數(shù)理統(tǒng)計(jì)之參數(shù)估計(jì)(習(xí)題庫)

1、第六章習(xí)題1. 指出下列分布中的參數(shù),并寫出它的參數(shù)空間: (i)二點(diǎn)分布; (ii) 普哇松分布;(iii)在上的均勻分布; (iv) 正態(tài)分布.解:P；（iv）2. 設(shè)是來自二點(diǎn)分布的一個子樣,試求成功概率的矩法估計(jì)量.解: 3. 已知母體均勻分布于之間,試求的矩法估計(jì)量. 解: ，。令得 ，4. 對容量為的子樣,求密度函數(shù) 中參數(shù)的矩法估計(jì)量. 解: 令 得.5. 在密度函數(shù) 中參數(shù)的極大似然估計(jì)量是什么? 矩法估計(jì)量是什么? 解: (1) 令，得 。由于 故是極大似然估計(jì).(2) 由 令 得 6. 用極大似然法估計(jì)幾何分布 中的未知參數(shù). 解:，令 得而 是P的極大似然估計(jì).7. 設(shè)隨

2、機(jī)變量的密度函數(shù)為，是的容量為的子樣,試求的極大似然值.解: ，。得，又 故8. 設(shè)是取自均勻分布的母體的一個子樣,其中試證:的極大似然估計(jì)量不止一個,例如都是的極大似然估計(jì)量.解: 證:的密度函數(shù)為 ，故 即凡滿足的均為的極大似然估計(jì).從而(1)滿足此條件，故是的極大似然估計(jì).(2)由于故，所以也是的極大似然估計(jì).(3)由于， 故，從而，故也是的LM.9.設(shè)是取自對數(shù)正態(tài)分布母體的一個子樣,即 ， 試求:的期望值和方差D的極大似然估計(jì).解:的密度函數(shù)為，所以，兩邊對數(shù)并分別對和求尋,并令其為0,得似然方程組，解得經(jīng)驗(yàn)知和的LM為: ，又，從而 10. 一個罐子里裝有黑球和白球,有放回地抽取一

3、個容量為的子樣;其中有個白球,求罐子里黑球數(shù)和白球數(shù)之比的極大似然估計(jì)量. 解:設(shè)罐子里有白球個,則有黑球個,從而共有個球,從罐中有放回地抽一個球?yàn)榘浊虻母怕蕿?，黑球的概率為從而抽球?yàn)槎c(diǎn)分布似然方程為。從而解得. 可驗(yàn)證這是R的極大似然估計(jì).11.為檢驗(yàn)?zāi)撤N自來水消毒設(shè)備的效果,現(xiàn)從消毒后的水中隨機(jī)抽取50升,化驗(yàn)每升水中大腸桿菌的個數(shù)(一升水中大腸桿菌的個數(shù)服從普哇松分布),化驗(yàn)結(jié)果如下:大腸桿菌個數(shù)/升0 1 2 3 4 5 6升 數(shù) 17 20 10 2 1 0 0試問平均每升水中大腸桿菌個數(shù)為多少時,才能使出現(xiàn)上述情況時的概率為最大.解:由，設(shè)一升水中大腸桿菌個數(shù)=，又.故問題為求

4、的極大似然估計(jì).由，可得.由觀測值代入求設(shè).故每升水中大腸桿菌的個數(shù)平均為1時,出現(xiàn)上述情況的概率最大.12設(shè),是取自二維正態(tài)母體的一個子樣,求和的極大似然估計(jì).解:由L可得似然方程為將(1),(2)代入(3)得: (4)由(4)代入(1),(2)得似然估計(jì): .13 從四個正態(tài)母體(它們都有同樣的方差)中,各抽一個容量為的子樣,第個子樣的觀測值為若四個母體的平均數(shù)分別為試求和的極大似然估計(jì).解:兩邊取對數(shù)后對分別求導(dǎo),令其均為0， 即得，。對求導(dǎo)代入得.14. 考慮某種離散分布 ，其中對某些可能有有連續(xù)導(dǎo)數(shù),設(shè)是取自具有這種分布的母體的一個子樣.證明的極大似然估計(jì)是方程 的一個根,這里的極大

5、似然方程與矩法方程相同.試求為了估計(jì)下列分布而需要的極大似然方程的顯式,這些分布是普哇松分布、二項(xiàng)分布.解: (1)證對求導(dǎo)得又由知從而所以似然方程可寫為這與矩法方程一致.(2) 對其中 從而， 故似然方程的顯式為.對二項(xiàng)分布: 又故似然方程的顯式為15. 設(shè)1是取自雙參數(shù)指數(shù)分布的一個子樣,密度函數(shù) ，其中試求參數(shù)和的極大似然估計(jì)和矩法估計(jì).解: (1) LM估計(jì)， 故是的遞增函數(shù),取到最大可能值時可使lnL達(dá)到最大,故的極大似然估計(jì)為 由可解得的LM這. (2)矩法估計(jì)由于，故由 解得 16. 設(shè)為取自參數(shù)為的普哇松分布的一個子樣.試證子樣平均和都是的無偏估計(jì).并且對任一值也是的無偏估計(jì).

6、證: 對普哇松分布有, 從而故與都是的無偏估計(jì). 又故也是的無偏估計(jì).17.設(shè)為取自正態(tài)母體的一個子樣,試適當(dāng)選擇,使為的無偏估計(jì).解: 由，且相互獨(dú)立可知, 從而.取時, 為的無偏估計(jì).18設(shè)母體的數(shù)學(xué)期望為方差又設(shè)和為取自此母體的兩個子樣.試證:是的無偏估計(jì)量.其中證:, 故是的無偏估計(jì).19. 設(shè)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,n試求無偏估計(jì)量.解: 由于 故 從而當(dāng)抽得容量為N的一個子樣后,的無偏估計(jì)為:20. 設(shè)是取自參數(shù)為的普哇松分布的一個子樣,試求的無偏估計(jì).解: 由 故 從而, 所以的無偏估計(jì)為21. 設(shè)是取自正態(tài)母體的一個子樣,試證對任一固定的, 是 的無偏估計(jì),其中是的分布函數(shù). 證

7、: 記的密度函數(shù)為， 則的聯(lián)合密度函數(shù)為從而故（）是的無偏估計(jì).22. 設(shè)是取自母體的子樣,的分布函數(shù)為未知參數(shù),是的一個有偏估計(jì),且, 其中是僅與有關(guān)的一個函數(shù),為了減少偏性,常要用如下的“刀切法”。設(shè)是把原來子樣中第個分量剔除,再以留下的容量為的子樣所得的估計(jì)量,并且與的估計(jì)公式是有同樣的形式,則可證明是的無偏估計(jì),稱為的一階刀切估計(jì). 證:23. 設(shè)為取自正態(tài)母體的一個子樣,證明S0和 都是的無偏估計(jì),其中 .證: (1) 由于 令, 則的的密度為 而此時.(2) 由于令則.利用(1)類似的方法可證也是的無偏估計(jì).24. 設(shè)是取自均勻分布母體的一個子樣,分別取做的估計(jì)量,問是否分別為的無

8、偏估計(jì)量?如何修正,才能獲得的無偏估計(jì). 解: 的密度函數(shù)為 其分布函數(shù)為 從而的密度為: 的密度函數(shù)為 .故均不是的無偏估計(jì).為得到無偏估計(jì)可作如下修正:從 可得 將它代入中得: 故.又 從而 ,所以與的無偏估計(jì)分別為: .25. 設(shè)是取自均勻母體的一個子樣,證明估計(jì)量 皆為參數(shù)的無偏估計(jì),并且.這里表示與同階. 證: 由母體的密度函數(shù)為 其分布函數(shù)為 則的密度函數(shù)為 由于知由的密度函數(shù)知: 故所以與均為的無偏估計(jì).又由知 而 所以.26 設(shè)為取自正態(tài)母體的一個子樣,在下列三個統(tǒng)計(jì)量 中,哪一個是的無偏估計(jì),哪一個對的均方誤差最小, 解: 記, 則 從而 , 那么由此可知 所以只有是的無偏估

9、計(jì). 而當(dāng)1時,， 故的均方誤差最小.27. 設(shè)是取自均勻分布在上的母體的一個子樣,求證:和 都是的無偏估計(jì),并指出哪一個方差較小. 證: 設(shè),則E=,且的密度函數(shù)為 它們的聯(lián)合密度為 由此可知,，所以E1=, E2= 即1，2均為無偏估計(jì)，它們的方差分別為 D1=D2=當(dāng)n時，D1=D2，當(dāng)n2時，, 即D1D2,所以2的方差較小。28設(shè)是參數(shù)的兩個相互獨(dú)立的無偏估計(jì),且方差試求常數(shù)和,使得是的無偏估計(jì),且在一切這樣的線性估計(jì)類中方差最小.解: 設(shè),則, 為使 即 , 則只需要使達(dá)到最小，則需選取在條件下達(dá)到最小.用代入，并令則由 得.， 所以當(dāng),時可使是這類線性估計(jì)量中方差最小的無偏估計(jì).

10、29 設(shè)是取自正態(tài)母體的一個容量為2的子樣,試證明下列三個估計(jì)量都是的無偏估計(jì)量 ； ； 并指出其中哪一個方差最小.解: ， 顯然。 而故均為的無偏估計(jì),且的方差最小. 30. 設(shè)隨機(jī)變量均勻分布在上,為取自此母體的一個子樣, 試證： 都是的無偏估計(jì),并指出哪一個方差較小. 解: 可知的密度函數(shù)為 ， ，從而 故， 即. 的方差最小.31. 設(shè)是參數(shù)的個無偏估計(jì),它們的方差與協(xié)方差矩陣為 ， 其中 證明:在線性組合類中的最小方差無偏估計(jì)是, 且最小方差 , 其中是矩陣V的逆矩陣中的元素. 解: 證:由知而因此問題變?yōu)樵诘臈l件下，找使得最小.令令得 i=1,2, 此即有矩陣 而 ，故， 從而 ，

11、故 ， 此時的方差是32. 設(shè)是取自正態(tài)母體的一個子樣,試證： 是的一致估計(jì).解: 證 由于， 故 ，. (因?yàn)榈钠谕麨?方差為2)據(jù)契比可夫不等式有:故是的一致估計(jì).33. 設(shè)是取自均勻分布在上的母體的一個子樣,試證：是的一致估計(jì). 證: 的密度為 從而 , 則 =, 故是的一致估計(jì).34. 設(shè)是取自正態(tài)母體的一個子樣,其中為已知,證明(i) 是的有效估計(jì);(ii) 是的無偏估計(jì),并求其有效率.證由知, , 又的密度函數(shù)為, 故對求導(dǎo)得： 從而， 故下界為 。 是的有效估計(jì). 由于故， 即是的無偏估計(jì). 又而故CR下界為， 的有效率為。6.35 設(shè)是取自具有下列指數(shù)分布的一個子樣. 證明是的

12、無偏、一致、有效估計(jì)。證: 由于 是的無偏估計(jì).又， 故從而， 而故下界為 因此是的有效估計(jì).另外,由契比可夫不等式所以還是的一致估計(jì).36. 設(shè)母體服從珈瑪分布,其密度函數(shù)為 其中為已知常數(shù),設(shè)為取自這一母體的一個子樣,為子樣均值.設(shè)為的無偏、有效估計(jì). 證 : 由于， 故即為的無偏估計(jì).又 再根據(jù)密度函數(shù)為求得： 故的下界為即D（）達(dá)到下界, 所以是的有效估計(jì).37. 設(shè)為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量,其分布為二點(diǎn)分布P(=x) = pxq1-x, x=0,1,其中p+q=1.試證明: 下述統(tǒng)計(jì)量都是p的充分統(tǒng)計(jì)量 證: 的聯(lián)合分布是 則取k1= , 由因子分解定理可知:均為P的充分統(tǒng)計(jì)量.38.

13、設(shè) 是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量, 都服從， 則是的充分統(tǒng)計(jì)量. 證: 由于的聯(lián)合密度為 取 , 則由因子分解定理知, 是的充分統(tǒng)計(jì)量.39. 設(shè)是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量,都服從具參數(shù)為的普哇松分布,則是關(guān)于的充分統(tǒng)計(jì)量. 證: 由于的聯(lián)合密度是 取, , 則由因子分解定理知 : 是充分統(tǒng)計(jì)量.40. 試證:充分統(tǒng)計(jì)量T的一一對應(yīng)的變換仍是充分統(tǒng)計(jì)量.試舉出具體例子.41. 設(shè)是取自珈瑪分布的一個子樣,其密度函數(shù)為試證: 已知時,是關(guān)于的充分統(tǒng)計(jì)量; 已知時,是關(guān)于的充分統(tǒng)計(jì)量.42. 設(shè)為取自具有三參數(shù)威布爾分布的母體的子樣,威布爾分布密度函數(shù) 其中為已知常數(shù),是參數(shù),試證: 當(dāng)已知時,是關(guān)于的充分統(tǒng)計(jì)

14、量; 當(dāng)已知時,是關(guān)于的充分統(tǒng)計(jì)量.43. 設(shè)是來自密度函數(shù)為 的母體的子樣,試證:是關(guān)于的充分統(tǒng)計(jì)量.44. 設(shè)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,求的UMVUE.45. 設(shè)是取自珈瑪分布的一個子樣, 其密度函數(shù)為, 為已知常數(shù),試求未知參數(shù)的UMVUE.46. 設(shè)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量,其分布是均勻分布其密度函數(shù), 試證:是的無偏估計(jì); 是的無偏估計(jì).47. 某廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品,這種產(chǎn)品包裝好后按一定數(shù)量放在盒子里,檢驗(yàn)員從一盒里隨機(jī)地抽取一個容量為的子樣,并逐個檢查每個產(chǎn)品的質(zhì)量.假如子樣中有三個或更多個廢品,那么這一盒被認(rèn)為是廢品,退回工廠,但廠方要求檢驗(yàn)員一定要把每盒檢查出的廢品數(shù)通報廠方. 假如產(chǎn)

15、品的廢品率為,求任一盒通過的概率;假如檢驗(yàn)員通報廠方的數(shù)據(jù)如下:在檢查過的盒產(chǎn)品中,發(fā)現(xiàn)它們的廢品數(shù)分別為, 證明:是的無偏估計(jì). 令試求并指出這是的UMVUE.48 設(shè)是參數(shù)的UMVUE,是的任一無偏估計(jì),且對一切試證明：cov.49. 設(shè)為取自正態(tài)母體 N() 的一個子樣, 為未知參數(shù)，試證: 是的有效估計(jì).證：因?yàn)槊芏群瘮?shù)， 取對數(shù)后得 ， 求對 的二階偏導(dǎo)數(shù)， 故 從而得出羅克拉美下界為，由于服從.,于是推得D，因而是的有效估計(jì).50. 設(shè)為取自正態(tài)母體 N() 的一個子樣, 為未知參數(shù)，試證: 不是的有效估計(jì).證：因?yàn)槊芏群瘮?shù)， 取對數(shù)后得 ， 求對 的二階偏導(dǎo)數(shù)， 故 從而得出羅克拉美下界為，由于服從 于是推得，因而不是的有效估計(jì).51. 設(shè)母體具有均勻分布,密度函數(shù)為 f(x;, 求未知參數(shù)的矩法估計(jì)，并證它為無偏估計(jì).解：由于E=, 用矩法估計(jì)得方程 = 解這個方程，得的估計(jì)。因?yàn)?所以是的無偏估計(jì)。52. 設(shè)母體具有均勻分布,密度函數(shù)為 f(x;, 求未知參數(shù)極大似然估計(jì)，并求其期望.解：設(shè)為取自這一母體的一個子樣，似然函數(shù)是的一個單值遞減函數(shù)，由于每一個，最大的次序統(tǒng)計(jì)量的觀測值 在中要使達(dá)到極大，就要使達(dá)