚴密化,便于分析論證.,存在;,6,一般講,證明的命題用函數(shù)連續(xù)的定 義1方便;,是判斷分段函數(shù)在分界點處是否連續(xù)用,判斷函數(shù)在某點是否連續(xù),尤其,定義2方便.,某一鄰域而言.,由上述定義可知,f(x)在x0點的連續(xù)性,是描述 f(x)在x0點鄰域的性態(tài)的.,即它是對,因此

3、在孤立點處無連續(xù)可言.,7,例,證,都是連續(xù)的.,類似可證,是連續(xù)的.,即,8,例,證,定義2,試證函數(shù),處連續(xù).,9,3. 左、右連續(xù),左連續(xù)(continuity from the,右連續(xù)(continuity from the,left);,right).,左連續(xù),右連續(xù),10,定理1,此定理常用于判定分段函數(shù)在分段點,處的連續(xù)性.,11,例,解,右不連續(xù).,所以,左連續(xù),12,4. 連續(xù)函數(shù)(continous function)與連續(xù)區(qū)間,上的,或稱函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).,在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),稱該區(qū)間,在開區(qū)間,右連續(xù),左端點,右端點,這時也稱該區(qū)間為,continuous,左

4、連續(xù),連續(xù)函數(shù),連續(xù)區(qū)間.,內(nèi)連續(xù),13,關(guān)于連續(xù)函數(shù), 有一個對某些問題的推理,定理2,很有用的定理.,的一個鄰域,使得在此鄰域內(nèi),是一條無縫隙的連綿而不斷的曲線.,連續(xù)函數(shù)的圖形,14,例如,有理整函數(shù)(多項式),內(nèi)是連續(xù)的.,因此有理分式函數(shù)在其定義域內(nèi)的每一點,有理分式函數(shù),只要,都有,因此有理整函數(shù)在,都是連續(xù)的.,第五節(jié)中已證,15,定義4,出現(xiàn)如下三種情形之一:,二、函數(shù)的間斷點及其分類,無定義;,不存在;,間斷點.,16,間斷點分為兩類:,第二類間斷點(discontinuity point of the second kind):,第一類間斷點(discontinuity p

5、oint of the first kind):,及,均存在,及,中至少一個不存在.,若,稱 為可去間斷點.,若,稱 為跳躍間斷點.,若其中有一個為振蕩,若其中有一個為,稱 為無窮間斷點.,稱 為振蕩間斷點.,17,例,由于函數(shù),無定義,故,為f(x)的 間斷點.,且,皆不存在.,第二類,第二類間斷點:,至少有,且是無窮型間斷點.,一個不存在.,18,例,有定義,不存在,故,為f (x)的 間斷點.,第二類,且是無窮次振蕩型間斷點.,之間來回無窮次振蕩,19,例,有定義,故,為f (x)的 間斷點.,第一類,的第一類間斷點.,則點x0為函數(shù) f(x) 的,且是跳躍間斷點.,跳躍型間斷點(Jum

6、p,discontinuity).,及,均存在,則點x0為,20,例,討論函數(shù),解,為函數(shù)的 間斷點.,第一類,且是可去間斷點(removable discontinuity).,連續(xù).,處無定義,可去間斷點.,21,則可使x0變?yōu)檫B續(xù)點.,對可去間斷點x0,如果,于A,(這就是為什么將這種間斷點稱為,使之等,可去間斷點的理由.),補充 x0的函數(shù)值,或改變,22,如補充定義:,如,但,23,總結(jié)兩類間斷點:,第一類間斷點:,跳躍型,第二類間斷點:,無窮型,可去型,無窮次振蕩型,極限與連續(xù)之間的關(guān)系:,f(x)在x0點連續(xù),f(x)在x0點存在極限,24,練習,解,函數(shù)無定義,是函數(shù)的間斷點.,由于,所以,是函數(shù)的第二類間斷點,且是無窮型.,由于,所以,是函數(shù)的第一類間斷點,且是跳躍型.,并指出其類型.,25,練習,設(shè),解,因為,所以,必需且只需,即,必需且只需,即,26,(見下圖),無窮型,無窮次振蕩型,三、小結(jié),1. 函數(shù)在一點連續(xù)的三個定義、必須滿足的,2. 區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);,3. 函數(shù)間斷點的分類:,間斷點,第一類間斷點:,跳躍型,可去型,第二類間斷點:,三個條件;,27,