第7章 多項(xiàng)式環(huán)

1、.第7章 多項(xiàng)式環(huán) 1 一元多項(xiàng)式環(huán)觀察下列表達(dá)式有什么不同之處： 其中是一個(gè)符號(hào)； （1） 其中； （2） 其中。 （3）由及，從（2）、（3）式分別得出 （4） （5） （4）的左右兩邊相等，但所含有的關(guān)于的項(xiàng)卻不相同；同樣（5）的左右兩邊相等，但所含有的關(guān)于的項(xiàng)卻不相同。對(duì)于，當(dāng)是一個(gè)符號(hào)時(shí)，只能是 ，即相等的兩個(gè)表達(dá)式含有相同的項(xiàng)，此時(shí)稱(chēng)為一個(gè)多項(xiàng)式，而都不能稱(chēng)為多項(xiàng)式。精品.1. 多項(xiàng)式的定義 設(shè)是一個(gè)數(shù)域，是一個(gè)不屬于的符號(hào)（也稱(chēng)為不定元）。任意給定一個(gè)非負(fù)整數(shù) 在中任意取定，稱(chēng)表達(dá)式 （6） 為數(shù)域上的一個(gè)一元多項(xiàng)式，其中稱(chēng)為次項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)也稱(chēng)為零次項(xiàng)。 兩個(gè)一元多項(xiàng)式相等當(dāng)且僅當(dāng)

2、它們的同次項(xiàng)的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等。系數(shù)全為零的多項(xiàng)式稱(chēng)為零多項(xiàng)式，記為 。 2. 多項(xiàng)式的次數(shù)：用表示（6）式中的多項(xiàng)式。如果，則稱(chēng)為多項(xiàng)式的首項(xiàng)，稱(chēng)為的次數(shù)，記為 亦即，一元多項(xiàng)式的次數(shù)就是系數(shù)不為零的項(xiàng)的最高次數(shù)。當(dāng)首項(xiàng)系數(shù)時(shí)，也稱(chēng)為首一多項(xiàng)式（補(bǔ)充）。 零多項(xiàng)式的次數(shù)規(guī)定為，即；非零常數(shù)是零次多項(xiàng)式，次數(shù)為零。約定： 3. 多項(xiàng)式的運(yùn)算 記數(shù)域上的所有一元多項(xiàng)式組成的集合為。在中任取， ，精品.不妨設(shè)，則 其中時(shí)， （7） （8）稱(chēng)是與的和與差，稱(chēng)是與的積。 多項(xiàng)式的加法與乘法滿(mǎn)足下列運(yùn)算法則：，有1加法交換律：；2加法結(jié)合律：；3加法有零元：；4加法有負(fù)元：設(shè)，定義，稱(chēng)為的負(fù)元，它滿(mǎn)足 5乘

3、法交換律：；6乘法結(jié)合律：；7乘法有零單位元1：；8乘法對(duì)加法滿(mǎn)足左、右分配律： ； 。注意 試比較整數(shù)的加法與乘法、矩陣的加法與乘法，和多項(xiàng)式的加法與乘法的相似之處。又再比較它們和向量的運(yùn)算之間的差別。精品.命題1（次數(shù)定理） 任給，都有 ； （10） （11）9乘法消去律：（1）由或；等價(jià)于由（2）由且 證明：（1）由有，即。由 這只能是或，即或。 （2）。由（1）當(dāng)時(shí)可推出，即。4.環(huán)的定義 設(shè)是一個(gè)非空集合，如果它有兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算，一個(gè)叫做加法，記作，另一個(gè)叫做乘法，記作；并且這兩個(gè)運(yùn)算滿(mǎn)足下面6條運(yùn)算法則：，有1加法交換律：；2加法結(jié)合律：；3加法有零元：存在，使得；4加法有負(fù)元：對(duì)于

4、，中有元素，使得，稱(chēng)是的負(fù)元，記作，從而有； 5乘法結(jié)合律：；精品.6乘法對(duì)加法滿(mǎn)足分配律： ； 。則稱(chēng)是一個(gè)環(huán)。 最典型的環(huán)有：整數(shù)集合、全體一元多項(xiàng)式的集合和全體階方陣的集合，分別稱(chēng)為整數(shù)環(huán)、一元多項(xiàng)式環(huán)和全陣環(huán)。子環(huán)：環(huán)的一個(gè)子集如果也構(gòu)成一個(gè)環(huán)，則稱(chēng)它為的一個(gè)子環(huán)。 子環(huán)的判定定理：環(huán)的一個(gè)非空子集成為一個(gè)子環(huán)的充分必要條件是，對(duì)于的減法與乘法都封閉，即 。 給定，稱(chēng)為的一個(gè)多項(xiàng)式，它是由多項(xiàng)式將換成得到的。的多項(xiàng)式全體記為，即 。不難驗(yàn)證滿(mǎn)足環(huán)定義中的6條，因而是一個(gè)環(huán)，且是的子環(huán)。5. 的“通用性質(zhì)” “通用性質(zhì)”不要求詳細(xì)掌握，只要求了解，具體含義見(jiàn)教材精品.第7頁(yè)中間一段的文字

5、解釋?zhuān)涸O(shè)是一個(gè)有單位元的交換環(huán)，則中所有通過(guò)加（減）法和乘法表示的關(guān)系式，在不定元用中的任何一個(gè)元素代人后仍然保持成立。 分別取和，舉例說(shuō)明。 例1 設(shè)是數(shù)域上的階冪零矩陣，其冪零指數(shù)為 令， 證明可逆，并且求。 2 整除性與帶余除法1. 整除的定義 設(shè)，如果存在，使得，則稱(chēng)整除，記作； 否則，稱(chēng)不能整除，記作精品.因式與倍式：當(dāng)整除時(shí)，稱(chēng)為的因式，稱(chēng)為的倍式。注：1當(dāng)且僅當(dāng)，即只有，當(dāng)時(shí)，不整除； 2，都有； 3，都有。 用表示中全體非零常數(shù)組成的集合。2.多項(xiàng)式的相伴： 在中， 如果同時(shí)有，成立，則稱(chēng)與相伴，記作。命題1 在中，當(dāng)且僅當(dāng)存在，使得 命題2 在中，如果，則對(duì)于任意，有 3.

6、帶余除法：當(dāng)不能整除時(shí)，有 定理3（帶余除法定理） 對(duì)于中的任意兩個(gè)多項(xiàng)式與，其中，在中都存在唯一的一對(duì)多項(xiàng)式與，使得 ，其中 （3）精品. （3）式中的稱(chēng)為除（或被除）的商式，稱(chēng)為除的余式。證明 分存在性和唯一性?xún)刹糠肿C明。（1）存在性 記 注意有 1當(dāng)時(shí)，。取，有 ，定理成立。 2當(dāng)，且時(shí)。取，定理成立。 3當(dāng)，且時(shí)。對(duì)作數(shù)學(xué)歸納法。 假設(shè)對(duì)次數(shù)小于的多項(xiàng)式，命題的存在性部分成立。 現(xiàn)在看次數(shù)為的多項(xiàng)式。采用“首項(xiàng)消去法”。 設(shè)，的首項(xiàng)分別是。于是的首項(xiàng)是（與的首項(xiàng)相同）。令 ， （4） 則 根據(jù)歸納假設(shè)，存在，使得 ，且 (5) 將（5）式代入(4)式，得 （6）精品. 令，則 ，且 （

7、7） 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，定理3 的存在性部分得證。 （2）唯一性。 設(shè)，使得 ，且 （8），且 （9） 從（8），（9）得 （10） 于是由次數(shù)定理有 （11） 從而，只能，于是，即 從而又有 唯一性得證。定理3（帶余除法定理） 對(duì)于中的任意兩個(gè)多項(xiàng)式 與，其中，在中存在唯一的一對(duì)多項(xiàng)式，使得 ，且 （3）（3）式中的稱(chēng)為除（或被除）的商式，稱(chēng)為除的余式。精品.例1 用除，求商式和余式，其中 ， 。推論4 設(shè)，且，則當(dāng)且僅當(dāng)除的余式為零。 注意：推論4給出了判斷兩個(gè)多項(xiàng)式是否整除的方法，即用帶余除法，只要余式為零，則它們整除，否則，不整除。4. 綜合除法： 當(dāng)除式是一次多項(xiàng)式的形式時(shí)，帶余除

8、法可以簡(jiǎn)化為所謂的“綜合除法”。它主要的簡(jiǎn)化步驟是：將帶余除法中含有不定元的運(yùn)算過(guò)程，簡(jiǎn)化為只需用的系數(shù)和進(jìn)行運(yùn)算的過(guò)程。例2 設(shè) ，求除的商式和余式。 本節(jié)最后，設(shè), 是一個(gè)包含數(shù)域的數(shù)域（稱(chēng)是的擴(kuò)域，如復(fù)數(shù)域?qū)崝?shù)域有理數(shù)域）。此時(shí)，和也可以看做是中的多項(xiàng)式。問(wèn)：與在中做帶余除法的商和余式，和與在中精品.做帶余除法的商和余式是否相同？答案是肯定的：即商和余式是相同、不變的。 理由如下：設(shè)在中做帶余除法的結(jié)果如下 ，且 （3）其中，為商式，為余式。由于，因此也可以看做中的多項(xiàng)式，因而（3）式也可以看做是在中進(jìn)行的。但是，由帶余除法定理，滿(mǎn)足（3）式的和是唯一的。因此，無(wú)論在中還是在中，除的商式

9、和余式都是和。即 “帶余除法的結(jié)果不因數(shù)域的擴(kuò)大而改變?！庇捎?當(dāng)且僅當(dāng)除的余式為零。由此又可得命題5 設(shè)，數(shù)域，則在中， 在中，。即“多項(xiàng)式的整除性不因數(shù)域的擴(kuò)大而改變。” 3 最大公因式 在整數(shù)中，2，3，6都是12與18的公因數(shù)，其中6 是最大公因數(shù)，記為（12，18）=6.其它公因數(shù)2，3與精品. 最大公因數(shù)6之間滿(mǎn)足關(guān)系：，即一般的公因數(shù)總是最大公因數(shù)的因數(shù)?？梢?jiàn)，這里的“最大”不是指數(shù)的大小，而是按整除關(guān)系來(lái)比較。另外6還可以寫(xiě)成12 與18的組合形式：6=-112+118. 在多項(xiàng)式的運(yùn)算中，也有類(lèi)似這樣的現(xiàn)象。1.公因式：在中，如果既是的因式，又是的因式，則稱(chēng)是與的公因式。 2

10、. 最大公因式：如果同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)條件 是與的一個(gè)公因式； 對(duì)于與的任何一個(gè)公因式， 都有，則稱(chēng)是與的一個(gè)最大公因式。 注意：兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式不是唯一的。因?yàn)槿绻桥c的一個(gè)最大公因式，則乘以任何一個(gè)非零常數(shù)后也是最大公因式。 特殊情形：0與0的最大公因式只能是0； 是與0的一個(gè)最大公因式。 3. 最大公因式的性質(zhì) 命題1 設(shè)，如果與的所有公因式組成的集合（記為）等于與的所有公精品.因式組成的集合（記為）， 則與的最大公因式的集合（記為）等于與的最大公因式的集合（記為）。 即相當(dāng)于由推出。 證明 見(jiàn)附頁(yè) 推論2 設(shè)，是中非零常數(shù)，則與的最大公因式的集合等于與的最大公因式的集合。 引理1 在中

11、，如果有等式 ，（這里不要求），則與的最大公因式的集合等于與的最大公因式的集合。 4.最大公因式的存在性及求法 定理3 對(duì)于中的任意兩個(gè)多項(xiàng)式與，都存在它們的一個(gè)最大公因式，并且可以表示成與的一個(gè)組合，即有中的多項(xiàng)式與，使得 （2） 證明 見(jiàn)附頁(yè) 兩個(gè)給定多項(xiàng)式的最大公因式不是唯一的，但由最大精品.公因式的定義，兩個(gè)最大公因式一定是相伴的，于是任何兩個(gè)最大公因式之間只差一個(gè)非零常數(shù)倍。約定：與的首項(xiàng)系數(shù)為1的最大公因式記為，它是由和唯一決定的。例1 設(shè) ， 求，并且把它表示成與的組合。例2 設(shè) ， 求，并且把它表示成與的組合。5. 多項(xiàng)式的互素：中兩個(gè)多項(xiàng)式，如果 ，則稱(chēng)與互素。 如果兩個(gè)多項(xiàng)

12、式互素，那么它們除去零次多項(xiàng)式外 沒(méi)有其他的公因式。 定理4（互素的判定定理） 中兩個(gè)多項(xiàng)式與互素的充分必要條件是，存在中的多項(xiàng)式，使得 （3）精品. 互素的性質(zhì)定理 性質(zhì)1 在中，如果，且， 則 。 性質(zhì)2 在中，如果，且， 則 。性質(zhì)3 在中，如果， 則 6. 多個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式與互素 定義 在中，如果多項(xiàng)式能整除多項(xiàng)式中的每一個(gè)，那么叫做這個(gè)多項(xiàng)式的一個(gè)公因式。設(shè)是的一個(gè)公因式，且具有性質(zhì)：的每一個(gè)公因式都是的因式，則稱(chēng)為的一個(gè)最大公因式。 個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式一定存在，且在相伴意義下是唯一的，用表示首項(xiàng)系數(shù)為1的那個(gè)最大公因式。 求法如下： 精品.當(dāng)時(shí)，稱(chēng)互素（個(gè)多項(xiàng)式互素）。注意

13、：個(gè)多項(xiàng)式互素與兩兩互素不同。兩兩互素一定個(gè)多項(xiàng)式互素，但個(gè)多項(xiàng)式互素不一定兩兩互素。 例如，設(shè) ， 則互素，但與不互素。 前面有“帶余除法的結(jié)果不因數(shù)域的擴(kuò)大而改變。”“多項(xiàng)式的整除性不因數(shù)域的擴(kuò)大而改變?！庇捎谧畲蠊蚴娇捎啥啻螏в喑ǎㄝ氜D(zhuǎn)相除法）得到，而互素又是最大公因式為1 的特殊情況，所以有：命題5 兩個(gè)（及個(gè)）多項(xiàng)式的首項(xiàng)系數(shù)為1的最大公因式以及多項(xiàng)式的互素性不因數(shù)域的擴(kuò)大而改變。但要注意，與的普通公因式通常是隨域的擴(kuò)大而改變的。例如， ， 在實(shí)數(shù)域中的公因式是，而在復(fù)數(shù)域中的公因式是和，在兩種數(shù)域中的公因式各不一樣。但無(wú)論是在實(shí)數(shù)域中還是在復(fù)數(shù)域中，與的最大公因式都是，不隨域的

14、擴(kuò)大而改變精品.。 本節(jié)總結(jié) 公因式：最大公因式：不唯一；相伴；表示首項(xiàng)系數(shù)為1的那個(gè)最大公因式（唯一）；可用帶余除法求最大公因式?；ニ兀海换ニ氐呐卸ǘɡ恚号c互素的充分必要條件是，存在，使得 互素的性質(zhì)定理 性質(zhì)1 在中，如果，且， 則 。 性質(zhì)2 在中，如果，且， 則 。性質(zhì)3 在中，如果， 則 兩兩互素一定個(gè)多項(xiàng)式互素，但個(gè)多項(xiàng)式互素不一定兩兩互素?！皫в喑ǖ慕Y(jié)果不因數(shù)域的擴(kuò)大而改變?！薄岸囗?xiàng)式的整除性不因數(shù)域的擴(kuò)大而改變。” 精品.“多項(xiàng)式的首項(xiàng)系數(shù)為1的最大公因式不因數(shù)域的擴(kuò)大而改變?！?但普通公因式隨域的擴(kuò)大而改變?！盎ニ匦圆灰驍?shù)域的擴(kuò)大而改變?！?4 不可約多項(xiàng)式，唯一因式分解定

15、理不可約多項(xiàng)式類(lèi)似于整數(shù)中的素?cái)?shù)（或質(zhì)數(shù)）1不可約多項(xiàng)式的定義 中一個(gè)次數(shù)大于零的多項(xiàng)式，如果它在中的因式只有零次多項(xiàng)式和的相伴元，則稱(chēng)是數(shù)域上的一個(gè)不可約多項(xiàng)式；否則稱(chēng)是可約多項(xiàng)式。 2. 不可約多項(xiàng)式的性質(zhì)性質(zhì)1 中不可約多項(xiàng)式與任一多項(xiàng)式的關(guān)系只有兩種：或者，或者與互素。（與素?cái)?shù)的性質(zhì)類(lèi)似）性質(zhì)2 中，如果不可約，且，則或者，或者。精品.（與素?cái)?shù)的性質(zhì)類(lèi)似） 性質(zhì)3 中，不可約當(dāng)且僅當(dāng)不能分解成兩個(gè)次數(shù)較的次數(shù)低的多項(xiàng)式的乘積。（與素?cái)?shù)的性質(zhì)類(lèi)似） 推論：中的每個(gè)1次多項(xiàng)式一定是不可約多項(xiàng)式。 3. 唯一因式分解定理：中每個(gè)次數(shù)大于零的多項(xiàng)式都能唯一地分解成數(shù)域上有限多個(gè)不可約多項(xiàng)式的乘

16、積。唯一性是指除了因式的先后順序外，因式分解的結(jié)果只有一個(gè)。（類(lèi)似于任何整數(shù)都能分解成有限多個(gè)素?cái)?shù)的乘積） 如：由唯一因式分解定理，中的任何一個(gè)多項(xiàng)式都可以分解成如下形式 ， （7）其中是的首項(xiàng)系數(shù)，是不同的首項(xiàng)系數(shù)為1的不可約多項(xiàng)式，是正整數(shù)。（7）式稱(chēng)為的標(biāo)準(zhǔn)分解式。由于中的任何一個(gè)多項(xiàng)式都有形如（7）的分解形式，因此我們可以用這種分解式來(lái)解題，特別是證明題。精品.例如，要求與的最大公因式，可以設(shè) ， ，則 這就是因式分解的理論意義：即可以用因式分解求兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式。但這種求法的實(shí)際意義并不大，原因是：沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的方法去求一個(gè)多項(xiàng)式的所有不可約因式（見(jiàn)教材）。而求最大公因式真正通

17、用而且用有效的方法還是前面已有的輾轉(zhuǎn)相除法。本節(jié)雖然給出了不可約多項(xiàng)式的定義及性質(zhì)，但實(shí)際上并沒(méi)有給出一個(gè)判斷任何一個(gè)多項(xiàng)式是否可約的通用方法。但對(duì)于次數(shù)比較低的多項(xiàng)式（5次以下），可以用反證法來(lái)判斷。 例1 證明在有理數(shù)域上不可約。精品. 5 重 因 式1. 重因式的定義：在中，不可約多項(xiàng)式稱(chēng)為多項(xiàng)式的重因式，如果，但不整除。當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為的單因式，即，但不整除；當(dāng)時(shí)，統(tǒng)稱(chēng)為的重因式。例如，設(shè)實(shí)數(shù)域上的多項(xiàng)式，則是單因式，是2重因式，是3重因式.由定義，如果的標(biāo)準(zhǔn)分解式為精品.， 則是的重因式。其中指數(shù)的那些不可約因式是單因式，指數(shù)的那些不可約因式是重因式。2.如何判斷有無(wú)重因式 由于沒(méi)有一般的

18、方法求一個(gè)多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式，因此，必須尋找別的方法來(lái)判斷一個(gè)多項(xiàng)式有沒(méi)有重因式。這里采用最大公因式的方法。由于最大公因式需要兩個(gè)多項(xiàng)式，因此引入的導(dǎo)數(shù)。設(shè) ，定義 ，與數(shù)學(xué)分析中的導(dǎo)數(shù)定義一樣。 定理1 在中，如果不可約多項(xiàng)式是的一個(gè)（）重因式，則是的一個(gè)重因式。特別，的單因式不是的因式。證明 推論2 在中，不可約多項(xiàng)式是的重因式的充分必要條件為：是與的公因式。證明 精品.推論3 有重因式的充分必要條件是：與有次數(shù)大于零的公因式，即與不互素。定理3 沒(méi)有重因式的充分必要條件是：與互素。 定理3表明，判斷一個(gè)多項(xiàng)式有沒(méi)有重因式，只要計(jì)算。而求最大公因式有統(tǒng)一的方法：輾轉(zhuǎn)相除法，所以有統(tǒng)一的方法

19、輾轉(zhuǎn)相除法判斷一個(gè)多項(xiàng)式有沒(méi)有重因式。例1 判斷在有理數(shù)域中有無(wú)重因式。例2 證明：中的多項(xiàng)式 沒(méi)有重因式。由于多項(xiàng)式的互素性不因數(shù)域的擴(kuò)大而改變，因此有命題4 一個(gè)多項(xiàng)式有無(wú)重因式不因數(shù)域的擴(kuò)大而改變。精品.前面指出，求一個(gè)給定多項(xiàng)式的不可約因式分解是一個(gè)很難的問(wèn)題，特別是當(dāng)多項(xiàng)式的次數(shù)很高時(shí)。如果能夠降低多項(xiàng)式的次數(shù)且不改變它的不可約因式，則能大大降低分解因式的難度。這里給出一種方法：3. 去掉不可約因式重?cái)?shù)的方法 設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)分解式為， 根據(jù)定理1得 ， 其中不能被任何整除， 于是 因此用去除所得的商是 ， 把它記作，即 。 此時(shí)，與有完全相同的不可約因式（不計(jì)重?cái)?shù)），的次數(shù)比的次數(shù)要低且沒(méi)

20、有重因式。通過(guò)求的因式分解即能得到的因式分解，步驟如下： （1）先求； （2）求最大公因式； （3）用帶余除法求除的因式即得；精品. （4）求出的全部不可約因式，它們也就是的全部不可約因式（不計(jì)重?cái)?shù)）； （4）對(duì)每一個(gè)不可約因式，用反復(fù)去除即得是的幾重因式。 例3 設(shè)，在中求一個(gè)沒(méi)有重因式的多項(xiàng)式，使它與有完全相同的不可約因式（不計(jì)重?cái)?shù)），然后求的標(biāo)準(zhǔn)分解式。 總結(jié)：定理3 沒(méi)有重因式的充分必要條件是：與互素。命題4 一個(gè)多項(xiàng)式有無(wú)重因式不因數(shù)域的擴(kuò)大而改變。 6 多項(xiàng)式的根，復(fù)數(shù)域上的不可約因式前面：中每個(gè)次數(shù)大于零的多項(xiàng)式都能唯一分解成上不可約因式的乘積，由此看出不可約因式起著非常重要的作

21、用。而且知道，中的每個(gè)一次多項(xiàng)式都是不可約的，于是需要進(jìn)一步研究的是，中有沒(méi)有次數(shù)大于1的不可約多項(xiàng)式。顯然，精品.如果是次數(shù)大于1的不可約多項(xiàng)式，則沒(méi)有一次因式。由此，首先要研究中的一個(gè)多項(xiàng)式有一次因式的充分必要條件。1. 余數(shù)定理：在中，用去除的余式是。 證明 推論2 在中，整除當(dāng)且僅當(dāng)。 注：由余數(shù)定理不僅知道，用去除的余式是，而且由前面的知識(shí)，還可以用綜合除法求。例1 設(shè)，求。受推論2中出現(xiàn)的啟發(fā)，引出多項(xiàng)式的根的概念。 2. 多項(xiàng)式的根：設(shè)是一個(gè)數(shù)域，是一個(gè)包含的有單位元的交換環(huán)，如果，則稱(chēng)是在中的一個(gè)根。在復(fù)數(shù)域中的根稱(chēng)為復(fù)根，在實(shí)數(shù)域中的根稱(chēng)為實(shí)根，在有理數(shù)域中的根稱(chēng)為有理根。有

22、時(shí)候?qū)嵪禂?shù)多項(xiàng)式除了在實(shí)數(shù)域中求它的根外，還需要在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)求根；同樣，有理系數(shù)多項(xiàng)式除了求有理根外，還需要精品.在實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)范圍內(nèi)求根，這就是根的定義中為什么要求包含的原因。 由推論2：在中，整除當(dāng)且僅當(dāng)；及根的定義：，如果，則稱(chēng)是在中的一個(gè)根。有定理3 在中，整除當(dāng)且僅當(dāng)是在中的一個(gè)根。即多項(xiàng)式在中有一次因式的充分必要條件是在中有根。 一個(gè)一次因式恰好對(duì)應(yīng)一個(gè)根。由于一次因式有重?cái)?shù)概念，于是有 3. 根的重?cái)?shù)：如果是的重因式，則稱(chēng)為的一個(gè)重根。當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為單根；當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為重根（不考慮具體重?cái)?shù)）。注：由重因式的定義，有是的重根是的重因式； ，不整除； 但不整除； 但 以上過(guò)程可以用綜合除法去實(shí)

23、現(xiàn)。精品.例2 設(shè)，判斷是的幾重根？由一次因式與根的關(guān)系：一個(gè)一次因式恰好對(duì)應(yīng)一個(gè)根，得在中的根的個(gè)數(shù)（重根按重?cái)?shù)計(jì)算），等于的因式分解中一次因式的個(gè)數(shù)（重因式按重?cái)?shù)計(jì)算），這個(gè)數(shù)目不會(huì)超過(guò)的次數(shù)。于是有定理4 中的次多項(xiàng)式在中至多有個(gè)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）。推論5 設(shè)中兩個(gè)多項(xiàng)式與的次數(shù)都不超過(guò)。如果中有個(gè)不同元素，使得，則。證明 3. 多項(xiàng)式函數(shù) 前面提到的多項(xiàng)式中的只是一個(gè)符號(hào)或不定元，如果 讓取數(shù)域中的數(shù)，則得到多項(xiàng)式函數(shù)。設(shè)，對(duì)于中的每一個(gè)數(shù)，用代入得 于是的一個(gè)多項(xiàng)式確定了到的一個(gè)映射即上精品.的一個(gè)函數(shù)，稱(chēng)為由多項(xiàng)式確定的多項(xiàng)式函數(shù)，用表示，即 問(wèn)：中兩個(gè)不相等的多項(xiàng)式與，它們所確

24、定的函數(shù)是否相等？回答是肯定的。定理6 如果數(shù)域上的兩個(gè)多項(xiàng)式與不相等，則它們確定的上的多項(xiàng)式函數(shù)與也不相等。證明 定理8（代數(shù)基本定理） 每個(gè)次數(shù)大于零的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域中至少有一個(gè)根。定理10 每一個(gè)次數(shù)大于零的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式，在復(fù)數(shù)域上一定有一個(gè)一次因式。定理11（復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式的唯一因式分解定理） 每個(gè)次數(shù)大于零的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式，在復(fù)數(shù)域上都可以唯一地分解成一次因式的乘積： ， （2）精品.其中是的首項(xiàng)系數(shù)，是互不相同的復(fù)數(shù)，是正整數(shù)。推論12 每個(gè)次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式恰有個(gè)復(fù)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）。根與系數(shù)的關(guān)系： 設(shè)是首項(xiàng)系數(shù)為1的次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式，它的個(gè)復(fù)根記為（它們可以有相同的），于是在復(fù)

25、數(shù)域上有因式分解 。 （3）又設(shè)， （4） 將（3）式右端乘出來(lái)，并與（4）的右端相比較，得根與系數(shù)的關(guān)系如下： 精品. 定理1（復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式的唯一因式分解定理） 每個(gè)次數(shù)大于零的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式，在復(fù)數(shù)域上都可以唯一地分解成一次因式的乘積： ， （2）其中是的首項(xiàng)系數(shù)，是互不相同的復(fù)數(shù)，是正整數(shù)。 復(fù)數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式只有一次多項(xiàng)式。定理2（實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的唯一因式分解定理） 每個(gè)次數(shù)大于零的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，在實(shí)數(shù)域上都可以唯一地分解成一次因式與判別式小于零的二次因式的乘積 ， （3）其中是的首項(xiàng)系數(shù)，是互不相同的實(shí)數(shù)，是實(shí)數(shù)，并且滿(mǎn)足；，是正整數(shù)。 實(shí)數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式只有一次多項(xiàng)式和判別式精

26、品.小于零的二次多項(xiàng)式。 8 有理數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式 在中，如果有有理根，則有一次因式有理因式，從而在有理數(shù)域中可約，即如果有有理根，則在有理數(shù)域中可約。 如果沒(méi)有有理根，則在有理數(shù)域中是否可約？如何判斷中次數(shù)大于1的多項(xiàng)式有沒(méi)有有理根？怎么求有理根？由于有理數(shù)可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)，即整數(shù)除以整數(shù)的形式，因此可以把有理系數(shù)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成整系數(shù)多項(xiàng)式來(lái)處理。例如 ，記，則。注意，是整系數(shù)多項(xiàng)式，而且它的各項(xiàng)系數(shù)的最大公因數(shù)只有。1. 本原多項(xiàng)式的定義 一個(gè)非零的整系數(shù)多項(xiàng)式 ， 精品.如果它的各項(xiàng)系數(shù)的最大公因數(shù)只有，即，則稱(chēng)是一個(gè)本原多項(xiàng)式。 如果先求出有理系數(shù)多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)的分母的最小公倍數(shù)，然后

27、提出；再將括號(hào)內(nèi)的整系數(shù)多項(xiàng)式系數(shù)的最大公因數(shù)提出，這時(shí)括號(hào)內(nèi)的整系數(shù)多項(xiàng)式便是本原多項(xiàng)式。即 任何一個(gè)非零的有理系數(shù)多項(xiàng)式都與一個(gè)本原多項(xiàng)式相伴。，存在本原多項(xiàng)式，s.t.， 給定一個(gè)有理系數(shù)多項(xiàng)式，與它相伴的本原多項(xiàng)式有幾個(gè)？2. 本原多項(xiàng)式的性質(zhì)引理1 兩個(gè)本原多項(xiàng)式與在中相伴當(dāng)且僅當(dāng) 。由引理1，對(duì)于一個(gè)給定的有理系數(shù)多項(xiàng)式，與它相伴的本原多項(xiàng)式只有兩個(gè)，它們只相差一個(gè)正負(fù)號(hào)。如果要求本原多項(xiàng)式的首項(xiàng)系數(shù)為正，則與相伴的本原多項(xiàng)式只有一個(gè)。精品.引理2（gauss引理） 兩個(gè)本原多項(xiàng)式的乘積還是本原多項(xiàng)式。 定理1 一個(gè)次數(shù)大于零的本原多項(xiàng)式在上可約，當(dāng)且僅當(dāng)可以分解成兩個(gè)次數(shù)都比的次

28、數(shù)低的本原多項(xiàng)式的乘積。推論2 如果一個(gè)次數(shù)大于零的整系數(shù)多項(xiàng)式在上可約，則它可以分解成兩個(gè)次數(shù)比它低的整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積。定理3 每一個(gè)次數(shù)大于零的本原多項(xiàng)式可以唯一地分解成上不可約的本原多項(xiàng)式的乘積。定理4 設(shè) 是一個(gè)次數(shù)大于0的整系數(shù)多項(xiàng)式，如果是的一個(gè)有理根，其中是互素的整數(shù)，那么， 。 例1 求的全部有理根。精品.例2 判斷在有理數(shù)域上是否可約？注意 對(duì)于次數(shù)大于3的整系數(shù)多項(xiàng)式，不能從沒(méi)有有理根就得出在有理數(shù)域上不可約的結(jié)論。這是因?yàn)闆](méi)有有理根，只能說(shuō)明沒(méi)有一次因式。但是可能有次數(shù)大于1 的因式，從而可能可約。例如，沒(méi)有有理根，但在上可約，事實(shí)上，。定理5（eisenstein）判

29、別法 設(shè) 是一個(gè)次數(shù)大于0的整系數(shù)多項(xiàng)式，如果存在一個(gè)素?cái)?shù)，使得（1）不整除，即不整除最高次冪（首項(xiàng)）的系數(shù)；（2），即整除首項(xiàng)系數(shù)以外的其它系數(shù)；（3）不整除，即不整除常數(shù)項(xiàng)，則在有理數(shù)域上是不可約的。例3 判斷在有理數(shù)域上是否可約。推論6 在有理數(shù)域中存在任意次數(shù)的不可約多項(xiàng)式。 例如， ，等。精品. 有時(shí)直接用eisenstein判別法無(wú)法判斷是否在有理數(shù)域上可約還是不可約，這時(shí)可以將換成，得到另一個(gè)多項(xiàng)式，對(duì)用eisenstein判別法判斷它是否可約，從而判斷出原來(lái)的是否可約。命題7 設(shè)是次數(shù)大于0的整系數(shù)多項(xiàng)式，是任意的整數(shù)，令 ，則在上不可約的充分必要條件是在上不可約?；蛘哒f(shuō)在上可

30、約的充分必要條件是在上可約。例3 判斷在有理數(shù)域上是否可約。 解 令。 例4 設(shè)是一個(gè)素?cái)?shù)，證明多項(xiàng)式 在有理數(shù)域上不可約。 證明 注意（等比數(shù)列求和），從而有 將換成，得精品. （1） 由（1）式的 ， 令。因?yàn)?且是整數(shù)，因此又由于當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)， 。這樣得到 當(dāng)時(shí)，。 （2） 于是對(duì)于，素?cái)?shù)滿(mǎn)足eisenstein判別法的條件，所以在有理數(shù)域上不可約，從而在有理數(shù)域上不可約。注意：（2）中的結(jié)論很重要，以后還會(huì)用到。 一元多項(xiàng)式部分內(nèi)容總結(jié)與習(xí)題解答 一元多項(xiàng)式部分主要以帶余除法為主線：精品. 帶余除法 注意：帶余除法的結(jié)果不因數(shù)域的擴(kuò)大而改變， 因此凡是能用帶余除法求解的問(wèn)題，其結(jié)果不

31、會(huì)因數(shù)域的擴(kuò)大而改變。有些不能用帶余除法求解的問(wèn)題，如因式分解、不可約多項(xiàng)式的判定，會(huì)因數(shù)域的擴(kuò)大而改變。 復(fù)數(shù)域、實(shí)數(shù)域上的根與因式分解問(wèn)題。 有理數(shù)域上不可約多項(xiàng)式的判定及有理根的求法。 部分證明題的解答：p8 題*8 設(shè)的特征多項(xiàng)式為 ，證明：的特征多項(xiàng)式為 由此得出：如果是的重特征值，則是的重特征值。 精品.證 由，將換成得 ，即 。從而 ，即 ，或者 。p20 題9 證明：中兩個(gè)多項(xiàng)式與不互素的充分必要條件是，存在兩個(gè)非零多項(xiàng)式與使得 ，其中 ， 。證 必要性。設(shè)與不互素，令，則，其中，。取，則。充分性。反證法。若與互素，則。由得，從而。同理，由得，從而。這與，矛盾。所以與不互素。p

32、21 題*11 設(shè)， 證明：如果是精品.與的一個(gè)最大公因式，則齊次線性方程的解空間等于的解空間與的解空間的交。證 記的解空間為，的解空間與的解空間分別為與，要證則。由，得，從而 即。同理，從而， 反之，設(shè)，則，。由，有，使得。令得 ，從而 ，即 從而。綜上所述有p21 題*12 設(shè)，記。證明：如果，則的任意一個(gè)解都可唯一地表示成的一個(gè)解與的一個(gè)解的和。證 設(shè)是的任意一個(gè)解，由得，存在，使得。從而有 ， 。記，則，且，即是的解。同理可證是的解。精品.p27 題3 證明：在中當(dāng)且僅當(dāng)。證 顯然。因?yàn)橛捎?，從而?設(shè)與的標(biāo)準(zhǔn)分解式分別為 ， ， ，是互不相同的不可約多項(xiàng)式。則，。由。 p27 題4

33、證明本節(jié)性質(zhì)2的逆命題為真：即設(shè)是中一個(gè)次數(shù)大于零的多項(xiàng)式，如果對(duì)于任意，從可以推出或者，那么是不可約多項(xiàng)式。證 反證法。假如可約，則，。由得。由已知條件得 或者，矛盾。所以是不可約多項(xiàng)式。p27 *5題 證明：中的一個(gè)次數(shù)大于零的多項(xiàng)式是中某一不可約多項(xiàng)式的方冪的充要條件是，對(duì)于任意，必有或者，是某個(gè)正整數(shù)。證 設(shè)，不可約。，要么要么。若，則。若，則，從而精品.。 反證法。設(shè)，其中，是互不相同的不可約多項(xiàng)式。令，則。由題設(shè)要么，這與矛盾；要么，從而必有，或者，或者，矛盾。所以，即。p27 *題6 證明：中的一個(gè)次數(shù)大于零的多項(xiàng)式是中某一不可約多項(xiàng)式的方冪的充要條件是，對(duì)于任意，從可以推出或者

34、，是某個(gè)正整數(shù)。證 由*5題，對(duì)，要么要么。若，結(jié)論成立。若，由，結(jié)論成立。反證法。設(shè)，其中，是互不相同的不可約多項(xiàng)式。令，則，從而。由題設(shè)有或者，顯然矛盾。p32 題*7 證明：中一個(gè)次多項(xiàng)式能被它的導(dǎo)數(shù)整除的充要條件是它與某個(gè)一次因式相伴。證 設(shè)，則，顯然。 利用去掉的不可約因式重?cái)?shù)的方法得精品.，其中與有相同的不可約因式，且沒(méi)有重因式。 設(shè)，則，從而。注意 ，從而，于是。由與有相同的不可約因式得，的不可約因式只有，從而 。p38 題5 證明：在中，如果，則。 證 由有，從而。 設(shè)是的任意一個(gè)根，則，從而，這表明是的根，所以。p38 題6 設(shè)，證明：如果 則1是與的公共根。 證 由。 令是

35、的一個(gè)根，則也是的一個(gè)根，且。在兩邊分別令和，得 ，即1是與的公共根。精品.p38 題7 設(shè)，并且，其中是某個(gè)大于1的正整數(shù)。證明：在復(fù)數(shù)域中的根只能是零或單位根（單位根是指長(zhǎng)度為1的根）。證 由有。設(shè)是在復(fù)數(shù)域中的任何一個(gè)根，則，從而有。即：如果是的一個(gè)根，則也是的一個(gè)根。如此反復(fù)進(jìn)行下去，對(duì)任意正整數(shù)，都是的根。而只能有有限多個(gè)根，所以，使得，則要么，要么。兩邊取絕對(duì)值或模，得 ，為單位根。p40 *4題 證明：如果階實(shí)矩陣與不相似，則把它們看成復(fù)矩陣仍然不相似。證 反證法。若與看成復(fù)矩陣相似，則存在階復(fù)矩陣使得或者。設(shè)，其中都是實(shí)矩陣。將代入得，。從而任給實(shí)數(shù)有?？紤]行列式，它是的一個(gè)次

36、多項(xiàng)式，最多有個(gè)實(shí)數(shù)根。因而存在實(shí)數(shù)使得，即是一個(gè)可逆實(shí)矩陣，且滿(mǎn)足，即，則實(shí)矩陣與相似，這與題設(shè)矛盾。p48 題7 設(shè)是個(gè)互不相同的整數(shù)，精品. ，證明：如果是奇數(shù)，則在有理數(shù)域上不可約。如果是偶數(shù)，在有理數(shù)域上是否不可約？證 反證法。假設(shè)是奇數(shù)時(shí)在有理數(shù)域上可約，則， 于是 由于與均為整數(shù)，從而與同為1或同為。 由此得出，即， 設(shè) ，則，即有個(gè)互不相同的根。 但，只能，即， 從而，的次數(shù)必為偶數(shù)，矛盾。所以是奇數(shù)時(shí)在有理數(shù)域上不可約。 當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，可能可約，也可能不可約。如，可約；不可約。p48 題*8 設(shè)是個(gè)互不相同的整數(shù)， ，證明：在有理數(shù)域上不可約。證 反證法。與題7類(lèi)似，假設(shè)在有理

37、數(shù)域上可約，則， 從而與一個(gè)為1另一個(gè)為，即總有 令，則有個(gè)互不相同的根。但，只能，即，從而。這與的首項(xiàng)系數(shù)為1矛盾，所以在精品.有理數(shù)域上不可約。p48 題*9 設(shè)是個(gè)互不相同的整數(shù)， ，證明：在有理數(shù)域上不可約。證 同前面，反證法。假設(shè)在有理數(shù)域上可約，則， 于是 從而與同為1或。由于恒為正，因此沒(méi)有實(shí)根，從而也都沒(méi)有實(shí)根，這樣只能全為1或全為。否則，若，則由零點(diǎn)定理，在與之間存在實(shí)根，矛盾。不妨設(shè)，此時(shí)也有。（1）若與中有一個(gè)的次數(shù)小于，不妨設(shè) 由于，因此，由此推出， ，與矛盾。（2）若，由于，因此 。 同理， 。 從而 。 由此推出 ，矛盾。精品. 因此在有理數(shù)域上不可約。 9 多元多

38、項(xiàng)式 是二元多項(xiàng)式；是三元多項(xiàng)式。上冊(cè)學(xué)過(guò)的二次型 是元多項(xiàng)式。一般地，有1. 多元多項(xiàng)式的定義：設(shè)是一個(gè)數(shù)域，是個(gè) 不定元，稱(chēng)表達(dá)式 ， （1） 為數(shù)域上的元多項(xiàng)式，其中，是非負(fù)整數(shù)，稱(chēng)為一個(gè)單項(xiàng)式，是它的系數(shù)。如果兩個(gè)單項(xiàng)式的的冪指數(shù)都對(duì)應(yīng)相等，則稱(chēng)這兩個(gè)單項(xiàng)式為同類(lèi)項(xiàng)。同類(lèi)項(xiàng)可以合并，約定：元多項(xiàng)式中的單項(xiàng)式都是不同類(lèi)的。2. 單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的次數(shù) 稱(chēng)為單項(xiàng)式的次數(shù)，元多項(xiàng)式精品.中系數(shù)不為零的單項(xiàng)式的次數(shù)的最大值稱(chēng)為的次數(shù)，用表示。零多項(xiàng)式的次數(shù)規(guī)定為。例如，3元多項(xiàng)式 的各單項(xiàng)式的次數(shù)依次為：4，4，4，3，2，因而該多項(xiàng)式的次數(shù)為4。其中的次數(shù)都是4，但它們并不是同類(lèi)項(xiàng)。 3. 多

39、元多項(xiàng)式的加法與乘法 數(shù)域上所有元多項(xiàng)式組成的集合記作。 在中定義加法與乘法如下 （2） （同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)相加） ， （3） 其中。 （4） 4. 單項(xiàng)式的排列順序：字典排列法精品. 的次數(shù)是4，其中的次數(shù)都是4，那么三個(gè)單項(xiàng)式的先后順序怎么排列？一個(gè)多元多項(xiàng)式的首項(xiàng)怎么確定？ 每一個(gè)單項(xiàng)式對(duì)應(yīng)一個(gè)元有序數(shù)組。對(duì)于兩個(gè)元有序數(shù)組與，如果，則稱(chēng)優(yōu)先于，記作 。例如，。 元有序數(shù)組之間的關(guān)系具有傳遞性，即如果 ， ，則 。理由如下：設(shè)中第一次出現(xiàn)的位置在第項(xiàng)，中第一次出現(xiàn)的位置在第項(xiàng)。是與中較小的那一個(gè)，則由即得成立。 給出了元有序數(shù)組之間的排列順序后，元單項(xiàng)式之間也有了一個(gè)先后順序，這種排列順序類(lèi)

40、似于英文單詞的排列順序，因此稱(chēng)為字典排列法。例如精品. 就是按字典順序排列法排列的結(jié)果： 又如 按字典順序排列法排列的結(jié)果是 ， 5. 多元多項(xiàng)式的首項(xiàng)：按字典順序排列法寫(xiě)出來(lái)的第一個(gè)系數(shù)不為零的單項(xiàng)式稱(chēng)為元多項(xiàng)式的首項(xiàng)。 例如，上面多項(xiàng)式的首項(xiàng)是但要注意，首項(xiàng)不一定具有最大的次數(shù)，這一點(diǎn)與一元多項(xiàng)式不同。 例如上面多項(xiàng)式的次數(shù)是7，而首項(xiàng)的次數(shù)為6. 雖然元多項(xiàng)式的首項(xiàng)不一定具有最大的次數(shù)，但元多項(xiàng)式的下述性質(zhì)確與一元多項(xiàng)式相同：乘積的首項(xiàng)等于首項(xiàng)的乘積。 定理1 在中兩個(gè)非零多項(xiàng)式的乘積的首項(xiàng)等于它們的首項(xiàng)的乘積。精品.由定理1可以得出：兩個(gè)非零多項(xiàng)式的乘積仍是非零多項(xiàng)式。這是因?yàn)榉橇愣囗?xiàng)

41、式的首項(xiàng)一定是非零的，而兩個(gè)非零多項(xiàng)式的乘積的首項(xiàng)等于它們的首項(xiàng)的乘積，因而乘積之后的首項(xiàng)也是非零的，不可能是零多項(xiàng)式。 由此又可以得出：多元多項(xiàng)式的乘法滿(mǎn)足消去律。推論2 在中，如果，則 的首項(xiàng)等于每個(gè)的首項(xiàng)的乘積。觀察：的每個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)為3；的每個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)為4.一般地，有6. 齊次多項(xiàng)式 數(shù)域上的次多項(xiàng)式稱(chēng)為次齊次多項(xiàng)式，如果它的每個(gè)系數(shù)不為零的單項(xiàng)式的次數(shù)都為。因此，是3次齊次多項(xiàng)式； 是4 次齊次多項(xiàng)式。 顯然，兩個(gè)齊次多項(xiàng)式的乘積仍是齊次多項(xiàng)式，且乘積之后的次數(shù)等于這兩個(gè)齊次多項(xiàng)式的次數(shù)之和。對(duì)于非齊次多項(xiàng)式此結(jié)論是否也成立呢？答案是肯定的。精品. 定理3 設(shè)，是中的任何兩個(gè)元

42、多項(xiàng)式，則 。 (5)以下定理給出了齊次多項(xiàng)式的一個(gè)重要性質(zhì)。定理6 設(shè)且，是一個(gè)非負(fù)整數(shù)。則是次齊次多項(xiàng)式的充要條件是：對(duì)于，都有 ， （12） *當(dāng)時(shí)，中沒(méi)有帶余除法，因而沒(méi)有最大公因式、互素等概念。但有因式分解，只是遠(yuǎn)比一元多項(xiàng)式的因式分解復(fù)雜。一元多項(xiàng)式中有多項(xiàng)式和多項(xiàng)式函數(shù)，類(lèi)似地，也有元多項(xiàng)式和元多項(xiàng)式函數(shù)。如果將元多項(xiàng)式中的不定元取數(shù)域中的數(shù)，則由此產(chǎn)生的函數(shù)稱(chēng)為元多項(xiàng)式函數(shù)，記為，而且有以下類(lèi)似定理：定理5 設(shè)，如果多項(xiàng)式與不相等，則由它們確定的多項(xiàng)式函數(shù)與也不相等。 精品.元多項(xiàng)式也有所謂“通用性質(zhì)”：即在關(guān)于元多項(xiàng)式的等式中，可以將不定元分別換成任意其它元多項(xiàng)式，或?qū)⒎謩e換

43、成數(shù)域上的任何矩陣。 10 對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式 觀察：,將兩兩任意交換位置，所得多項(xiàng)式保持不變；而 卻不具備此性質(zhì)。精品. 1. 對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式的定義 設(shè)，如果任意交換的位置，所得多項(xiàng)式都保持不變，則稱(chēng)是一個(gè)元對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式。即都有注：由對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式的定義知，如果一個(gè)元對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式 含有一項(xiàng)，則同時(shí)含有一切形如 的項(xiàng)，其中取的所有元排列。 例如，如果3元對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式含有一項(xiàng)，則應(yīng)當(dāng)含有一切形如的項(xiàng)，其中是的任意3元排列。從而應(yīng)當(dāng)還含有下列5項(xiàng)： ，于是3元對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式中，含有的項(xiàng)數(shù)最少的對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式為 。2. 對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu) 記中所有對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式組成的集合為，本節(jié)的剩余部分主要討論的結(jié)構(gòu)。精品.命題1 是的一個(gè)子環(huán)。

44、命題2 設(shè)是個(gè)元對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式，是任意一個(gè)元多項(xiàng)式，則 總是對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式。注：命題2表明，如果知道了中的個(gè)元對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式，那么就可以得到無(wú)窮多個(gè)元對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式。問(wèn)：能否找到個(gè)最基本的對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式，使得用命題2的方法能夠得到所有的元對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式，亦即每一個(gè)元對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式能否都可以用命題2 的方法得到。如果能的話，這樣的基本對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式怎么找？ 受到多項(xiàng)式的根與系數(shù)之間的關(guān)系 的啟發(fā)，考慮如下個(gè)元多項(xiàng)式： ,精品.,.,. 不難驗(yàn)證，都是對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式，稱(chēng)為 初等對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式，以下定理表明它們就是要找的基本對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式。 定理3（對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式基本定理） 對(duì)于中的任意一個(gè)對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式，都存在中唯一的多項(xiàng)式，使得 例1 在中，用初等對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式表示對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式 。 解