波函數(shù)與薛方程.ppt

1、第二章 波函數(shù)和 Schrodinger 方程,1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋 2 態(tài)疊加原理 3 Schrodinger 方程 4粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律 5定態(tài)Schrodinger方程 6一維無限深勢阱 7線性諧振子,1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋,（一）波函數(shù) （二）波函數(shù)的解釋 （三）波函數(shù)的性質(zhì),（一）波函數(shù),粒子都具有波動性和微粒性,描寫自由粒子的平 面 波,描寫自由粒子的平 面 波,如果粒子處于隨時間和位置變化的力場中運動，他的動量和能量不再是常量（或不同時為常量）粒子的狀態(tài)就不能用平面波描寫，而必須用較復(fù)雜的波描寫，一般記為：,描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)，它通常是一個復(fù)函數(shù)。,稱為 deBrogli

2、e 波。此式稱為自由粒子的波函數(shù)。,將粒子所具有的微粒性和波動性統(tǒng)一起來，這在經(jīng)典物理學(xué)中看來是不可能的，因 經(jīng)典粒子 經(jīng)典波 原子性（整體性） 實在物理量的空間分布 軌道 干涉，衍射 這兩者是不相容的。描述微觀粒子既不能用經(jīng)典粒子，也不能用經(jīng)典波，當(dāng)然也不能用經(jīng)典粒子和經(jīng)典波來描述。,3個問題？,(1) 是怎樣描述粒子的狀態(tài)呢？,(2) 如何體現(xiàn)波粒二象性的？,(3) 描寫的是什么樣的波呢？,（1）兩種錯誤的看法,1. 波由粒子組成,如水波，聲波，由分子密度疏密變化而形成的一種分布。,這種看法是與實驗矛盾的，它不能解釋長時間單個電子衍射實驗。,電子一個一個的通過小孔，但只要時間足夠長，底片上

3、增加呈現(xiàn)出衍射花紋。這說明電子的波動性并不是許多電子在空間聚集在一起時才有的現(xiàn)象，單個電子就具有波動性。,波由粒子組成的看法夸大了粒子性的一面，而抹殺了粒子的波動性的一面，具有片面性。,O,事實上，正是由于單個電子具有波動性，才能理解氫原子（只含一個電子?。┲须娮舆\動的穩(wěn)定性以及能量量子化這樣一些量子現(xiàn)象。,2. 粒子由波組成,電子是波包。把電子波看成是電子的某種實際結(jié)構(gòu)，是三維空間中連續(xù)分布的某種物質(zhì)波包。因此呈現(xiàn)出干涉和衍射等波動現(xiàn)象。波包的大小即電子的大小，波包的群速度即電子的運動速度。 什么是波包？波包是各種波數(shù)（長）平面波的迭加。 平面波描寫自由粒子，其特點是充滿整個空間，這是因為平

4、面波振幅與位置無關(guān)。如果粒子由波組成，那么自由粒子將充滿整個空間，這是沒有意義的，與實驗事實相矛盾。 實驗上觀測到的電子，總是處于一個小區(qū)域內(nèi)。例如在一個原子內(nèi)，其廣延不會超過原子大小1 。 電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？ “ 電子既不是粒子也不是波 ”，既不是經(jīng)典的粒子也不是經(jīng)典的波，但是我們也可以說，“ 電子既是粒子也是波，它是粒子和波動二重性矛盾的統(tǒng)一?！?這個波不再是經(jīng)典概念的波，粒子也不是經(jīng)典概念中的粒子。,1.入射電子流強度小，開始顯示電子的微粒性，長時間亦顯示衍射圖樣;,我們再看一下電子的衍射實驗,2. 入射電子流強度大，很快顯示衍射圖樣.,（二）波函數(shù)的解釋,結(jié)論：衍射

5、實驗所揭示的電子的波動性是： 許多電子在同一個實驗中的統(tǒng)計結(jié)果，或者是一個電子在許多次相同實驗中的統(tǒng)計結(jié)果。 波函數(shù)正是為了描述粒子的這種行為而引進的，在此基礎(chǔ)上，Born 提出了波函數(shù)意義的統(tǒng)計解釋。,r 點附近衍射花樣的強度 正比于該點附近感光點的數(shù)目， 正比于該點附近出現(xiàn)的電子數(shù)目， 正比于電子出現(xiàn)在 r 點附近的幾率。,在電子衍射實驗中，照相底片上,粒子的波可以認(rèn)為是幾率波,據(jù)此，描寫粒子的波可以認(rèn)為是幾率波，反映微觀客體運動的一種統(tǒng)計規(guī)律性，波函數(shù) (r)有時也稱為幾率幅。 這就是首先由 Born 提出的波函數(shù)的幾率解釋，它是量子力學(xué)的基本原理。,假設(shè)衍射波波幅用 (r) 描述，與光

6、學(xué)相似， 衍射花紋的強度則用 | (r)|2 描述，但意義與經(jīng)典波不同。,| (r)|2 的意義是代表電子出現(xiàn)在 r 點附近幾率的大小， 確切的說， | (r)|2 x y z 表示在 r 點處，體積元x y z中找到粒子的幾率。波函數(shù)在空間某點的強度（振幅絕對值的平方）和在這點找到粒子的幾率成比例，,（三）波函數(shù)的性質(zhì),在 t 時刻， r 點，d = dx dy dz 體積內(nèi)，找到由波函數(shù) (r,t)描寫的粒子的幾率是： d W( r, t) = C| (r,t)|2 d， 其中，C是比例系數(shù)。,根據(jù)波函數(shù)的幾率解釋，波函數(shù)有如下重要性質(zhì)：,（1）幾率和幾率密度,在 t 時刻 r 點，單位體

7、積內(nèi)找到粒子的幾率是： ( r, t ) = dW(r, t )/ d = C | (r,t)|2 稱為幾率密度。,在體積 V 內(nèi)，t 時刻找到粒子的幾率為： W(t) = V dW = V( r, t ) d= CV | (r,t)|2 d,（2）平方可積,由于粒子在空間總要出現(xiàn)（不討論粒子產(chǎn)生和湮滅情況），所以在全空間找到粒子的幾率應(yīng)為一，即： C | (r , t)|2 d= 1, 從而得常數(shù) C 之值為： C = 1/ | (r , t)|2 d,這即是要求描寫粒子量子狀態(tài)的波函數(shù)必須是絕對值平方可積的函數(shù)。,若, | (r , t)|2 d , 則 C 0, 這是沒有意義的。,（3）

8、歸一化波函數(shù),這與經(jīng)典波不同。經(jīng)典波波幅增大一倍（原來的 2 倍），則相應(yīng)的波動能量將為原來的 4 倍，因而代表完全不同的波動狀態(tài)。經(jīng)典波無歸一化問題。, (r , t ) 和 C (r , t ) 所描寫狀態(tài)的相對幾率是相同的，這里的 C 是常數(shù)。 因為在 t 時刻，空間任意兩點 r1 和 r2 處找到粒子的相對幾率之比是：,由于粒子在全空間出現(xiàn)的幾率等于一，所以粒子在空間各點出現(xiàn)的幾率只取決于波函數(shù)在空間各點強度的相對比例，而不取決于強度的絕對大小，因而，將波函數(shù)乘上一個常數(shù)后，所描寫的粒子狀態(tài)不變，即 (r, t) 和 C (r, t) 描述同一狀態(tài),可見， (r , t ) 和 C (

9、r , t ) 描述的是同一幾率波，所以波函數(shù)有一常數(shù)因子不定性。,歸一化常數(shù),若 (r , t ) 沒有歸一化， | (r , t )|2 d= A （A 是大于零的常數(shù)），則有 |(A)-1/2 (r , t )|2 d= 1,也就是說，(A)-1/2 (r , t )是歸一化的波函數(shù)， 與 (r , t )描寫同一幾率波， (A)-1/2 稱為歸一化因子。,注意：對歸一化波函數(shù)仍有一個模為一的因子不定性。 若 (r , t )是歸一化波函數(shù)，那末， expi (r , t ) 也是歸一化波函數(shù)（其中是實數(shù)），與前者描述同一幾率波。,（4）平面波歸一化,I Dirac 函數(shù),定義：,或等價

10、的表示為：對在x=x0 鄰域連續(xù)的任何函數(shù) f（x）有：,函數(shù) 亦可寫成 Fourier 積分形式：,令 k=px/, dk= dpx/, 則,性質(zhì)：,II 平面波 歸一化,寫成分量形式,t=0 時的平面波,考慮一維積分,若取 A12 2 = 1，則 A1= 2-1/2, 于是,三維情況：,其中,注意：這樣歸一化后的平面波其模的平方仍不表示幾率密度，依然只是表示平面波所描寫的狀態(tài)在空間各點找到粒子的幾率相同。,2 態(tài)疊加原理,（一）態(tài)疊加原理 （二）動量空間（表象）的波函數(shù),（一）態(tài)疊加原理,微觀粒子具有波動性，會產(chǎn)生衍射圖樣。而干涉和衍射的本質(zhì)在于波的疊加性，即可相加性，兩個相加波的干涉的結(jié)

11、果產(chǎn)生衍射。因此，同光學(xué)中波的疊加原理一樣，量子力學(xué)中也存在波疊加原理。因為量子力學(xué)中的波，即波函數(shù)決定體系的狀態(tài)，稱波函數(shù)為狀態(tài)波函數(shù)，所以量子力學(xué)的波疊加原理稱為態(tài)疊加原理。,考慮電子雙縫衍射,= C11 + C22 也是電子的可能狀態(tài)。 空間找到電子的幾率則是： |2 = |C11+ C22|2 = (C1*1*+ C2*2*) (C11+ C22) = |C1 1|2+ |C22|2 + C1*C21*2 + C1C2*12*,電子穿過狹縫出現(xiàn)在點的幾率密度,電子穿過狹縫出現(xiàn)在點的幾率密度,相干項 正是由于相干項的出現(xiàn)，才產(chǎn)生了衍射花紋。,一個電子有 1 和 2 兩種可能的狀態(tài)， 是這

12、兩種狀態(tài)的疊加。,其中C1 和 C2 是復(fù)常數(shù)，這就是量子力學(xué)的態(tài)疊加原理。,態(tài)疊加原理一般表述： 若1 ，2 ,., n ,.是體系的一系列可能的狀態(tài)，則這些態(tài)的線性疊加 = C11 + C22 + .+ Cnn + . (其中 C1 , C2 ,.,Cn ,.為復(fù)常數(shù))。 也是體系的一個可能狀態(tài)。 處于態(tài)的體系，部分的處于 1態(tài)，部分的處于2態(tài).，部分的處于n，.,一般情況下，如果1和2 是體系的可能狀態(tài)，那末它們的線性疊加 = C11 + C22 也是該體系的一個可能狀態(tài).,例：,電子在晶體表面反射后，電子可能以各種不同的動量 p 運動。具有確定動量的運動狀態(tài)用deBroglie 平面波

13、表示,根據(jù)疊加原理，在晶體表面反射后，電子的狀態(tài)可表示成 p 取各種可能值的平面波的線性疊加，即,而衍射圖樣正是這些平面波疊加干涉的結(jié)果。,p,例設(shè)粒子在一維空間運動，其狀態(tài)可用波函數(shù)描述為：,其中A為任意常數(shù)，E和b均為確定的常數(shù),求：歸一化的波函數(shù)；幾率密度W？,即：,由此可求出歸一化的波函數(shù)和幾率密度,幾率密度為：,如圖所示，在區(qū)間 （b/2,b/2)以外找 不到粒子。在x=0 處找到粒子的幾率 最大。,這些問題在1926年Schrodinger 提出了波動方程之后得到了圓滿解決。,微觀粒子量子狀態(tài)用波函數(shù)完全描述，波函數(shù)確定之后，粒子的任何一個力學(xué)量的平均值及其測量的可能值和相應(yīng)的幾率

14、分布也都被完全確定，波函數(shù)完全描寫微觀粒子的狀態(tài)。因此量子力學(xué)最核心的問題就是要解決以下兩個問題：,(1)在各種情況下，找出描述系統(tǒng)的各種可能的波函數(shù)； (2)波函數(shù)如何隨時間演化。,3 Schrodinger 方程,（二）引進方程的基本考慮,從牛頓方程，人們可以確定以后任何時刻 t 粒子的狀態(tài) r 和 p 。 初條件知道的是坐標(biāo)及其對時間的一階導(dǎo)數(shù)， 方程是時間的二階常微分方程。,讓我們先回顧一下經(jīng)典粒子運動方程，看是否能給我們以啟發(fā)。,（1）經(jīng)典情況,（2）量子情況,3第三方面，方程不能包含狀態(tài)參量，如 p, E等，否則方程只能被粒子特定的狀態(tài)所滿足，而不能為各種可能的狀態(tài)所滿足。,1因為

15、，t = t0 時刻，已知的初態(tài)是( r, t0) 且只知道這樣一個初條件，所以，描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)所滿足的方程只能含對時間 的一階導(dǎo)數(shù)。,2另一方面，要滿足態(tài)疊加原理，即，若1( r, t ) 和2( r, t )是方程的解，那末。 ( r, t)= C11( r, t ) + C22( r, t ) 也應(yīng)是該方程的解。這就要求方程應(yīng)是線性的，也就是說方程中只能包含, 對時間的一階導(dǎo)數(shù)和對坐標(biāo)各階導(dǎo)數(shù)的一次項，不能含它們的平方或開方項。,（三）自由粒子滿足的方程,這不是所要尋找的方程，因為它包含狀態(tài)參量 E 。將對坐標(biāo)二次微商，得：,將上式對 t 微商，得：,(1)(2)式,滿足上述構(gòu)造方

16、程的三個條件,討論：,通過引出自由粒子波動方程的過程可以看出，如果能量關(guān)系式 E = p2/2 寫成如下方程形式：,做算符替換（4）即得自由粒子滿足的方程（3）。,(1)(2)式,（四）勢場 V(r) 中運動的粒子,該方程稱為 Schrodinger 方程，也常稱為波動方程。,若粒子處于勢場 V(r) 中運動，則能動量關(guān)系變?yōu)椋?將其作用于波函數(shù)得：,做（4）式的算符替換得：,（五）多粒子體系的 Schrodinger 方程,設(shè)體系由 N 個粒子組成， 質(zhì)量分別為 i (i = 1, 2,., N) 體系波函數(shù)記為 ( r1, r2, ., rN ; t) 第i個粒子所受到的外場 Ui(ri)

17、 粒子間的相互作用 V(r1, r2, ., rN) 則多粒子體系的 Schrodinger 方程可表示為：,多粒子體系 Hamilton 量,對有 Z 個電子的原子，電子間相互作用為 Coulomb 排斥作用：,而原子核對第 i 個電子的 Coulomb 吸引能為：,假定原子核位于坐標(biāo)原點，無窮遠為勢能零點。,例如：,4 粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律,（一）定域幾率守恒 （二）再論波函數(shù)的性質(zhì),（一） 定域幾率守恒,考慮低能非相對論實物粒子情況，因沒有粒子的產(chǎn)生和湮滅問題，粒子數(shù)保持不變。對一個粒子而言，在全空間找到它的幾率總和應(yīng)不隨時間改變，即,在討論了狀態(tài)或波函數(shù)隨時間變化的規(guī)律后，我們進

18、一步討論粒子在一定空間區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的幾率將怎樣隨時間變化。粒子在 t 時刻 r 點周圍單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率即幾率密度是：,證：,考慮 Schrodinger 方程及其共軛式：,取共軛,在空間閉區(qū)域中將上式積分，則有：,閉區(qū)域上找到粒子的總幾率在單位時間內(nèi)的增量,J是幾率流密度，是一矢量。,所以(7)式是幾率（粒子數(shù)）守恒的積分表示式。,令 Eq.（7）趨于 ，即讓積分對全空間進行，考慮到任何真實的波函數(shù)應(yīng)該是平方可積的，波函數(shù)在無窮遠處為零，則式右面積分趨于零，于是 Eq.（7）變?yōu)椋?其微分形式與流體力學(xué)中連續(xù)性方程的形式相同,使用 Gauss 定理,單位時間內(nèi)通過的封閉表面 S 流入（面

19、積分前面的負(fù)號）內(nèi)的幾率,討論：,表明，波函數(shù)歸一化不隨時間改變，其物理意義是粒子既未產(chǎn)生也未消滅。,（1） 這里的幾率守恒具有定域性質(zhì)，當(dāng)空間某處幾率減少了，必然另外一些地方幾率增加，使總幾率不變，并伴隨著某種流來實現(xiàn)這種變化。,同理可得量子力學(xué)的電荷守恒定律：,表明電荷總量不隨時間改變,（二）再論波函數(shù)的性質(zhì),1. 由 Born 的統(tǒng)計解釋可知，描寫粒子的波函數(shù)已知后，就知道了粒子在空間的幾率分布，即 d (r, t) = |(r, t)|2 d 2. 已知 (r, t)， 則任意力學(xué)量的平均值、可能值及相應(yīng)的幾率就都知道了，也就是說，描寫粒子狀態(tài)的一切力學(xué)量就都知道了。所以波函數(shù)又稱為狀

20、態(tài)波函數(shù)或態(tài)函數(shù)。 3.知道體系所受力場和相互作用及初始時刻體系的狀態(tài)后，由Schrodinger方程即可確定以后時刻的狀態(tài)。,（1）波函數(shù)完全描述粒子的狀態(tài),（2）波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件,1. 根據(jù)Born統(tǒng)計解釋 (r, t) = *(r, t) (r, t)是粒子在t時刻出現(xiàn)在 r點的幾率，這是一個確定的數(shù)，所以要求(r, t)應(yīng)是 r, t的單值函數(shù)且有限。,式右含有及其對坐標(biāo)一階導(dǎo)數(shù)的積分，由于積分區(qū)域是任意選取的，所以S是任意閉合面。要是積分有意義，必須在變數(shù)的全部范圍，即空間任何一點都應(yīng)是有限、連續(xù)且其一階導(dǎo)數(shù)亦連續(xù)。 概括之，波函數(shù)在全空間每一點通常應(yīng)滿足單值、有限、連續(xù)三個條件，該條

21、件稱為波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。,2.根據(jù)粒子數(shù)守恒定律 :,（3）量子力學(xué)基本假定,量子力學(xué)基本假定 1 波函數(shù)完全描述粒子的狀態(tài) 體系的狀態(tài)用坐標(biāo)和時間的函數(shù)(r, t)描述。(r, t)稱為體系的狀態(tài)波函數(shù)。一般要求(r, t)是單值、連續(xù)和平方可積。體系在空間d 內(nèi)出現(xiàn)的幾率正比于|(r, t)|2 d 。 量子力學(xué)基本假定 2 態(tài)疊加原理 一般情況下，如果1和2 是體系的可能狀態(tài)，那末它們的線性疊加= C11 + C22 也是該體系的一個可能狀態(tài). (其中 C1 , C2 為復(fù)常數(shù))。 量子力學(xué)基本假定 3 波動方程 系統(tǒng)狀態(tài)隨時間的變化由薛定厄方程描述，即 波函數(shù)可確定任意力學(xué)量的平均值、

22、可能值及相應(yīng)的幾率,5 定態(tài)Schrodinger 方程,現(xiàn)在讓我們討論 有外場情況下的定態(tài) Schrodinger 方程：,令：,于是：,V(r)與t無關(guān)時，可以分離變量,等式兩邊是相互無關(guān)的物理量，故應(yīng)等于與 t, r 無關(guān)的常數(shù),該方程稱為定態(tài) Schrodinger 方程，(r)也可稱為定態(tài)波函數(shù)，或可看作是t=0時刻(r,0)的定態(tài)波函數(shù)。,此波函數(shù)與時間t的關(guān)系是正弦型的，其角頻率=2E/h。 由de Broglie關(guān)系可知： E 就是體系處于波函數(shù)(r,t)所描寫的狀態(tài)時的能量。也就是說，此時體系能量有確定的值，所以這種狀態(tài)稱為定態(tài)，波函數(shù)(r,t)稱為定態(tài)波函數(shù)。,（二）Ham

23、ilton算符和能量本征值方程,（1）Hamilton 算符,二方程的特點：都是以一個算符作用于(r, t)等于E(r, t)。所以這兩個算符是完全相當(dāng)?shù)模ㄗ饔糜诓ê瘮?shù)上的效果一樣）。,再由 Schrodinger 方程：,（2）能量本征值方程,（1）一個算符作用于一個函數(shù)上得到一個常數(shù)乘以該函數(shù)這與數(shù)學(xué)物理方法中的本征值方程相似。 數(shù)學(xué)物理方法中：微分方程 + 邊界條件構(gòu)成本征值問題；,（2）量子力學(xué)中：波函數(shù)要滿足三個標(biāo)準(zhǔn)條件，對應(yīng)數(shù)學(xué)物理方法中的邊界條件，稱為波函數(shù)的自然邊界條件。 因此在量子力學(xué)中稱與上類似的方程為束縛的本征值方程。常量 E 稱為算符 H 的本征值；稱為算符 H 的本征

24、函數(shù)。 （3）由上面討論可知，當(dāng)體系處于能量算符本征函數(shù)所描寫的狀態(tài)（簡稱能量本征態(tài)）時，粒子能量有確定的數(shù)值，這個數(shù)值就是與這個本征函數(shù)相應(yīng)的能量算符的本征值。,（三）求解定態(tài)問題的步驟,討論定態(tài)問題就是要求出體系可能有的定態(tài)波函數(shù)( r, t) 和在這些態(tài)中的能量 E。其具體步驟如下：,（1）列出定態(tài) Schrodinger方程,（2）根據(jù)波函數(shù)三個標(biāo)準(zhǔn)條件求解能量 E 的本征值問題，得：,（3）寫出定態(tài)波函數(shù)即得到對應(yīng)第 n 個本征值 En 的定態(tài)波函數(shù),（4）通過歸一化確定歸一化系數(shù) Cn,（四）定態(tài)的性質(zhì),（2）幾率密度與時間無關(guān),（1）粒子在空間幾率密度與時間無關(guān),綜上所述，當(dāng)滿足

25、下列三個等價條件中的任何一個時，就是定態(tài)波函數(shù)： 1. 描述的狀態(tài)其能量有確定的值； 2. 滿足定態(tài)Schrodinger方程； 3. |2 與 t無關(guān)。,（3）任何不顯含t得力學(xué)量平均值與t 無關(guān),方程左邊只是空間坐標(biāo)的函數(shù)，,右邊只是時間的函數(shù)，,只有兩邊都等于一個常數(shù)等式才能成立。,令這一常數(shù)為E 。則：,積分可得 ：,6 一維無限深勢阱,（一）一維運動 （二）一維無限深勢阱 （三）宇稱 （四）討論,（一） 一維運動,所謂一維運動就是指在某一方向上的運動。,此方程是一個二階偏微分方程。若勢可寫成： V(x,y,z) = V1(x) + V2(y) + V3(z) 形式，則 S-方程可在直

26、角坐標(biāo)系中分離變量。,令 (x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z) E = Ex + Ey + Ez 于是S-方程化為三個常微分方程：,當(dāng)粒子在勢場 V(x,y,z) 中運動時，其 Schrodinger 方程為：,其中,（二）一維無限深勢阱,求解 S 方程 分四步： （1）列出各勢域的一維S方程 （2）解方程 （3）使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件定解 （4）定歸一化系數(shù),（1）列出各勢域的 S 方程,方程可 簡化為：,勢V(x)分為三個區(qū)域， 用 I 、II 和 III 表示， 其上的波函數(shù)分別為 I(x),II(x) 和 III (x)。則方程為：,（3）使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件,從物理考慮，粒子不能透過無窮高的勢壁。 根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，要求在阱壁上和阱壁 外波函數(shù)為零，特別是 (-a) = (a)