第四章 直線的投影

1、4.1 直線的投影兩點確定一條直線，將兩點的同名投影用直線連接，就得到直線的同aab b名投影。直線投影的基本特性一、直線的投影特性a直線對一個一投般影面情的況投下影，特性直線的投影仍然b直線，特殊情況為一BA為 M個點。BAAB bba abma直線垂直于投影面投影重合為一點直線平行于投影面投影反映線段實長ab=AB直線傾斜于投影面投影比空間線段短ab=ABcos積聚性二、 直線在三個投影面中的投影特性正平線（平行于面）側平線（平行于面） 水平線（平行于面）投影面平行線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜統(tǒng)稱特殊位置直線正垂線（垂直于面）側垂線（垂直于面）鉛垂線（垂直于面）投影面垂直線垂直于

2、某一投影面與三個投影面都傾斜的直線一般位置直線1、投影面平行線正平線水平線側平線水平線正平線側平線實長a實長aaabbab實長與H面的夾角:與V面的角:與W面的夾角: 投影特性：在其平行的那個投影面上的投影反映實長，并反 映直線與另兩投影面傾角的實大。另兩個投影面上的投影平行于相應的投影軸。abababbbba2、 投影面垂直線正垂線鉛垂線側垂線正垂線鉛垂線側垂線c(d)cde(f)eafbdcefa投影特性: 在其垂直的投影面上，投影有積聚性。 另外兩個投影，反映線段實長。且垂直于相應的投影軸。ab(b)3、一般位置直線投影特性：bb三個投影都縮短。都不反映空間線段aa即:的實長及與三個投影

3、面夾角的實大，且與三根投影軸都傾斜。ab1）求直線的實長及對水平投影面的夾角a角bbAB|zA-zB|aabB|zA-zB|aXaXbOaCb|zA-zB |AaaaABABa|z -z |ABab2）求直線的實長及對正面投影面的夾角b 角bABbbB|YA-YB|XabaabbXObCbAAB|Y -Y |ABa|YA-YB|aAB b|YA-YB|ab3）求直線的實長及對側面投影面的夾角g 角ZabB ba Xb YWObaYAaaYH|XA-XB|OgbbaZX例題1已知 線段的實長AB，求它的水平投影。bAB|zA-zB|aABX|z -z |ABaabbabAB|yA-yB|abab

4、4.2 直線與點及兩直線的相對位置一、直線與點的相對位置點在直線上的判別方法：bV 若點在直線上,則點的cB投影必在直線的同名投影上。并將線段的同名投影分割成與空間相同的比例。即：aCAbcaHAC/CB=ac/cb= ac / cb 若點的投影有一個不在直線的同名投影上， 則該點必不在此直線上。定比定理直線上的點具有兩個特性：從屬性若點在直線上，則點的各個投影必在直線的各同面投影上。利用這一特性可以在直線上找點，或判斷已知點是否在直線上。屬于線段上的點分割線段之比等于其投影之比。即A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b定比性bBcCaXOcbAca例

5、1：判斷點C是否在線段AB上。bcaacbbaccab點C在直線AB上點C不在直線AB上例2：判斷點K是否在線段AB上。aak kbbakb另一判斷法?應用定比定理因k不在a b上， 故點K不在AB上。例題3 已知點C 在線段AB上，求點C 的正面投影。bbVcbcaccBaaCXAbXOaccbaH例題4 已知線段AB的投影，試定出屬于線段AB的點C使BCb的實長等于已知長度L。的投影，LABczA-zBaXabbBCca二、兩直線的相對位置平行相交垂直相交交叉空間兩直線的相對位置分為：平行、相交、交叉。 投影特性：兩直線平行bVdaBcADCacbHd空間兩直線平行，則其各同名投影必相互平

6、行，反之亦然。例1：判斷圖中兩條直線是否平行。b對于一般位置直線，只要有兩個同名投影互相平行，空間兩直線就平行。dacacbdAB/CD例2：判斷圖中兩條直線是否平行。對于特殊位置直線，只有兩個同名投影互相平行，空間直線不一定平行。ccaaddbbcbda求出側面投影后可知：AB與CD不平行。如何判斷？求出側面投影兩直線相交交點是兩直線的共有點VcbkbadKckCBADdadakbcdaHkbc判別方法：若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，且交點的投影必符合空間一點的投影規(guī)律。例：過C點作水平線CD與AB相交。bkdcaadkbc先作正面投影兩直線交叉d3兩1(2)a4 同名投影可能相交，

7、 但 “交點”不符合空間一個點的投影規(guī)律。 “交點”是兩直線上的一 對重影點的投影， 用其可幫助判斷兩直線的空間位置。cbc2b3(4 )1da、是面的重影點， 、是H面的重影點。直為線投什相影么交？特嗎性？：例題判斷兩直線的相對位置c1bdaXd1abc1d1c判斷兩直線重影點的可見性bc12C(3)4Bda1324DOXAbc34a1(2)d判斷重影點的可見性時，需要看重影點 在另一投影面上的投 影，坐標值大的點投 影可見，反之不可見， 不可見點的投影加括 號表示。例題 判斷兩直線重影點的可見性b13(4)c2daX4b3c1(2)da4、兩直線垂直相交（或垂直交叉）直角的投影特性：B若直

8、角有一邊平行于投影面，則它在該投影面上的投影仍為直角。證明：C直角邊BC/H面設因 所以又因故因此即ABCAB,同時BCBbbBCABba平面BCbcbc ABba平面bcababc為直角acHbcab.直線在H面上的投影互相垂直ac例：過C點作直線與AB垂直相交。ad.AB為正平線, 正bc面投影反映直角。cdab例 已知直線AB的兩面投影和C點的水平投影,試過C點作一條直線CE垂直于AB,求直線CE的兩面投影。aecebcOXaeecb兩直線交叉例題 過點E 作線段AB、CD 的公垂線EF。bfeadcOXadbefc小結重點掌握：點與直線的投影特性，尤其是特殊位置直線的投影特性。點與直線

9、及兩直線的相對位置的判斷方法及投影特性。定比定理。直角定理，即兩直線垂直時的投影特性。一、各種位置直線的投影特性 一般位置直線三個投影與各投影軸都傾斜。 投影面平行線在其平行的投影面上的投影反映線段實長及與相應投影面的夾角。另兩個投影平行于相應的投影軸。 投影面垂直線在其垂直的投影面上的投影積聚為一點。另兩個投影反映實長且垂直于相應的投影軸。二、直線上的點 點的投影在直線的同名投影上。 點分線段成定比，點的投影必分線段的投影成定比定比定理。 平行同名投影互相平行。 相交同名投影相交，交點是兩直線的共有點，且符合空間一個點的投影規(guī)律。 交叉（異面）同名投影可能相交，但“交點”不符合空間一個點的投影規(guī)律