西南交大 自動(dòng)控制課件CT_chapter4_2009.ppt

1、西南交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院 2009,2,第四章 根軌跡法,4.1 引言 4.2 根軌跡法的基本概念 4.3 繪制根軌跡的基本規(guī)則 4.4 繪制根軌跡舉例 4.5 參數(shù)根軌跡 本章小結(jié),3,4.1 引言,系統(tǒng)的穩(wěn)定性 閉環(huán)極點(diǎn)(系統(tǒng)的特征根) 系統(tǒng)響應(yīng)特性 閉環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn),1948年，W.R.Evans提出了根軌跡法： 當(dāng)開環(huán)增益或別的某個(gè)參數(shù)變化時(shí)特征根的軌跡圖找特征根的簡單的圖解法。,閉環(huán)極點(diǎn)決定了,返回,4,4.2 根軌跡的基本概念,反饋控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳函,Kg : 傳遞系數(shù)(開環(huán)根軌跡增益) zoi : 開環(huán)(傳函的)零點(diǎn), i=1,2,m. poj : 開環(huán)(傳函的)極點(diǎn), j=1,

2、2,.,n.,5,4.2 根軌跡的基本概念,于是，特征方程,(4.3),根軌跡法：根據(jù)開環(huán)傳函(開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn))，找出開環(huán)增益(或別的某個(gè)參數(shù))由0變化時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征根的軌跡。 根軌跡法的基本思想：開環(huán)傳函等于-1的s值，必為特征根。,6,4.2 根軌跡的基本概念,幅角條件與幅值條件,滿足幅角條件、幅值條件的 s 值就是特征方程的根，即閉環(huán)極點(diǎn)。幅角條件和幅值條件構(gòu)成根軌跡的基本條件。,7,4.2 根軌跡的基本概念,將特征方程寫成：,(4.7),(4.8),幅角條件,8,4.2 根軌跡的基本概念,將特征方程寫成：,(4.7),(4.9),(4.7),幅值條件,9,4.2 根軌跡的基本概念,由

3、(4.8)和(4.9)給出了根軌跡的基本原理： 以Kg為可變參數(shù)，s平面上滿足幅角條件的點(diǎn)構(gòu)成的曲線就是根軌跡； 根軌跡上各點(diǎn)的Kg值可由幅值條件確定。 由(4.8)和(4.9)也反映了根軌跡的幾何意義。故在分析和繪制根軌跡時(shí)，幅角和幅值應(yīng)可進(jìn)行圖解測量，故： 橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)采用同樣的尺度等分,10,4.2 根軌跡的基本概念,:繪制某二階系統(tǒng) 的根軌跡圖；,特征方程: 特征根:,K由01變化時(shí),特征根 s1,s2: K= 0， s1= 0 , s2 = -2； K= 1， s1 = s2 = -1 (z = 1)； 01), s1,s2:為兩個(gè)實(shí)根,11,4.2 根軌跡的基本概念,此時(shí),根軌跡

4、為過(1,0)點(diǎn)的垂線,1 K , (0 z 1), s1,s2:為共軛復(fù)根：,12,4.2 根軌跡的基本概念,根軌跡上的任何一點(diǎn)均滿足幅角條件：,對于任意一點(diǎn) s1 , 顯然 s1 (s12)180 對于s1= -1+ jw, 對應(yīng)的K 值：,返回,13,4.3 繪制根軌跡的基本規(guī)則,開環(huán)傳函 (開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)) 閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡 根軌跡性質(zhì)作圖規(guī)則特殊點(diǎn)根軌跡(手工繪制根軌跡概略圖),特征方程,14,4.3 繪制根軌跡的基本規(guī)則,特征方程寫成：,(4.7),考察Kg: 0(Kg0), 閉環(huán)系統(tǒng)特征根的軌跡。,15,4.3 繪制根軌跡的基本規(guī)則,規(guī)則1：根軌跡是連續(xù)的，且對稱于實(shí)軸；,規(guī)則2：

5、根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)；根軌跡的分支數(shù)(條數(shù))為maxn,m， n為開環(huán)(有限)極點(diǎn)數(shù)， m為開環(huán)(有限)零點(diǎn)數(shù)；,起點(diǎn): Kg= 0, 由(4.7), s = -poj , j=1,n; 即Kg= 0時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn) = 開環(huán)極點(diǎn) 終點(diǎn): Kg ,由(4.7), s = -zoi , i=1,m; 即Kg 時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn) = 開環(huán)零點(diǎn),16,4.3 繪制根軌跡的基本規(guī)則,nm時(shí), m個(gè)開環(huán)有限零點(diǎn)決定了m個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)的位置; 另(n - m)個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)趨向于無窮遠(yuǎn)(開環(huán)無限零點(diǎn)). 注: 如果包括無限零點(diǎn),則G(s)H(s)的零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)相等.,特征方程,17,4.3 繪制根軌跡的基

6、本規(guī)則,m個(gè)閉環(huán)極點(diǎn) = m個(gè)開環(huán)(有限)零點(diǎn),另(n - m)個(gè)閉環(huán)極點(diǎn):,即,另(n - m)個(gè)無限零點(diǎn)決定了(n - m)個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)的位置.,特征方程,18,4.3 繪制根軌跡的基本規(guī)則,一般n m ，根軌跡的分支數(shù)應(yīng)為閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)。 閉環(huán)極點(diǎn)數(shù) = 開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n = 系統(tǒng)階次n 在繪制其它可變參數(shù)的根軌跡時(shí)，可能出現(xiàn)等效傳函的mn的情況，這時(shí)將有(m-n)條根軌跡起始于(m-n)個(gè)開環(huán)無限極點(diǎn)。,19,4.3 繪制根軌跡的基本規(guī)則,推證： 開環(huán)共軛復(fù)數(shù)零、極點(diǎn)到實(shí)軸上的點(diǎn)的幅角和為2kp，因此對實(shí)軸上的根軌跡的幅角條件無影響; 實(shí)軸上根軌跡的左側(cè)的開環(huán)零、極點(diǎn)到實(shí)軸上的點(diǎn)的幅角均為0，因

7、此對實(shí)軸上的根軌跡的幅角條件也無影響；,規(guī)則3：實(shí)軸上根軌跡段存在的區(qū)間的右側(cè)，開環(huán)零點(diǎn)和開環(huán)極點(diǎn)之和為奇數(shù)。,20,4.3 繪制根軌跡的基本規(guī)則,設(shè)Nzo = 實(shí)軸上根軌跡右側(cè)的開環(huán)零點(diǎn)數(shù) Npo = 實(shí)軸上根軌跡右側(cè)的開環(huán)極點(diǎn)數(shù),規(guī)則3：實(shí)軸上根軌跡段存在的區(qū)間的右側(cè)，開環(huán)零點(diǎn)和開環(huán)極點(diǎn)之和為奇數(shù)。,推證：,21,4.3 繪制根軌跡的基本規(guī)則,規(guī)則4：根軌跡的漸近線。根軌跡有|n-m|條分支沿漸近線趨于(或始于)無窮遠(yuǎn)，這些漸近線的傾角fA及與實(shí)軸的交點(diǎn)sA分別為:,(4.11),(4.12),22,4.3 繪制根軌跡的基本規(guī)則,推證： 由(4.11)可知，不重復(fù)的漸近線只有n-m條。 n

8、m時(shí)(nm時(shí)情況類似) 當(dāng)Kg ，有n-m條根軌跡趨向于無限零點(diǎn)(s )，對無限遠(yuǎn)的閉環(huán)極點(diǎn)sk ，開環(huán)有限零點(diǎn)、極點(diǎn)都相當(dāng)于匯集到一點(diǎn)，-zoi, -poj 到 sk的矢量幅角、幅值都相同，s sk，趨近的漸近線為一條直線，,23,4.3 繪制根軌跡的基本規(guī)則,推論： 漸近線傾角fA,24,4.3 繪制根軌跡的基本規(guī)則,漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)sA,(4.14),(4.15),注意到 作多項(xiàng)式長除, (4.14)可寫為,推證：,25,4.3 繪制根軌跡的基本規(guī)則,又,漸近線上,對于s =sk ,相當(dāng)于有-zoi=-poj=sA 則,(4.16),由二項(xiàng)式定理,26,4.3 繪制根軌跡的基本規(guī)則,比較

9、(4.15)和(4.16)，可知,(4.16),(4.15),27,4.3 繪制根軌跡的基本規(guī)則,定義: 兩條(或兩條以上,成對)根軌跡在某點(diǎn)相遇后又分開的點(diǎn)稱為根軌跡的分離點(diǎn)(或匯合點(diǎn),可統(tǒng)稱為分離點(diǎn))。 實(shí)軸上的根軌跡，相鄰開環(huán)極點(diǎn)之間、相鄰開環(huán)零點(diǎn)之間必存在分離點(diǎn)。相鄰開環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)之間，或不存在分離點(diǎn)，或存在成對的分離點(diǎn)。,28,4.3 繪制根軌跡的基本規(guī)則,分離點(diǎn)處，特征方程為重根。因此，對于特征方程,F(s)是分離點(diǎn)的必要條件，不是充分條件。由(4.17)的兩個(gè)條件確定（Kg0 的）分離點(diǎn)。,29,4.3 繪制根軌跡的基本規(guī)則,規(guī)則6：根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為閉環(huán)系統(tǒng)的臨界穩(wěn)定點(diǎn)。確定

10、與虛軸交點(diǎn)和臨界增益值的方法： 利用Routh判據(jù)，確定臨界穩(wěn)定點(diǎn)； 特征方程中，代入s=jw令實(shí)部和虛部分別等于0，解出與虛軸交點(diǎn)w和臨界增益值,30,4.3 繪制根軌跡的基本規(guī)則,31,4.3 繪制根軌跡的基本規(guī)則,例如：要確定開環(huán)極點(diǎn)-po1處的出射角 設(shè)點(diǎn)s在根軌跡上，則,由此可推理得到公式 (4.18) 和 (4.19),32,4.3 繪制根軌跡的基本規(guī)則,出射角和入射角也可用下面的公式給出：,33,4.3 繪制根軌跡的基本規(guī)則,規(guī)則8：根軌跡的平衡性(走向) (n-m2) 當(dāng)n-m2時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)之和為常數(shù)。因而，隨著Kg的增大，一些根軌跡分支左行時(shí)，必有根軌跡另一些右行。,由特征方

11、程,又， 當(dāng)nm,34,4.3 繪制根軌跡的基本規(guī)則,當(dāng)n-m2時(shí)，,因此，隨著Kg的增大，一些特征根增大，另一些特征根必減小。,35,4.3 繪制根軌跡的基本規(guī)則,根據(jù)這些規(guī)則，可確定根軌跡的一些特殊點(diǎn)。由這些特殊點(diǎn)可繪制出根軌跡的概略圖。 根軌跡的其它點(diǎn)，根據(jù)幅角條件確定。 虛軸附近的根軌跡較為重要?？砂葱枰a(bǔ)充一些點(diǎn)，以較精確地繪制出這部分根軌跡。,返回,36,4.4 繪制根軌跡舉例, 單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳函如下, 試求: (1) 根軌跡圖; (2) 共軛主導(dǎo)極點(diǎn)z=0.5時(shí)的K值。,解 特征方程:,幅角條件:,幅值條件:,37,4.4 繪制根軌跡舉例,實(shí)軸上的根軌跡,漸近線 傾角:

12、 與實(shí)軸交點(diǎn):,38,4.4 繪制根軌跡舉例,分離點(diǎn),39,4.4 繪制根軌跡舉例,與虛軸的交點(diǎn) 特征方程: 利用Routh判據(jù)， 令輔助方程等于0,令6-K=0,得到K=6； 令輔助方程3s2+K=0,與虛軸的交點(diǎn) 此時(shí)，K=6 (K=6時(shí)的另一個(gè)實(shí)根s=-3),40,4.4 繪制根軌跡舉例,為了在虛軸附近較精確地繪制根軌跡圖,根據(jù)幅角條件在虛軸附近補(bǔ)點(diǎn):,41,4.4 繪制根軌跡舉例,描出根軌跡;,確定z=0.5時(shí)的共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn) 該極點(diǎn)的向量與負(fù)實(shí)軸的夾角:,42,4.4 繪制根軌跡舉例,由圖中讀出，這時(shí)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)為: 對應(yīng)的K值: 并且可以求出對應(yīng)的第三個(gè)極點(diǎn)位置：,43,4.4

13、繪制根軌跡舉例, 特征方程為 試求: 根軌跡。,解：寫出等效特征方程：,等效開環(huán)傳遞函數(shù)為：,開環(huán)極點(diǎn)： 無有限開環(huán)零點(diǎn).,44,4.4 繪制根軌跡舉例,實(shí)軸上的根軌跡,分離點(diǎn),45,4.4 繪制根軌跡舉例,試探求解三階以上的方程的根：,代入特征方程檢驗(yàn)：,46,4.4 繪制根軌跡舉例,47,4.4 繪制根軌跡舉例,漸近線 傾角: 與實(shí)軸交點(diǎn):,48,4.4 繪制根軌跡舉例,與虛軸的交點(diǎn) 特征方程: 令 代入特征方程,得到實(shí)部和虛部的表達(dá)式，令實(shí)部和虛部分別為零：,49,4.4 繪制根軌跡舉例,出射角,50,4.4 繪制根軌跡舉例,該根軌跡對稱于過(-2,0)點(diǎn)的垂線：,可見,由特征方程,51

14、,4.4 繪制根軌跡舉例,一些常見的開環(huán)零極點(diǎn)及其對應(yīng)的概略根軌跡圖,返回,52,4.5 參數(shù)根軌跡,當(dāng)以參數(shù) X 為變數(shù)，0 X ，作根軌跡時(shí)，需要將特征方程寫成：,(4.22),即可用前面討論的作根軌跡的規(guī)則作出以X為變數(shù)的特征方程的根軌跡。,53,4.5 參數(shù)根軌跡,:小功率位置隨動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示： 分析伺服電動(dòng)機(jī)的機(jī)電 時(shí)間常數(shù)Tm變化時(shí)，系 統(tǒng)極點(diǎn)的分布和暫態(tài)特 性的變化規(guī)律； (2) 當(dāng)開環(huán)增益K=29和qi(t)=t時(shí)，若希望將閉環(huán)極點(diǎn)配置為-p1,2=-17.25j26.521, Tm應(yīng)該取為何值，并計(jì)算這時(shí)系統(tǒng)的性能。,54,4.5 參數(shù)根軌跡,:小功率位置隨動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖

15、所示:,解： (1) Tm為可變參數(shù)時(shí)的根軌跡,系統(tǒng)的特征方程：,寫成： 即,作以Tm (0 Tm )為變參數(shù)的根軌跡。,55,4.5 參數(shù)根軌跡,分離點(diǎn),根軌跡是一個(gè)直徑為 2K 的圓 (實(shí)軸外)。,56,4.5 參數(shù)根軌跡,暫態(tài)特性分析: 分離點(diǎn)為s=-2K,對應(yīng)的Tm值,由根軌跡可知： 對于0 Tm ，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定； 對于0 Tm 1/(4K)，為過阻尼二階系統(tǒng)； 對于1/(4K) Tm ，為欠阻尼二階系統(tǒng)，且隨著Tm 增大，z 減??； 當(dāng) Tm=1/(4K)時(shí)，為臨界阻尼；,57,4.5 參數(shù)根軌跡,開環(huán)增益 K=29, 閉環(huán)極點(diǎn) -p1,2=-17.25j26.521,閉環(huán)傳函,58

16、,4.5 參數(shù)根軌跡,系統(tǒng)性能指標(biāo)： 穩(wěn)態(tài)誤差：I型系統(tǒng)，斜坡輸入時(shí),59,4.5 參數(shù)根軌跡,單位階躍響應(yīng) 單位斜坡響應(yīng),60,4.5 參數(shù)根軌跡,用根軌跡分析自動(dòng)控制系統(tǒng)的方法和步驟: 根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)和繪制根軌跡的基本規(guī)則繪制出系統(tǒng)的根軌跡圖。 由根軌跡在s平面上的分布情況分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果全部根軌跡都位于s平面左半部，則說明無論開環(huán)根軌跡增益Kg為何值，系統(tǒng)都是穩(wěn)定的；如根軌跡有一條（或一條以上）的分支全部位于s平面的右半部，則說明無論開環(huán)根軌跡增益Kg如何改變，系統(tǒng)都是不穩(wěn)定的；如果有一條（或一條以上）的根軌跡從s平面的左半部穿過虛軸進(jìn)入s面的右半部（或反之），而其余的根軌

17、跡分支位于s平面的左半部，則說明系統(tǒng)是有條件的穩(wěn)定系統(tǒng)，即當(dāng)開環(huán),61,4.5 參數(shù)根軌跡,根軌跡增益Kg大于臨界值時(shí)系統(tǒng)便由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定（或反之）。此時(shí)，關(guān)鍵是求出開環(huán)根軌跡增益Kg的臨界值。這為分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性提供了選擇合適系統(tǒng)參數(shù)的依據(jù)和途徑。 根據(jù)對系統(tǒng)的要求和系統(tǒng)的根軌跡圖分析系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)。對于一階、二階系統(tǒng)，很容易在它的根軌跡上確定對應(yīng)參數(shù)的閉環(huán)極點(diǎn)，對于三階以上的高階系統(tǒng)，通常用簡單的作圖法 （如作等阻尼比線等）求出系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)（如果存在的話），將高階系統(tǒng)近似地簡化成由主導(dǎo)極點(diǎn)（通常是一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)）構(gòu)成的二階系統(tǒng)，最后求出其各項(xiàng)性能指標(biāo)。這種分析方法簡單、方便

18、、直觀，在,62,4.5 參數(shù)根軌跡,滿足主導(dǎo)極點(diǎn)條件時(shí)，分析結(jié)果的誤差很小。如果求出離虛軸較近的一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)不滿足主導(dǎo)極點(diǎn)的條件，如它到虛軸的距離不小于其余極點(diǎn)到虛軸距離的五分之一或在它的附近有閉環(huán)零點(diǎn)存在等，這時(shí)還必須進(jìn)一步考慮和分析這些閉環(huán)零、極點(diǎn)對系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)的影響。,返回,63,小結(jié),本章介紹了根軌跡法 要求掌握根軌跡繪制規(guī)則，能熟練地繪制根軌跡概略圖 注意應(yīng)用根軌跡繪制規(guī)則時(shí)，將系統(tǒng)特征方程寫成如下形式：,64,小結(jié),根軌跡是用較簡單的等效開環(huán)傳遞函數(shù)，來分析研究閉環(huán)系統(tǒng)的特性；它是一種幾何方法，形象直觀； 根軌跡是以開環(huán)傳遞函數(shù)中的某個(gè)參數(shù)（一般是根軌跡增益）為參變量而畫出的閉環(huán)特征方程式的根軌跡圖。根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)零.極點(diǎn)在s平面上的分布，按照繪制