2019年長春市中考數(shù)學試卷-2019帶答案解析

1、.2019 年吉林省長春市中考數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共8 小題，每小題3 分，共 24 分）1如圖，數(shù)軸上表示-2 的點 a 到原點的距離是（）a -2 b 2 c -d 22019 年春運前四日，全國鐵路、道路、水路、民航共累計發(fā)送旅客約為 275000000 人次，275000000這個數(shù)用科學記數(shù)法表示為（）a 27.5 107 b 0.275 109c 2.75 108 d 2.75 1093右圖是由4 個相同的小正方體組成的立體圖形，這個立體圖形的主視圖是（）4不等式 -x+2 0的解集為（）a x-2 b x-2 c x2d x25九章算術(shù)是中國古代重要的數(shù)學著作，其中“盈不足

2、術(shù) ”記載：今有共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六，問人數(shù)雞價各幾何？譯文：今有人合伙買雞，每人出9 錢，會多出 11 錢；每人出6 錢，又差16 錢，問人數(shù)、買雞的錢數(shù)各是多少？設(shè)人數(shù)為x，買雞的錢數(shù)為 y，可列方程組為（）a bcd6如圖，一把梯子靠在垂直水平地面的墻上，梯子ab 的長是 3 米若梯子與地面的夾角為 ，則梯子頂端到地面的距離bc 為（）a 3sin 米 b 3cos 米 c米 d 米;.7如圖，在 abc 中， acb 為鈍角用直尺和圓規(guī)在邊ab 上確定一點d使 adc=2 b ，則符合要求的作圖痕跡是（）8如圖，在平面直角坐標系中，rt abc 的頂點 a 、c 的

3、坐標分別為 （ 0，3）、（ 3，0）acb=90，ac=2bc ，函數(shù) y=（ k 0， x 0）的圖象經(jīng)過點b，則 k 的值為（）a b 9cd二、填空題（本大題共6 小題，每小題3 分，共 18 分）9計算： 3-=10分解因式：ab+2b=11一元二次方程x2-3x+1=0 根的判別式的值為12如圖，直線mn pq，點 a、 b 分別在 mn 、pq 上， mab=33 過線段ab 上的點c 作 cdab 交 pq 于點 d ，則 cdb 的大小為度13如圖，有一張矩形紙片 abcd ， ab=8 ，ad=6 先將矩形紙片 abcd 折疊，使邊 ad 落在邊 ab 上，點 d 落在點

4、e 處，折痕為 af ；再將 aef 沿 ef 翻折， af 與 bc 相交于點g，則 gcf 的周長為;.14 如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax 2-2ax+（ a 0）與 y 軸交于點 a ，過點a作 x 軸的平行線交拋物線于點m p 為拋物線的頂點若直線o p 交直線 am 于點 b，且m 為線段 ab 的中點，則a 的值為三、解答題（本大題共10 小題，共 78 分）15先化簡，再求值：（2a+1） 2-4a（ a-1），其中a=16一個不透明的口袋中有三個小球， 每個小球上只標有一個漢字， 分別是 “家 ”、“家 ”、“樂 ”，除漢字外其余均相同 小新同學從口袋中隨機摸出一個

5、小球， 記下漢字后放回并攪勻； 再從口袋中隨機摸出一個小球記下漢字 用畫樹狀圖（或列表）的方法，求小新同學兩次摸出小球上的漢字相同的概率17為建國 70 周年獻禮， 某燈具廠計劃加工 9000 套彩燈 為盡快完成任務(wù)， 實際每天加工彩燈的數(shù)量是原計劃的 1.2 倍，結(jié)果提前 5 天完成任務(wù)求該燈具廠原計劃每天加工這種彩燈的數(shù)量18如圖，四邊形 abcd 是正方形以邊 ab 為直徑作 o，點 e 在 bc 邊上，連結(jié) ae 交 o 于點 f，連結(jié) bf 并延長交 cd 于點 g（1）求證： abe bcg （2）若 aeb=55 ， oa=3 ，求的長（結(jié)果保留）;.19網(wǎng)上學習越來越受到學生的

6、喜愛某校信息小組為了解七年級學生網(wǎng)上學習的情況，從該校七年級隨機抽取 20 名學生，進行了每周網(wǎng)上學習時間的調(diào)查，數(shù)據(jù)如下（單位：時）：3 2.5 0.6 1.5 1 2 2 3.3 2.5 1.8 2.5 2.2 3.5 4 1.5 2.5 3.1 2.8 3.3 2.4 整理上面的數(shù)據(jù)，得到表格如下：樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下表所示：根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）上表中的中位數(shù)m 的值為，眾數(shù)n 的值為（2）用樣本中的平均數(shù)估計該校七年級學生平均每人一學期（按18 周計算）網(wǎng)上學習的時間（3）已知該校七年級有200 名學生，估計每周網(wǎng)上學習時間超過2 小時的學生人數(shù)20圖、圖、

7、圖均是 66 的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，小正方形的邊長為 1，點 a 、 b、 c、d 、 e、 f 均在格點上在圖、圖、圖中，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點均在格點上，不要求寫出畫法（1）在圖中以線段ab 為邊畫一個 abm ，使其面積為6（2）在圖中以線段cd 為邊畫一個 cdn ，使其面積為6（3）在圖中以線段ef 為邊畫一個四邊形efgh ，使其面積為9，且 efg=90 ;.21已知 a 、b 兩地之間有一條長270 千米的公路甲、乙兩車同時出發(fā)，甲車以60 千米 /時的速度沿此公路從a 地勻速開往b 地，乙車從b 地沿此公路勻速開往a 地

8、，兩車分別到達目的地后停止甲、乙兩車相距的路程y（千米）與甲車的行駛時間x（時）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示（1）乙車的速度為千米 /時， a=， b=（2）求甲、乙兩車相遇后y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式（3）當甲車到達距b 地 70 千米處時，求甲、乙兩車之間的路程22教材呈現(xiàn)：下圖是華師版九年級上冊數(shù)學教材第78 頁的部分內(nèi)空;.例 2 如圖 23.4.4，在 abc 中， d、 e 分別是邊bc 、ab 的中點， ad ， ce 相交于點g求證：證明：連結(jié)ed 請根據(jù)教材提示，結(jié)合圖，寫出完事的證明過程結(jié)論應(yīng)用：在中，對角線ac 、 bd 交于點 o，e 為邊 bc 的中點， ae 、 bd

9、交于點 f（1）如圖，若為正方形，且ab=6 ，則 of 的長為（2）如圖，連結(jié)de 交 ac 于點 g若四邊形ofeg 的面積為，則的面積為23如圖，在運動，同時點到達終點時，連結(jié) pq，以rt abc 中， c=90，ac=20 ，bc=15 點 p 從點 a 出發(fā)，沿 ac 向終點 c q 從點 c 出發(fā)，沿射線 cb 運動，它們的速度均為每秒 5 個單位長度，點 pp、q 同時停止運動 當點 p 不與點 a 、c 重合時， 過點 p 作 pn ab 于點 n ，pn、pq 為鄰邊作 pqmn 設(shè) pqmn 與 abc 重疊部分圖形的面積為 s點p 的運動時間為t 秒（1） ab 的長為

10、pn 的長用含t 的代數(shù)式表示為（2）當pqmn 為矩形時，求t 的值（3）當pqmn 與 abc 重疊部分圖形為四邊形時，求s 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式（4）當過點p 且平行于bc 的直線經(jīng)pqmn 一邊中點時，直接寫出t 的值;.24已知函數(shù)y=（ 1）當 n=5，點 p（ 4， b）在此函數(shù)圖象上，求b 的值求此函數(shù)的最大值（2）已知線段ab 的兩個端點坐標分別為a（ 2，2）、 b（ 4，2），當此函數(shù)的圖象與線段ab 只有一個交點時，直接寫出n 的取值范圍（3）當此函數(shù)圖象上有4 個點到 x 軸的距離等于4 時，求 n 的取值范圍;.2019 年吉林省長春市中考數(shù)學試卷參考答案與試題

11、解析一、選擇題（本大題共8 小題，每小題3 分，共 24 分）1如圖，數(shù)軸上表示-2 的點 a 到原點的距離是（）a -2 b 2 c -d 解：數(shù)軸上點a 表示數(shù)為 -2， -2 到原點距離為2故選 b22019 年春運前四日，全國鐵路、道路、水路、民航共累計發(fā)送旅客約為 275000000 人次，275000000這個數(shù)用科學記數(shù)法表示為（）a 27.5 107b 0.275 109c 2.75 108 d 2.75 109解：科學記數(shù)法為： 把一個數(shù)表示成a 與 10的 n 次冪的相乘的形式 （ 1a10，n 為整數(shù)） ，故 275000000用科學記數(shù)法表示為2.75 108故選 c3

12、右圖是由4 個相同的小正方體組成的立體圖形，這個立體圖形的主視圖是（）解：如圖所示，主視觀看第二列有兩個正方形，第一列右上有一個正方形，故觀察為故選 a 4不等式 -x+2 0的解集為（）a x-2 b x-2 c x2d x2解：解不等式 -x+20，移項可得 -x-2，再系數(shù)化1，兩邊同時除以-1（注意改變不等號方向），得 x2，;.故選 d 5九章算術(shù)是中國古代重要的數(shù)學著作，其中“盈不足術(shù) ”記載：今有共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六，問人數(shù)雞價各幾何？譯文：今有人合伙買雞，每人出9 錢，會多出 11 錢；每人出6 錢，又差16 錢，問人數(shù)、買雞的錢數(shù)各是多少？設(shè)人數(shù)為x，買雞

13、的錢數(shù)為 y，可列方程組為（）a bcd解：根據(jù)題意， 人數(shù)為 x，雞的錢數(shù)為y，當每人出9 錢時，多出 11 錢，則可列方程9x-11=y ，當每人出6 錢時，差16 錢，則可列方程6x+16=y ，則解 x， y 可列方程組為故選 d6如圖，一把梯子靠在垂直水平地面的墻上，梯子ab 的長是 3 米若梯子與地面的夾角為 ，則梯子頂端到地面的距離bc 為（）a 3sin 米 b 3cos 米 c米 d 米解：如圖所示：對應(yīng)角為 bac ，則 sin = ，已知 ab=3 米，則 bc=sin ， ab=3sin 米故選 a7如圖，在 abc 中， acb 為鈍角用直尺和圓規(guī)在邊ab 上確定一點

14、d使 adc=2 b ，則符合要求的作圖痕跡是（）解：由題意作圖adc=2 b;.a 、作圖痕跡，為點d 在線段 ac 垂直平分線上，能使a= acd ，不能使 adc=2 b ，故舍掉；b、作圖痕跡為點d 在線段 bc 垂直平分線上，能使 b= dcb ，如圖 b+ dcb= acd ， adc=2 bc、作圖痕跡為點d 為 ab 中點，故不能使adc=2 b （舍）d 選項（舍）故選 b8如圖，在平面直角坐標系中，rt abc 的頂點 a 、c 的坐標分別為 （ 0，3）、（ 3，0）acb=90，ac=2bc ，函數(shù) y=（ k 0， x 0）的圖象經(jīng)過點b，則 k 的值為（）a b 9

15、cd解：如圖所示，;.ac 坐標分別為（0， 3），（ 3， 0）故 aoc 為等腰直角三角形aco=45 ， acb=45 ，過點 b 作 bd x 軸，交 x 軸于點 d， bdc=90 ， cbd=45 ， bdc 為等腰直角三角形， aoc= bdc ， aco= bcd aoc bdc=又 ac=2bc ，ao=2bdbd=co=d 坐標為（， 0）， b 坐標為（， ）點 b 在函數(shù) y=（ k 0， x 0）圖象上將點b 坐標（， ）代入 y=中，得 k=，故選 d 二、填空題（本大題共6 小題，每小題3 分，共 18 分）9計算： 3-=解：根據(jù)二次根式加減法則故答案為： 21

16、0分解因式： ab+2b=解：利用乘法結(jié)合律，提取出b，得 b（ a+2）故答案為： b（ a+2）11一元二次方程x2-3x+1=0 根的判別式的值為解： a=1， b= 3， c=1， =b2 4ac=（ 3） 2 411=5，故答案為： 512如圖，直線mn pq，點 a、 b 分別在 mn 、pq 上， mab=33 過線段ab 上的點c 作 cdab 交 pq 于點 d ，則 cdb 的大小為度;.解： mn pq abd= mab=33cd ab dcb=90 abd+ cdb=180 -90 =90 cdb=90 -33 =57故答案為： 5713如圖，有一張矩形紙片 abcd

17、， ab=8 ，ad=6 先將矩形紙片 abcd 折疊，使邊 ad 落在邊 ab 上，點 d 落在點 e 處，折痕為 af ；再將 aef 沿 ef 翻折， af 與 bc 相交于點g，則 gcf 的周長為解：由圖可知，fc=eb=ab-ad=8-6=2， cfg=45gc=fc=2 ， fg=fc=2 gcf 周長為 2+2+2=4+2；故答案為： 4+214 如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax 2-2ax+（ a 0）與 y 軸交于點 a ，過點a作 x 軸的平行線交拋物線于點m p 為拋物線的頂點若直線o p 交直線 am 于點 b，且m 為線段 ab 的中點，則a 的值為;.解：

18、將 x=0 代入原式得y=， a （ 0，）將 y=代入得ax2 -2ax+=， ax2 -2ax=0 ， x=2 m （ 2，） m 為線段ab 中點， b （ 4，）代入y=kx 中求得ob 解析式為y=x，將 x=1 代入得p（ 1，）將 p 代入拋物線解析式中得a=2故答案為： 2三、解答題（本大題共10 小題，共 78 分）15先化簡，再求值：（2a+1） 2-4a（ a-1），其中a=解：原式 =4a2+4a+1-4a2+4a=8a+1將 a= 代入原式 = 8+1=216一個不透明的口袋中有三個小球， 每個小球上只標有一個漢字， 分別是 “家 ”、“家 ”、“樂 ”，除漢字外其余

19、均相同 小新同學從口袋中隨機摸出一個小球， 記下漢字后放回并攪勻； 再從口袋中隨機摸出一個小球記下漢字 用畫樹狀圖（或列表）的方法，求小新同學兩次摸出小球上的漢字相同的概率解：樹狀圖如下：兩次摸出相同小球的情況共有5 種，故答案為17為建國 70 周年獻禮， 某燈具廠計劃加工 9000 套彩燈 為盡快完成任務(wù)， 實際每天加工彩燈的數(shù)量是原計劃的 1.2 倍，結(jié)果提前 5 天完成任務(wù)求該燈具廠原計劃每天加工這種彩燈的數(shù)量解：設(shè)原計劃每天加工這種彩燈x 套，則實際每天加工這種彩燈1.2x 套+5=51800=6xx=300經(jīng)檢驗 x=300 是方程的根;.答：原計劃每天加工這種彩燈300 套18如

20、圖，四邊形 abcd 是正方形以邊 ab 為直徑作 o，點 e 在 bc 邊上，連結(jié) ae 交 o 于點 f，連結(jié) bf 并延長交 cd 于點 g（1）求證： abe bcg （2）若 aeb=55 ， oa=3 ，求的長（結(jié)果保留）（ 1）證明： f 在圓上， af bf， baf+ abf=90 ， abf+ cbf=90 baf+= cbf ， fbe+ feb=90， fbe+ bgc=90 feb= bgc，在 abe 和 bgc 中 abe bce （ asa ）（2）解：連接of，則 of=ob ，由（ 1）可得 abf= aeb= bgc=55 bfo=55 ， bof=70

21、=2 3=19網(wǎng)上學習越來越受到學生的喜愛某校信息小組為了解七年級學生網(wǎng)上學習的情況，從該校七年級隨機抽取 20 名學生，進行了每周網(wǎng)上學習時間的調(diào)查，數(shù)據(jù)如下（單位：時）：3 2.5 0.6 1.5 1 2 2 3.3 2.5 1.8 2.5 2.2 3.5 4 1.5 2.5 3.1 2.8 3.3 2.4 整理上面的數(shù)據(jù)，得到表格如下：樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下表所示：;.根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）上表中的中位數(shù)m 的值為，眾數(shù)n 的值為（2）用樣本中的平均數(shù)估計該校七年級學生平均每人一學期（按18 周計算）網(wǎng)上學習的時間（3）已知該校七年級有200 名學生，估計每周網(wǎng)上

22、學習時間超過2 小時的學生人數(shù)解：將調(diào)查數(shù)據(jù)由小到大排列為： 0.6， 1， 1.5， 1.5， 1.8， 2， 2， 2.2， 2.4，2.5， 2.5，2.5，2.5， 2.8， 3， 3.1， 3.3,3.3， 3.5， 4（1）則中位數(shù)m 為第 10 與 ,11 兩個數(shù)的平均數(shù)為=2.5，眾數(shù) n 為出現(xiàn)最多的數(shù)為2.5（2）由題中表格可知平均數(shù)為2.4，即該校七年級學生平均每人一周網(wǎng)上學習時間為2.4 小時，則平均每人一學期學生時間為2.4 18=43.2 時（3）由調(diào)查可知， 每周上網(wǎng)學習超過2 小時的學生占=，則 200 名學生中每周上網(wǎng)超過 2 小時的學生人數(shù)估計為200 =1

23、30 人故答案為：（ 1） 2.5； 2.520圖、圖、圖均是 66 的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，小正方形的邊長為 1，點 a 、 b、 c、d 、 e、 f 均在格點上在圖、圖、圖中，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點均在格點上，不要求寫出畫法（1）在圖中以線段ab 為邊畫一個 abm ，使其面積為6（2）在圖中以線段cd 為邊畫一個 cdn ，使其面積為6（3）在圖中以線段ef 為邊畫一個四邊形efgh ，使其面積為9，且 efg=90 解：（ 1）因小正方形邊長為 1，已知 ab=3 ，則要使 abm 面積為 6，只要以 ab 為底，高為 4 即可，

24、如圖， m 在直線 np 上任意一點均可;.（2） cd 豎向距離為3，可看為以水平方向為底，豎直方向為高的三角形一邊，高為3，當?shù)诪?4 時，面積就為6，如圖（答案不唯一）（3）以線段 ef 為邊畫一個四邊形， 使其面積為 9，我們已知最規(guī)則面積為 9 的四邊形是邊長為 3 的正方形，但 e、f 不是網(wǎng)格上的邊，我們可用割補法來求出我們想要圖形，如圖所示， sfgi =sejf，則 s 四邊形 efgh =s 四邊形 jfih=921已知 a 、b 兩地之間有一條長270 千米的公路甲、乙兩車同時出發(fā)，甲車以60 千米 /時的速度沿此公路從a 地勻速開往b 地，乙車從b 地沿此公路勻速開往a

25、 地，兩車分別到達目的地后停止甲、乙兩車相距的路程y（千米）與甲車的行駛時間x（時）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示（1）乙車的速度為千米 /時， a=， b=（2）求甲、乙兩車相遇后y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式（3）當甲車到達距b 地 70 千米處時，求甲、乙兩車之間的路程解：（ 1）共 270 千米， 2 小時兩車相遇，即兩車共走270 千米， v 總=2702=135 （ km/h）v 甲=60km/h ， v 2=v 總 -v 甲=135-60=75km/ha 點為乙車到 a 地時的時間，即t 乙 =270 75=3.6b 點為甲車到 b 地的時間，即t 甲 =270 60=4.5（2）設(shè)函數(shù)關(guān)

26、系式為y=kx+b ，當 2 x3.6時，斜率 k 為兩車速度和 135 y=135x+b ，又有 x=2 時， y=0， b=-270 ， y=135x-270當 3.6 x4.5時，斜率 k 為甲車速度為 60， y=60x+b ，又有 x=4.5 時， y=270 ， b=0 ， y=60x ，;.綜上所述，（3）甲距 b 地 70 千米處時， t=，當 x=時， y=135-270=180km甲乙兩車之間路程為180 千米故答案為：（ 1） 75； 3.6； 4.522教材呈現(xiàn)：下圖是華師版九年級上冊數(shù)學教材第78 頁的部分內(nèi)空例 2 如圖 23.4.4，在 abc 中， d、 e 分

27、別是邊bc 、ab 的中點， ad ， ce 相交于點g求證：證明：連結(jié)ed 請根據(jù)教材提示，結(jié)合圖，寫出完事的證明過程結(jié)論應(yīng)用：在中，對角線ac 、 bd 交于點 o，e 為邊 bc 的中點， ae 、 bd 交于點 f（1）如圖，若為正方形，且ab=6 ，則 of 的長為（2）如圖，連結(jié)de 交 ac 于點 g若四邊形ofeg 的面積為，則的面積為解：教材呈現(xiàn)：連接ed;.e、 d 分別為 ab 、 bc 中點e、 d 為三角形ab 的中位線ed ac ，且 ed=ac ，而由于ed ac dec= eca又 egd= agc egd cga又 ec=eg+gc ， ad=ag+ad結(jié)論應(yīng)

28、用：（ 1）在 abc 中， o 為 ac 中點， e 為 bc 中點，故在 abc 中， f 點為中線的交點，即，而 ab=ac=6 ，故 ac=6， bo=3， of=（ 2）連接 oe， oe 為 obc 中線，故 sobe =soec ，在 abc 中，可得 of= ob ，而在 oeb 中，由于 oeb 與 oef 等高，故 sofe ： soeb =of： ob=1 ： 3同理 soge ： soec =1：3，故 sfeg：s obc=1 ： 3，故 sfeg： sabcd =1： 12故 sabcd = 12=6故答案為：（ 1）；（ 2）623如圖，在運動，同時點到達終點時，

29、連結(jié) pq，以rt abc 中， c=90，ac=20 ，bc=15 點 p 從點 a 出發(fā)，沿 ac 向終點 c q 從點 c 出發(fā)，沿射線 cb 運動，它們的速度均為每秒 5 個單位長度，點 pp、q 同時停止運動 當點 p 不與點 a 、c 重合時， 過點 p 作 pn ab 于點 n ，pn、pq 為鄰邊作 pqmn 設(shè) pqmn 與 abc 重疊部分圖形的面積為 s點p 的運動時間為t 秒（1） ab 的長為pn 的長用含t 的代數(shù)式表示為;.（2）當pqmn 為矩形時，求t 的值（3）當pqmn 與 abc 重疊部分圖形為四邊形時，求s 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式（4）當過點p 且平

30、行于bc 的直線經(jīng)pqmn 一邊中點時，直接寫出t 的值解：（ 1）由于 abc 為直角三角形，由勾股定理得ab=25由于 pn ab ，故 pna=90 = c，即 a= a ，故 anp acb故 pn=3t（2）由于 pnmq 為矩形， pn nm ，故 m 點落在 ab 上，而 pn=4t ， qbm abc ，故qm=（ 15-5t）qm=pn 得 t=（ 3）在運動過程中，起始為pnqm 的平行四邊形是陰影部分（圖一）后，m 總落在 ab 上，形成矩形，后m 總落在三角形處，陰影部分為梯形（圖二），后q 達到 b 點繼續(xù)移動，陰影部分為三角形（圖三），而題意及（2）得分總為t=和

31、t=3 ，求前兩種;.當 0 t時，以 pn 為底，延長qm 與 o，no 為高，由 pn=3t ，pa=5t ， an=4t ，而qob acb ，故 qb= （ 15-5t）， ob=（ 15-5t ）s=pnno=pn （ ab-an-ob ） =3t 25-4t-（ 15-5t ） =48t-3t 2當 t3 時，設(shè) qm 與 ab 交于 o， qo=（ 15-5t）s= （ pn+qo ） no=5t+（ 15-5t） 25-4t-（ 15-5t） = （ 16-t）（ 12-t） =-14t+96（ 4）作 ph cb ，則 h 可能在 nm 上或 qm 上當 h 在 nm 上，則 nh=hm ，過 n 作 nr cb ， ms bc設(shè) ps=a，設(shè) sm 與 pq 交點為 o，易得 o 為 rq