三角函數(shù)圖象及應用

1、函數(shù)yAsin(x)的圖象及應用1yAsin(x)的有關概念yAsin(x)(A0，0)，x0，)振幅周期頻率相位初相ATfx2.用五點法畫yAsin(x)一個周期內的簡圖時，要找五個特征點如下表所示.xx02yAsin(x)0A0A03.函數(shù)ysin x的圖象經變換得到y(tǒng)Asin(x)的圖象的步驟如下：【思考辨析】判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)作函數(shù)ysin(x)在一個周期內的圖象時，確定的五點是(0,0)，(，1)，(，0)，(，1)，(2，0)這五個點()(2)將函數(shù)y3sin 2x的圖象左移個單位長度后所得圖象的解析式是y3sin(2x)()(3)函數(shù)ysin(x

2、)的圖象是由ysin(x)的圖象向右移個單位長度得到的()(4)函數(shù)ysin(2x)的遞減區(qū)間是(k，k)，kZ.()(5)函數(shù)f(x)sin2x的最小正周期和最小值分別為，0.()(6)函數(shù)yAcos(x)的最小正周期為T，那么函數(shù)圖象的兩個相鄰對稱中心之間的距離為.()1(2014四川)為了得到函數(shù)ysin(2x1)的圖象，只需把函數(shù)ysin 2x的圖象上所有的點()A向左平行移動個單位長度B向右平行移動個單位長度C向左平行移動1個單位長度D向右平行移動1個單位長度答案A解析ysin 2x的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)ysin 2(x)的圖象，即函數(shù)ysin(2x1)的圖象2(2013四

3、川)函數(shù)f(x)2sin(x)(0，0)，將yf(x)的圖象向右平移個單位長度后，所得的圖象與原圖象重合，則的最小值等于()A. B3C6 D9答案C解析由題意可知，nT (nN*)，n (nN*)，6n (nN*)，當n1時，取得最小值6.4設函數(shù)f(x)3sin(x)(0，)的圖象關于直線x對稱，它的周期是，則下列說法正確的是_(填序號)f(x)的圖象過點(0，)；f(x)在，上是減函數(shù)；f(x)的一個對稱中心是(，0)；將f(x)的圖象向右平移|個單位長度得到函數(shù)y3sin x的圖象答案解析周期為，2，f(x)3sin(2x)，f()3sin()，則sin()1或1.又(，)，(，)，f

4、(x)3sin(2x)：令x0f(x)，正確：令2k2x2k，kZkxk，kZ.令k0x0)的周期為.(1)求它的振幅、初相；(2)用五點法作出它在長度為一個周期的閉區(qū)間上的圖象；(3)說明函數(shù)f(x)的圖象可由ysin x的圖象經過怎樣的變換而得到的解(1)f(x)sin xcos x2(sin xcos x)2sin(x)，又T，即2.f(x)2sin(2x)函數(shù)f(x)sin xcos x的振幅為2，初相為.(2)令X2x，則y2sin2sin X.列表，并描點畫出圖象：xX02ysin X01010y2sin02020(3)方法一把ysin x的圖象上所有的點向左平移個單位長度，得到y(tǒng)

5、sin的圖象，再把ysin的圖象上的點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，得到y(tǒng)sin的圖象，最后把ysin上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)，即可得到y(tǒng)2sin的圖象方法二將ysin x的圖象上每一點的橫坐標x縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到y(tǒng)sin 2x的圖象；再將ysin 2x的圖象向左平移個單位長度，得到y(tǒng)sin 2sin的圖象；再將ysin的圖象上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標伸長為原來的2倍，得到y(tǒng)2sin的圖象思維升華(1)五點法作簡圖：用“五點法”作yAsin(x)的簡圖，主要是通過變量代換，設zx，由z取0，2來求出相應的x，通過列表，計算得出五點坐標，描點后得

6、出圖象(2)圖象變換：由函數(shù)ysin x的圖象通過變換得到y(tǒng)Asin(x)的圖象，有兩種主要途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”(1)把函數(shù)ysin(x)圖象上各點的橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變)，再將圖象向右平移個單位長度，那么所得圖象的一條對稱軸方程為()Ax BxCx Dx(2)(2014遼寧)將函數(shù)y3sin(2x)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)()A在區(qū)間，上單調遞減B在區(qū)間，上單調遞增C在區(qū)間，上單調遞減D在區(qū)間，上單調遞增答案(1)A(2)B解析(1)將ysin(x)圖象上各點的橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變)，得到函數(shù)ysin(2x)；再將圖象向右平移個單位

7、長度，得到函數(shù)ysin2(x)sin(2x)，故x是其圖象的一條對稱軸方程(2)y3sin(2x)的圖象向右平移個單位長度得到y(tǒng)3sin2(x)3sin(2x)令2k2x2k得kxk，kZ，則y3sin(2x)的增區(qū)間為k，k，kZ.令k0得其中一個增區(qū)間為，故B正確畫出y3sin(2x)在，上的簡圖，如圖，可知y3sin(2x)在，上不具有單調性，故C，D錯誤題型二由圖象求函數(shù)yAsin(x)的解析式例2(1)已知函數(shù)f(x)2sin(x)(其中0，|0，|0)的圖象的一部分如圖所示，則該函數(shù)的解析式為_答案(1)D(2)f(x)2sin解析(1)f(x)(0，|)的最小正周期為，T，2.f

8、(0)2sin ，即sin (|)，.(2)觀察圖象可知：A2且點(0,1)在圖象上，12sin(0)，即sin .|0)來確定；的確定：由函數(shù)yAsin(x)k最開始與x軸的交點(最靠近原點)的橫坐標為(即令x0，x)確定.如圖為yAsin(x)的圖象的一段(1)求其解析式；(2)若將yAsin(x)的圖象向左平移個單位長度后得yf(x)，求f(x)的對稱軸方程解(1)由圖象知A，以M為第一個零點，N為第二個零點列方程組解得所求解析式為ysin.(2)f(x)sinsin，令2xk(kZ)，則x (kZ)，f(x)的對稱軸方程為x (kZ)題型三函數(shù)yAsin(x)的性質例3(2014重慶改

9、編)已知函數(shù)f(x)sin(x)(0，)的圖象關于直線x對稱，且圖象上相鄰兩個最高點的距離為.(1)求和的值；(2)當x0，時，求函數(shù)yf(x)的最大值和最小值解(1)因為f(x)的圖象上相鄰兩個最高點的距離為，所以f(x)的最小正周期T，從而2.又因f(x)的圖象關于直線x對稱，所以2k，kZ，由0，0)的性質(1)奇偶性：k(kZ)時，函數(shù)yAsin(x)為奇函數(shù)；k(kZ)時，函數(shù)yAsin(x)為偶函數(shù)(2)周期性：yAsin(x)存在周期性，其最小正周期為T.(3)單調性：根據ysin t和tx(0)的單調性來研究，由2kx2k(kZ)得單調增區(qū)間；由2kx2k(kZ)得單調減區(qū)間(

10、4)對稱性：利用ysin x的對稱中心為(k，0)(kZ)來解，令xk(kZ)，求得其對稱中心利用ysin x的對稱軸為xk(kZ)來解，令xk(kZ)得其對稱軸已知函數(shù)f(x)Asin(x)(xR，A0,00，0)的單調區(qū)間的確定，基本思想是把x看做一個整體若0，且|)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的一個單調遞增區(qū)間是()A，B，C，D，答案D解析由函數(shù)的圖象可得T，T，則2.又圖象過點(，2)，2sin(2)2，2k，kZ，|0，0,00時，x，由題意知，即；當0，0,0)的部分圖象如圖所示，KLM為等腰直角三角形，KML90，KL1，則f()的值為_答案解析取K，L中點N，則MN，因

11、此A.由T2得.函數(shù)為偶函數(shù)，00)來表示，已知6月份的月平均氣溫最高，為28，12月份的月平均氣溫最低，為18，則10月份的平均氣溫值為_.答案20.5解析由題意得y235cos，當x10時，y23520.5.8已知函數(shù)f(x)cos xsin x(xR)，給出下列四個命題：若f(x1)f(x2)，則x1x2；f(x)的最小正周期是2；f(x)在區(qū)間，上是增函數(shù)；f(x)的圖象關于直線x對稱其中真命題是_答案解析f(x)sin 2x，當x10，x2時，f(x1)f(x2)，但x1x2，故是假命題；f(x)的最小正周期為，故是假命題；當x，時，2x，故是真命題；因為f()sin ，故f(x)的

12、圖象關于直線x對稱，故是真命題9已知函數(shù)f(x)cos xcos(x)(1)求f()的值；(2)求使f(x)成立的x的取值集合解(1)f()coscoscoscos()2.(2)f(x)cos xcos(x)cos x(cos xsin x)cos2xsin xcos x(1cos 2x)sin 2xcos(2x).f(x)等價于cos(2x)，即cos(2x)0，于是2k2x2k，kZ.解得kxk，kZ.故使f(x)成立的x的取值集合為x|kxk，kZ10(2014福建)已知函數(shù)f(x)cos x(sin xcos x).(1)若0，且sin ，求f()的值；(2)求函數(shù)f(x)的最小正周期

13、及單調遞增區(qū)間解方法一(1)因為0，sin ，所以cos .所以f()().(2)因為f(x)sin xcos xcos2xsin 2xsin 2xcos 2xsin(2x)，所以T.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以f(x)的單調遞增區(qū)間為k，k，kZ.方法二f(x)sin xcos xcos2xsin 2xsin 2xcos 2xsin(2x)(1)因為00,0)一個周期內的圖象上的四個點，如圖所示，A(，0)，B為y軸上的點，C為圖象上的最低點，E為該函數(shù)圖象的一個對稱中心，B與D關于點E對稱，在x軸上的投影為，則，的值為()A2， B2，C， D，答案A解析因為在x軸上的投影為

14、，又點A(，0)，所以函數(shù)的四分之一個最小正周期為.即函數(shù)的最小正周期為，故2.又點A(，0)是處于遞增區(qū)間上的零點，所以2()2k(kZ)，則2k(kZ)又因為00，)的圖象上的兩個相鄰的最高點和最低點的距離為2，且過點，則函數(shù)的解析式為_答案f(x)sin解析據已知兩個相鄰最高點和最低點距離為2，可得 2，解得T4，故，即f(x)sin，又函數(shù)圖象過點，故f(2)sin()sin ，又，解得，故f(x)sin.14(2014湖北)某實驗室一天的溫度(單位：)隨時間t(單位：h)的變化近似滿足函數(shù)關系：f(t)10costsint，t0,24)(1)求實驗室這一天的最大溫差；(2)若要求實驗室溫度不高于11，則在哪段時間實驗室需要降溫？解(1)因為f(t)102(costsint)102sin(t)，又0t24，所以t11時實驗室需要降溫由(1)得f(t)102sin(t)，故有102sin(t)11，即sin(t).又0t24，因此t，即10t0)，其最小正周期為.(1)求f(x)的表達式；(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度，再將圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，得到函數(shù)yg(x)的圖象，若關于x的方程g(x)k0在區(qū)間0，上有且只有一個實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍解(1)f(x)sin xcos xcos2xsin 2xsin(