塑性力學02-屈服條件【高級教資】

1、塑性力學02,1,專業(yè)傾力,第二章 屈服條件,第一章介紹的是應力和應變的概念, 接下來就應該介紹應力應變的關系. 在彈性力學中, 應力應變是線性關系,是一一對應的比較簡單關系, 但在塑性力學中, 沒有這種簡單的關系. 第一章曾經指出材料在屈服以后要有不能恢復的塑性變形. 問題就出在這個地方, 那么材料在什么時候屈服, 屈服以后又服從什么規(guī)則.這就是這一章和下一章要解決的問題.,這一章研究材料的屈服. 我們已經知道,對于單向拉伸情況比較簡單,只有一個應力,實驗可以得到應力應變的曲線, 應力應變關系是一目了然. 但對于復雜應力狀態(tài), 材料在什么情況下屈服這就不太好說了.這章的Tresca屈服條件和

2、Mises屈服條件就是解決這個問題的.,這一章我們先從簡單拉伸談起, 目的是從單向應力應變關系中得到啟發(fā)來解決復雜應力狀態(tài)情況下的問題.,下一章來解決材料屈服后的應力應變的本構關系.,2,專業(yè)傾力,2-1 簡單拉伸時的塑性現(xiàn)象,強度極限屈服極限彈性極限比例極限,初始屈服點,初始彈性階段,應變硬化硬化階段,開始頸縮 應變軟化,不加區(qū)別,卸載,加載, D點開始后繼屈服,成為后繼屈服點,反向屈服點,被稱為Bauschinger效應,后繼彈性階段,服從增量Hooke定律,服從,3,專業(yè)傾力,塑性變形規(guī)律的幾個重要特點 (1) 要有一個判別材料是否處于彈性階段還是塑性階段的判斷式, 即屈服條件: 初始屈

3、服條件 和后繼屈服條件 (2) 應力應變是非線性關系 (3) 應力應變之間不存在單值關系,塑性力學考慮的材料的簡化的應力應變關系有,理想彈塑性體,理想剛塑性體,線性硬化彈塑性體,線性硬化剛塑性體,4,專業(yè)傾力,2-2 初始屈服條件和屈服曲面,初始屈服條件. 對于單向拉伸時拉伸應力等于材料的屈服應力時開始屈服, 但是在一般情況下一點的應力狀態(tài)時六個應力分量, 我們不能簡單地說哪一個分量達到屈服應力,這一點開始屈服. 但有一點可以肯定, 屈服條件應該和這六個分量有關, 把它寫成函數(shù)關系 , 該函數(shù)就稱為初始屈服條件. 我們已經知道, 靜水應力不引起塑性變形, 那么屈服條件只和應力偏量有關, 屈服條

4、件可以寫為 我們又知道, 材料的本構行為應該與坐標變換無關, 那么屈服準則就必然僅僅依賴于偏應力中的不變量,即,這個初始屈服條件在應力空間表示為一個曲面被稱為初始屈服曲面, 在 平面上是一條曲線被稱為初始屈服曲線.下面來進一步分析它們的一般形狀.,(1) 我們知道偏應力向量是在 平面上, 并且 因此在 平面上屈服條件表示為一條包圍原點的封閉曲線.,5,專業(yè)傾力,這條曲線如圖所示的紅色曲線.如果一個應力狀態(tài)在這條曲線上, 表示這個應力狀態(tài)滿足屈服條件. 現(xiàn)在在這個應力狀態(tài)上再加上一個靜水壓力,這時在三維主應力空間中, 它相當于沿直線L的平行線上移動, 而應力點仍應滿足屈服條件, 因而在三維主應力

5、空間中, 屈服面是一個等截面柱體, 它的母線與L直線平行(圖中深黃色線).,(2) 現(xiàn)在我們來進一步研究在 平面上的屈服曲線. 首先因為材料是均勻各向同性的, 則 互換時也會屈服, 所以這條屈服曲線應對稱于直線1,2,3. 另外可以假設拉伸和壓縮時的屈服極限相等(沒有Bauschinger效應),因此當應力符號改變時, 屈服條件仍不變. 這就是說, 這條屈服曲線應關于原點對稱.,6,專業(yè)傾力,又考慮到這條屈服曲線對稱于直線1,2,3, 所以它要對稱于直線1,2,3的三條垂線4,5,6. 總之, 它有六條對稱線,. 因此, 我們只需用實驗確定 平面上30度范圍的屈服曲線, 然后利用對稱性, 就可

6、以確定整個屈服曲線.,在前一章知道:,在純拉屈服時,它對應 平面的A點. 在純剪切屈服時,它對應 平面的B點.,這樣AB之間的屈服曲線可以通過雙向應力實驗來決定.例如可以通過薄壁圓筒同時受拉和扭作用來得到. 于是通過對稱性就得到整個屈服曲線.,7,專業(yè)傾力,2-3 Tresca條件和Mises條件. 這是兩個常用的屈服條件. 1. Tresca屈服條件(1864). 基于實驗觀測, Tresca假設材料在某處出現(xiàn)屈服是由于該點的最大剪應力達到最大許可值, 或者說達到單軸加載下的彈性極限值. 在多軸應力狀態(tài)下, 按照Tresca的論點, 屈服條件可以寫為 其中 (單向時屈服應力).,當已知 可以

7、寫成為 在一般情況下, 不知主應力的排序, 可以寫成,在 平面上,Tresca屈服條件是一個正六邊形, 這一點可以證明. 在前面我們知道偏應力矢在 平面上的X軸的投影為,所以在 范圍內這是一條直線,將其對稱開拓成正六邊形(如下圖).在主應力空間屈服面是正六面柱體.,8,專業(yè)傾力,圖中紅色就是Tresca條件. 2. Mises屈服條件(1913).Tresca條件不考慮中間應力的影響; 另外當應力處在兩個屈服面的交線上時,數(shù)學處理有些困難; 在主應力方向不知時, 屈服條件又很復雜, 因此Mises在1913年提出了用外接圓柱體來代替正六面柱體的想法. 根據這個想法屈服曲線就是六邊形的外接圓,方

8、程為:,整理得,9,專業(yè)傾力,從上面的第一式我們可以看到屈服條件的另一種表達式是應力強度 等于 , 即 . 也就是說應力強度達到一定值時, 材料開始進入塑性狀態(tài).,剛才說了, Misese條件一開始是個設想, 后來發(fā)現(xiàn)它比Tresca條件更接近于實驗得出的結果. 實際上, 根據彈性理論, 形狀比能為,這樣就有,它可以解釋為材料的形狀比能達到某一極限值時, 材料開始屈服.,(3)討論這兩個屈服條件:,a) 常數(shù) 的確定. 因為這些屈服條件對各種一般都適用,所以可以通過簡單拉伸或純剪切等實驗來確定.,10,專業(yè)傾力,對于簡單拉伸來說,這兩個屈服條件都有,對于純剪切來說,Tresca條件有 , 進而

9、,Mises條件有 , 進而,實驗表明, 對于一般工程材料, , 因此Mises條件比Tresca條件更接近實際.但如果事先知道主應力的大小,用Tresca條件比較方便.,b)簡單說明兩個條件的差別. 設 取 , 那么,Tresca條件有:,Mises條件有:,考慮到 , 所以,也就是說這兩個條件事實上差別不大. 如果取內接圓作為屈服曲線, 則差別更小. 這兩個條件主要適用于延性金屬材料.而用于土壤, 混凝土和巖石等非金屬是不理想的. 因為它們忽略了平均應力的影響.,11,專業(yè)傾力,例2-1平面應力狀態(tài)的屈服條件.,解 因為對平面應力狀態(tài), . 此時Tresca條件為,它表示在 平面上的屈服曲

10、線為一個六邊形(如圖深黃色所示).,Mises條件為:,它表示在 平面上的屈服曲線為上述六邊形的外接橢圓(如圖紅色所示).,12,專業(yè)傾力,例2-2 試寫出圓桿在拉伸和扭轉聯(lián)合作用下的屈服條件.,解 桿內的各點的應力為,其它不為零.,將這些代入Mises條件得到,由第一章已知應力狀態(tài)求主應力的方法得到主應力為:,得,根據Tresca條件有:,13,專業(yè)傾力,例2-3 一內半徑為 , 外半徑為 的球形殼, 在其內表面上作用均勻的壓力 . 試寫出其屈服條件.,解 由于殼體幾何形狀和受力都是對稱于球心, 是球對稱問題. 這樣殼體內剪應力分量必為零, 否則就不是球對稱了.各點只有正應力分量, 并且有

11、主應力排序為,最大剪應力為,代入Tresca和Mises條件發(fā)現(xiàn)它們有一樣的屈服條件:,14,專業(yè)傾力,2-4 Tresca條件和Mises條件的實驗驗證,前面已經提到這兩個屈服條件是建立在假設基礎上的, 需要通過實驗來驗證. 這里介紹兩個有名的實驗.,1. Lode實驗 1926年W.Lode在軟鋼,銅和鎳的薄壁筒上做實驗, 薄壁筒受軸向力 和內壓 的作用.,Tresca條件有:,Mises條件有:,Tresca條件,Mises條件,應力狀態(tài)為:,實驗表明Mises條件較符合.,15,專業(yè)傾力,2. Taylor 和Quinney 實驗 1931年他們做薄壁筒的拉扭聯(lián)合實驗.,拉力為 , 扭

12、矩為 , 這是平面應力問題.應力狀態(tài)見圖. 有,主應力為,按Tresca條件有:,即,按Mises條件有:,Mises條件,Tresca條件,軟鋼,鋼,Mises條件比較好.,16,專業(yè)傾力,2-5 后繼屈服條件及加,卸載準則,1. 后繼屈服條件的概念,從單向應力談起, 如圖所示我們曾經提到過初始屈服點和后繼屈服點的概念. 對應于復雜應力,就有初始屈服面(比如我們前面提到的屈服條件)和后繼屈服面.,后繼屈服點,初始屈服點,初始屈服面,后繼屈服面,如右圖所示, 一點應力狀態(tài)O,隨加載達到初始屈服面 A點,再加載到達后繼屈服面 B點, 此時卸載再加載再到達 后繼屈服面 C點,然后再加載到達后繼屈服

13、面 D點.,17,專業(yè)傾力,很顯然, 對于硬化材料, 后繼屈服面是不斷變化的. 所以后繼屈服面又稱為硬化面或加載面, 它是后繼彈性階段的界限面. 確定材料是處于后繼彈性狀態(tài)還是塑性狀態(tài)的準則就是后繼屈服條件或稱硬化條件. 表示這個條件的函數(shù)關系稱為后繼屈服函數(shù)或硬化函數(shù), 或加載函數(shù). 后繼屈服不僅和當時的應力狀態(tài)有關, 而且和塑性變形的大小及歷史(即加載路徑)有關, 表示為,其中 稱為硬化參數(shù),表示塑性變形的大小及歷史. 后繼屈服面就是以 為硬化參數(shù)的一族曲面, 我們要研究后繼屈服面的形狀以及隨塑性變形的發(fā)展的變化規(guī)律.,對于理想塑性材料后繼屈服面是不變化的, 與初始屈服面重合.,2. 加,

14、 卸載準則 對于復雜應力狀態(tài), 六個應力分量都可增可減, 如何判別加載和卸載, 有必要提出一些準則.,18,專業(yè)傾力,(1)理想塑性材料的加載和卸載準則. 理論塑性材料是無硬化的, 屈服條件與加載歷史無關, 初始屈服面和后繼屈服面是重合的. 即,屈服面,法線方向,加載,卸載,的梯度方向,如圖所示,彈性狀態(tài);,加載;,卸載.,19,專業(yè)傾力,(2)硬化材料的加,卸載準則.,中性變載,加載,卸載,后繼屈服面,對于硬化材料,后繼屈服面和初始屈服面不同, 與塑性變形的大小和歷史有關.,加,卸載準則為:,加載;,中性變載;,卸載.,中性變載是指不產生新的塑性變形.,20,專業(yè)傾力,2-6 幾種硬化模型,

15、加載曲面 是怎樣變化的? 這個變化是復雜的, 主要是因為材料塑性變形后各向異性效應顯著. 為了便于應用不得不對它進行簡化.,1. 單一曲線假定. 單一曲線假設認為,對于塑性變形中 保持各向同性的材料,在各應力分量成比例增加的情況下, 硬化彈性可以用應力強度和應變強度的確定關系來表示,這個關系的確定可以用簡單的拉伸實驗來定.,材料硬化條件要求切線模量 為正. 另外還要求,21,專業(yè)傾力,2. 等向硬化模型. 這個模型認為加載面在應力空間中作相似的擴大. 仍然保持各向同性. 硬化條件可以表示為,其中 為初始屈服面.,K表示所經歷的塑性變形的函數(shù). 一種假設是硬化程度只是總塑性功的函數(shù), 而與應變路

16、徑無關, 即 . 另一種假設是定義一個量度塑性變形的量,用它來量度硬化程度 .,對于Mises屈服條件. 初始屈服條件為,它的等向硬化加載條件變成,F可由單向實驗來定. 它們是一系列同心圓.,22,專業(yè)傾力,3. 隨動硬化模型. 假定在塑性變形過程中, 屈服曲面的大小和形狀不變, 只是應力空間內作剛體平移. 隨動強化加載曲面可表示為,叫移動張量, 它有賴于塑性變形量. 有文獻指出,加載曲面沿應力點的外法線方向移動, 加載曲面可寫成,對于Mises屈服條件有,可由簡單拉伸實驗來定.,屈服曲線的變化如圖.,4. 組合硬化模型,23,專業(yè)傾力,2-7 Drucker公設 在這一節(jié)我們介紹一個關于材料

17、硬化的假設Drucker公設; 在這個公設的基礎上可以得到兩個重要的結論: (1)屈服面必定是外突的; (2)建立塑性本構關系.,1. 穩(wěn)定材料和不穩(wěn)定材料. 材料的拉伸應力應變曲線可能有:,所示的材料,隨加載應力,應變都增加,材料是硬化的. 在這一變形工程中,附加應力在應變增量上作正功,這種特性的材料被稱為穩(wěn)定材料或硬化材料. 所示,應力應變曲線在過 點以后, 應變增加,應力減小,此時應力增量作負功, 這種特性的材料被稱為材料不穩(wěn)定或軟化材料. 所示,與能量守恒矛盾,所以不可能.,24,專業(yè)傾力,2. Drucker公設,從右邊的單向拉伸應力應變曲線看, 對于穩(wěn)定材料, 如果從 開始加載到

18、再到, 然后卸載,此時彈性應變可以恢復, 相應的彈性應變能完成釋放, 但塑性變形不能恢復被保留下來, 消耗的塑性應變能是圖上的紅框包圍的兩塊面積A,B被保留下來.它們是恒大于零的:,第二式中的等號適用于理想塑性材料.,Drucker把它引伸到復雜應力情況,這就是Drucker公設.,Drucker公設在塑性力學中有重要意義.,25,專業(yè)傾力,3. 屈服面的外凸性和塑性應變增量的法向性,我們如將塑性應變空間與應力空間重合起來,由Drucker公設的第一式, 把它看成是兩個矢量的點積.,圖示即,為這兩個矢量的夾角, 必定為銳角.在這種情況下, 一定在屈服面 點的外法線方向 上, 因為 點在屈服面內, 的活動范圍是 點的切線方向到反切線方向( ), 要與它夾角是銳角就一定在法線方向上,并且屈服面一定是