第九章-數項級數

1、第九章 數項級數 1 數項級數的收斂性一、本次課主要內容級數的收斂與發(fā)散概念；收斂性必要條件；收斂級數的性質二、教學目的與要求明確認識級數是研究函數的一個重要工具；無窮級數的收斂問題是如何化歸為部分和數列收斂問題的；理解解數項級數，級數的基本性質。三、教學重點難點1. 數項級數的概念與收斂的轉化；2. 數項級數的性質的理解與運用。四、教學方法和手段課堂講授、提問、討論；使用多媒體教學方式。五、作業(yè)與習題布置P8 1（7），（8） P8 2（1），（3）一概念 ： 1級數 ：級數 ，無窮級數 ; 通項 ( 一般項 , 第 項 ), 前 項部分和等概念 ( 與中學的有關概念聯系 ). 級數常簡記為

2、 .2.級數的斂散性與和 : 介紹從有限和入手, 引出無限和的極限思想 . 以在中學學過的無窮等比級數為藍本 , 定義斂散性、級數的和、余和以及求和等概念 .例1 討論幾何級數 的斂散性.（這是一個重要例題?。┙?時, . 級數收斂 ; 時, 級數發(fā)散 ; 時, , , 級數發(fā)散 ; 時, , , 級數發(fā)散 .綜上, 幾何級數 當且僅當 時收斂, 且和為 ( 注意 從0開始 ).例2 討論級數 的斂散性. 解（利用拆項求和的方法）例3 討論級數 的斂散性.解 設 , , = , . , . 因此, 該級數收斂. 例4 討論級數 的斂散性.解 , . 級數發(fā)散.3. 級數與數列的關系 : 對應部

3、分和數列 , 收斂 收斂;對每個數列 , 對應級數 , 對該級數, 有 = . 于是,數列 收斂 級數 收斂.可見 , 級數與數列是同一問題的兩種不同形式 . 4. 級數與無窮積分的關系 : , 其中 . 無窮積分可化為級數 ;對每個級數, 定義函數 , 易見有= . 即級數可化為無窮積分.綜上所述 , 級數和無窮積分可以互化 , 它們有平行的理論和結果 . 可以用其中的一個研究另一個 . 二. 級數收斂的充要條件 Cauchy準則 ：把部分和數列 收斂的Cauchy準則翻譯成級數的語言 ， 就得到級數收斂的Cauchy準則 . Th ( Cauchy準則 ) 收斂 和 N, . 由該定理可見

4、, 去掉或添加上或改變 ( 包括交換次序 ) 級數的有限項 , 不會影響級數的斂散性 . 但在收斂時 , 級數的和將改變 . 去掉前 項的級數表為 或.( 級數收斂的必要條件 ) 收斂 . 例5 證明 級數 收斂 .證 顯然滿足收斂的必要條件 . 令 , 則當 時有應用Cauchy準則時，應設法把式 | |不失真地放大成只含 而不含 的式子，令其小于 ，確定 . 例6 判斷級數 的斂散性. ( 驗證 . 級數判斂時應首先驗證是否滿足收斂的必要條件 )例7 ( 但級數發(fā)散的例 ) 證明調和級數 發(fā)散 .證法一 ( 用Cauchy準則的否定進行驗證 ) 證法二 證明 發(fā)散. 利用已證明的不等式.

5、即得 ， . 三 收斂級數的基本性質：（ 均給出證明 ） 性質1 收斂， Const 收斂且有 = ( 收斂級數滿足分配律 ) 性質2 和 收斂 ， 收斂, 且有 = .問題 : 、 、 三者之間斂散性的關系.性質3 若級數 收斂 , 則任意加括號后所得級數也收斂 ,且和不變 . ( 收斂數列滿足結合律 )例8 考查級數 從開頭每兩項加括號后所得級數的斂散性 . 該例的結果說明什么問題 ?教學后記：第九章 數項級數 2 上極限與下極限一、本次課主要內容數列上極限與下極限概念以及相應運算二、教學目的與要求使學生理解上下極限概念。了解上極限和下極限的運算。三、教學重點難點1.上下極限的概念。2.上

6、下極限的運算。四、教學方法和手段課堂講授、提問、討論；使用多媒體教學方式。五、作業(yè)與習題布置P16 2（2），3（2），4一上、下極限的定義:下面用兩種方法定義上極限與下極限。1. 用極限點定義上、下極限:定義9.2.1 稱數列的收斂子列的極限為數列的極限點，即設是數列, 是一個實數. 若對中的無窮多個項屬于鄰域, 則稱實數是數列的一個極限點。定義1分別稱數列的極限點集的最大值H和最小值h為數列的上極限和下極限,記為有。2 用所謂“半邊極限”觀念定義上、下極限:定義2 稱實數H (或h) 為數列的上(或下)極限是指: 在鄰域內有數列的無窮多項, 且在該鄰域的右側(或左側)僅有數列的有限項二：上

7、下極限的運算性質（見書本）教學后記：第九章 數項級數 3 正項級數（1）一、本次課主要內容正項級數的比較判別方法，Cauchy判別法。二、教學目的與要求掌握正項級數的比較與柯西判別法。三、教學重點難點1. 比較判別法。2. 柯西判別法。四、教學方法和手段課堂講授、提問、討論；使用多媒體教學方式。五、作業(yè)與習題布置P27 1（4）（6）一. 正項級數判斂的一般原則 : 1.正項級數 : ; 任意加括號不影響斂散性.2.基本定理 : Th 1 設 . 則級數 收斂 . 且當 發(fā)散時有, . ( 證 )3.正項級數判斂的比較原則 : Th 2 設 和 是兩個正項級數 , 且 時有 , 則 , = ,

8、 = .( 是的逆否命題 )例1 考查級數 的斂散性 .解 有 例2 設 . 判斷級數 的斂散性 . 推論1 ( 比較原則的極限形式 ) 設 和 是兩個正項級數且 ,則 時 , 和 共斂散 ; 時 , , 時 , = , = . ( 證 )推論2 設 和 是兩個正項級數 , 若 = ， 特別地 ，若 , ， 則 若 , 若 , = . 證 不妨設 時就有 成立 , 有 依次相乘 , , 即 . 由 , 得 , 可見 往后遞增 , .推論 ( 檢比法的極限形式 ) 設 為正項級數 , 且 . 則 , 或 = , = . ( 證 )註 倘用檢比法判得 = , 則有 .檢比法適用于 和 有相同因子的

9、級數,特別是 中含有因子 者.例4 判斷級數 的斂散性.解 , . 例5 討論級數 的斂散性. 解 . 因此, 當 時, ; 時, ; 時, 級數成為 , 發(fā)散. 例6 判斷級數 的斂散性 . 注意 對正項級數 ，若僅有 ，其斂散性不能確定 . 例如對級數 和 , 均有 ，但前者發(fā)散, 后者收斂 .2. 檢根法 ( Cauchy 判別法 ): 也是以幾何級數作為比較的對象建立的判別法.Th 4 設 為正項級數 , 且 及 , 當 時 , 若 , 若 , = . ( 此時有 .) ( 證 )推論 ( 檢根法的極限形式 ) 設 為正項級數 , 且 . 則 , 和 均為正項級數 , 且有 和; ,

10、. 同號項級數的性質: Th 3 若 ， 則 ， . 若 條件收斂 , 則 , . 證 由 和 , 成立 . 反設不真 , 即 和 中至少有一個收斂 , 不妨設 .由 = , = 以及 和 收斂 , .而 , ,與條件收斂矛盾 . 絕對收斂級數的可重排性: 更序級數的概念. Th 4 設 是 的一個更序 . 若 , 則 , 且= .證 若 ，則 和 是正項級數 , 且它們的部分和可以互相控制.于是 , , , 且和相等 . 對于一般的 , = , = .正項級數 和 分別是正項級數 和 的更序 . 由 , 據Th 1 , 和 收斂 . 由上述所證 , 有 , , 且有= , = , = .由該

11、定理可見 , 絕對收斂級數滿足加法交換律 .是否只有絕對收斂級數才滿足加法交換律呢 ? 回答是肯定的 .Th 5 ( Riemann ) 若級數 條件收斂 , 則對任意實數 ( 甚至是 ) , 存在級數 的更序 , 使得 = .證 以Leibniz級數 為樣本 , 對照給出該定理的證明 .關于無窮和的交換律 , 有如下結果: 若僅交換了級數 的有限項 , 的斂散性及和都不變 . 設 是的一個更序 . 若 , 使 在 中的項數不超過 ,則 和 共斂散 , 且收斂時和相等 .三. 型如 的級數判斂法： 1Abel判別法： 引理1 （分部求和公式，或稱Abel變換）設 和 （ ）為兩組實數.記 .

12、則 .證 注意到 , 有 . 分部求和公式是離散情況下的分部積分公式. 事實上 , .可見Abel變換式中的 相當于上式中的 , 而差 相當于 , 和式相當于積分.引理2 ( Abel ) 設 、 和 如引理1 .若 單調 , 又對 ,有 ，則 .證 不妨設 . .系 設 , ( ). 和 如. 有 . ( 參引理2證明 )Th 7 (Abel判別法 ) 設 級數 收斂， 數列 單調有界 . 則 級數 收斂 .證 ( 用Cauchy收斂準則 , 利用Abel引理估計尾項 )設 , 由 收斂 , 對 時 , 對 , 有 . 于是當 時對 有 . 由Cauchy收斂準則 , 收斂.2. Diric

13、hlet判別法: Th 8 ( Dirichlet) 設 級數 的部分和有界, 數列 單調趨于零 . 則級數 收斂 .證 設 , 則 , 對 , 有 . 不妨設 0 , 對 . 此時就有 . 由Cauchy收斂準則 , 收斂.取 0 , , 由Dirichlet判別法 , 得交錯級數 收斂 . 可見Leibniz判別法是Dirichlet判別法的特例.由Dirichlet判別法可導出 Abel判別法 . 事實上 , 由數列 單調有界 , 收斂 , 設 . 考慮級數 , 單調趨于零 , 有界, 級數 收斂 , 又級數 收斂, 級數 收斂. 例4 設 0. 證明級數 和 對 收斂. 證 ，時 ， ， . 可見 時, 級數 的部分和有界 . 由Dirichlet判別法推得級數收斂 . 同理可得級數數 收斂 . 教學后記：第九章 數項級數 5 無窮乘積一、本次課主要內容無窮乘積的概念以及收斂準則二、教學目的與要求了解無窮乘積概念。三、教學重點難點柯西乘積四、