幾何分布的定義以及期望與方差的證明

1、最新資料推薦幾何分布的定義以及期望與方差幾何分布（ Geometric distribution ）是離散型概率分布。其中一種定義為：在n 次伯努利試驗 中，試驗 k 次才得到第一次成功的機率。詳細的說，是：前k-1 次皆失敗，第k 次成功的概率。公式：它分兩種情況：1. 得到 1 次成功而進行， n 次伯努利 實驗， n 的概率分布 ，取值范圍為 1， 2， 3， . ;2. m = n-1 次失敗，第 n 次成功， m 的概率分布，取值范圍為0， 1， 2， 3， . .由兩種不同情況而得出的期望和方差如下：,;,。概率為 p 的事件 A ，以 X 記 A 首次發(fā)生所進行的試驗次數(shù)，則X

2、的分布列：，具有這種分布列的隨機變量X ，稱為服從參數(shù)p 的幾何分布，記為XGeo(p)。幾何分布的期望，方差。高中數(shù)學(xué)教科書新版第三冊（選修II ）比原來的修訂本新增加隨機變量的幾何分布，但書中只給出了結(jié)論： （ 1） E1 ，（ 2） D1 p，而未加以證明。本文給出證明，并用于解題。pp2（ 1）由 P(k )q k 1 p ，知1最新資料推薦Ep2 pq3q2 pkq k 1 p(12q3q 2kq k 1) p下面用倍差法（也稱為錯位相減法）求上式括號內(nèi)的值。記Sk12q3q 2kq k 1qSk q 2q2(k)k 1kqk1 q兩式相減，得(1q)Sk1qq2qk 1kq kSk

3、1q kkq k(1q) 21q由 0p1，知 0q1，則 lim q k0，故k1 2 p3q2kqk 1lim Sk1122k(1q)p從而 E1p也可用無窮等比數(shù)列各項和公式Sa1(| q|1) （見教科書91 頁閱讀材料），推導(dǎo)如下：1q記 S1 2q3q 2kq k 1qSq2q2(k)k 11 q相減，(1 q)S 1 q q 2q k 111q1 1則 S(1 q) 2 p22最新資料推薦還可用導(dǎo)數(shù)公式 ( x n )nx n 1 ，推導(dǎo)如下：1 2 x 3x2kxk 1x(x 2 )( x3 )( xk )(xx 2x 3x k)x)(1 x)(x)(1x) 21x1(1x)

4、2上式中令 xq ，則得1 2q3q2kq k111(1q) 2p2（ 2）為簡化運算，利用性質(zhì)DE 2( E ) 2 來推導(dǎo)（該性質(zhì)的證明，可見本刊6 頁）?？梢婈P(guān)鍵是求E 2 。E 2p22 qp32 q2 pk 2 q k 1 pp(122 q32 q 2k 2 q k 1)對于上式括號中的式子，利用導(dǎo)數(shù)，關(guān)于q 求導(dǎo)： k 2 q k 1(kq k ) ，并用倍差法求和，有12 2 q32 q 2k 2 q k 1(q2q23q 3kq k)q(1q) 22(1q) qq)2(1q)4(11q 21q2 p(1q) 4(1q) 3p33最新資料推薦則 E2p(23p )2p2p ，因此

5、 DE 2( E ) 2 2p2p(1) 21p2ppp利用上述兩個結(jié)論，可以簡化幾何分布一類的計算問題。例 1.一個口袋內(nèi)裝有5 個白球和 2 個黑球， 現(xiàn)從中每次摸取一個球，取出黑球就放回， 取出白球則停止摸球。求取球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望 E與方差 D。解：每次從袋內(nèi)取出白球的概率p5 ，取出黑球的概率 q2 。的取值為1，2，3，77有無窮多個。我們用k 表示前 k 1 次均取到黑球，而第k 次取到白球，因此P(k )q k1 p(2)k1 (5)( k1,2,3,) ?？梢姺膸缀畏植?。所以77E17p51p1514D7p25)225(7例 2.某射擊運動員每次射擊擊中目標(biāo)的概率為p（ 0p

6、1）。他有10 發(fā)子彈，現(xiàn)對某一目標(biāo)連續(xù)射擊，每次打一發(fā)子彈，直到擊中目標(biāo)，或子彈打光為止。求他擊中目標(biāo)的期望。解：射手射擊次數(shù)的可能取值為1， 2， 9，10。若k (k1,2,9) ，則表明他前k 1次均沒擊中目標(biāo)，而第k 次擊中目標(biāo)；若 k 10，則表明他前9 次都沒擊中目標(biāo)，而第10 次可能擊中也可能沒擊中目標(biāo)。因此的分布列為P(k)(1p) k1 p( k1,2,9)(1p) 9 (k10)E1(1p) 0 p2(1p) p9(1p) 8 p10(1p) 912(1p)9(1p) 8 p10(1p) 9用倍差法，可求得4最新資料推薦1 2(1p)9(1p)81(1p) 99(1p) 91(1p) 21 (1 p)1(1p)99(1p) 9p2p所以 E 1 (1 p) 99(1p)9 p10(1p) 91 (1