點(diǎn)差法習(xí)題(有答案)

1、最新資料推薦點(diǎn)差法習(xí)題【學(xué)習(xí)目標(biāo)】圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題是高考常見的題型，在選擇題、填空題和解答題中都是命題的熱點(diǎn)。它的一般方法是：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及參數(shù)法求解。若已知直線與圓錐曲線的交點(diǎn)（弦的端點(diǎn)）坐標(biāo)，將這兩點(diǎn)代入圓錐曲線的方程并對(duì)所得兩式作差，得到一個(gè)與弦 的中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子，可以大大減少運(yùn)算量。我們稱這種代點(diǎn)作差的方法為“點(diǎn)差法”，它的一般結(jié)論叫做點(diǎn)差法公式。使用說明及學(xué)法指導(dǎo)】1、通過證明定理，熟悉“點(diǎn)差法”的運(yùn)用；2、記住點(diǎn)差法推導(dǎo)出的公式，并熟練應(yīng)用；若設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)（弦的端點(diǎn)）坐標(biāo)為A( x1, y

2、1 ) 、 B(x2 , y2 ) ，將這兩點(diǎn)代入圓錐曲線的方程并對(duì)所得兩式作差， 得到一個(gè)與弦 AB 的中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子，可以大大減少運(yùn)算量。 我們稱這種代點(diǎn)作差的方法為 “點(diǎn)差法”。一、自主證明x2y21M 、 N 兩點(diǎn)，點(diǎn) P(x0 , y0 ) 是弦 MN 的中點(diǎn)，在橢圓 a2b21、定理（ a b 0）中，若直線 l 與橢圓相交于kMNy0b2x0a2弦 MN 所在的直線 l 的斜率為 kMN ，則.x 2y 21M 、N 兩點(diǎn)，點(diǎn) P( x0 , y0 ) 是弦 MN 的中點(diǎn)，同理可證，在橢圓 b 2a 2l 與橢圓相交于（ a b 0）中，若直線kMNy0a2b2弦 MN 所

3、在的直線 l 的斜率為 kMN ，則x0.x 2y 21在雙曲線 a 2b22、定理（ a 0， b 0）中，若直線 l 與 雙曲線相交于M 、 N 兩點(diǎn)，點(diǎn)kMNy0b 2P(x0 , y0 )k MNx2是弦 MN 的中點(diǎn)，弦 MN 所在的直線 l 的斜率為，則a .0y 2x 21M 、 N 兩點(diǎn)，點(diǎn) P(x0 , y0 ) 是弦 MN同理可證，在雙曲線 a2b 2（ a 0， b 0）中，若直線 l 與雙曲線相交于kMNy0a 2x0b 2的中點(diǎn)，弦 MN 所在的直線 l 的斜率為 kMN ，則.3、定理在拋物線 y 22mx(m0) 中，若直線 l 與拋物線相交于 M 、N 兩點(diǎn)，

4、點(diǎn) P( x0 , y0 ) 是弦 MN 的中點(diǎn)， 弦 MN所在的直線 l的斜率為 kMN ，則 kMNy0m .1最新資料推薦x2y 21OP1 (OAOB )例 1 設(shè)橢圓方程為4，過點(diǎn) M (0,1) 的直線 l 交橢圓于點(diǎn) A 、B，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 點(diǎn) P 滿足2，1 1,點(diǎn) N 的坐標(biāo)為2 2.當(dāng) l 繞點(diǎn) M 旋轉(zhuǎn)時(shí)，求：（ 1）動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程；（ 2） | NP | 的最大值和最小值 .C : y2x21P(2,1) 作直線 l 交雙曲線 C 于 A、 B 兩點(diǎn) .例 2 已知雙曲線3，過點(diǎn)（ 1）求弦 AB 的中點(diǎn) M 的軌跡；（ 2）若 P 恰為弦 AB 的中點(diǎn)，求直

5、線 l 的方程 .例 3 拋物線 y24x 的過焦點(diǎn)的弦的中點(diǎn)的軌跡方程是（）21A.y 2x 1B. y 22( x 1)C.yx 2D. y 22 x 11.已知橢圓 x 22 y 24 ，則以 (1,1) 為中點(diǎn)的弦的長度為（）3036A. 32B.23C.3D.22. 已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為F (7 ,0) ，直線 yx1 與其相交于 M 、 N 兩點(diǎn)， MN 的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為23 ，則此雙曲線的方程為（）x 2y 2x2y 2x2y2x2y21111A.34B.43C.52D.253. 已知直線 xy20 與拋物線 y24x 交于 A 、 B 兩點(diǎn)，那么線段 AB 的中點(diǎn)坐

6、 標(biāo)是 _.【規(guī)律總結(jié)】同理可證，在拋物線x22my(m0) 中，若直線 l 與拋物線相交于 M 、 N 兩點(diǎn)，點(diǎn) P( x0 , y0 ) 是弦 MN的中點(diǎn)，弦1x0mMN 所在的直線 l 的斜率為 kMN ，則 kMN.一、以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程例 1、過橢圓 x2y 21內(nèi)一點(diǎn) M (2,1) 引一條弦，使弦被M 點(diǎn)平分，求這條弦所在直線的方程。164y 2例 2、已知雙曲線 x21 ，經(jīng)過點(diǎn) M (1,1)能否作一條直線l ，使 l 與雙曲線交于 A 、 B ，且點(diǎn) M 是線段 AB 的中2點(diǎn)。若存在這樣的直線l ，求出它的方程，若不存在，說明理由。二、過定點(diǎn)的弦和平行弦的中點(diǎn)

7、坐標(biāo)和中點(diǎn)軌跡例 3、已知橢圓 y2x21的一條弦的斜率為3，它與直線 x1的交點(diǎn)恰為這條弦的中點(diǎn)M ，求點(diǎn) M 的坐標(biāo)。75252例 4、已知橢圓 y2x21,求它的斜率為 3的弦中點(diǎn)的軌跡方程。xy0(5 3x5 3)752522三、求與中點(diǎn)弦有關(guān)的圓錐曲線的方程例 5、已知中心在原點(diǎn)， 一焦點(diǎn)為 F (0, 50 ) 的橢圓被直線 l : y3x2 截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1 ，求橢圓的方程。四、圓錐曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某直線對(duì)稱問題2例 6、已知橢圓 x2y21 ，試確定的 m 取值范圍， 使得對(duì)于直線y4xm ，橢圓上總有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線對(duì)43稱。2最新資料推薦答 案例 1. 解：設(shè)直

8、線與橢圓的交點(diǎn)為M ( 2,1) 為 AB 的中點(diǎn)又 A 、 B 兩點(diǎn)在橢圓上，則兩式相減得 ( x12x22 )4( y12于是 ( x1x2 )( x1x2 )4( y1y1y2x1x2x1x24( y1y2 )A( x1 , y1) 、 B( x2 , y2 )x1x24y1x 24y216， x2112y22 )0y2 )( y1y2 )04 14 22y224y2 216即 kAB1 ，故所求直線的方程為y11 ( x2) ，即 x2 y4 0 。22例 2. 解：設(shè)存在被點(diǎn)M 平分的弦 AB ，且 A( x1 , y1) 、 B( x2 , y2 )則 x1x22 ， y1y22x

9、12y121， x22y2 2122兩式相減，得( x1x2 )( x1x2 )1 ( y1y2 )( y1y2 ) 0kABy1y222x1x2故直線 AB : y12( x 1)y 12( x1)消去 y ，得 2x24x30由x2y212(4) 242380這說明直線 AB 與雙曲線不相交，故被點(diǎn)M 平分的弦不存在，即不存在這樣的直線l 。M評(píng)述：本題如果忽視對(duì)判別式的考察，將得出錯(cuò)誤的結(jié)果，請(qǐng)務(wù)必小心。由此題可看到中點(diǎn)弦問題中判斷點(diǎn)的位置非常重要。（ 1）若中點(diǎn) M 在圓錐曲線內(nèi)， 則被點(diǎn) M 平分的弦一般存在； （ 2）若中點(diǎn) M 在圓錐曲線外， 則被點(diǎn) M平分的弦可能不存在。例 3

10、. 解：設(shè)弦端點(diǎn)P( x1 , y1 ) 、 Q(x2 , y2 ) ，弦 PQ 的中點(diǎn) M ( x01, y0 ) ，則 x0x1x22 x01， y1y22 y022222又y1x11 ， y2x2175257525兩式相減得 25( y1y2 )( y1y2 )75( x1x2 )( x1x2 )0即 2 y0 ( y1y2 ) 3(x1x2 ) 0y1y23x1x22y0ky1y2333 ，即 y01x1x22 y02點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 ( 1 ,1) 。22例 4. 解：設(shè)弦端點(diǎn)P( x1 , y1 ) 、 Q(x2 , y2 ) ，弦 PQ 的中點(diǎn) M ( x, y) ，則x1x22

11、x ，y1y22 y又y12x1 21 ， y2 2x2 2175257525兩式相減得 25( y1y2 )( y1y2 )75( x1x2 )( x1x2 )0即 y( y1y2 )3x( x1x2 ) 0 ，即y1y23xx1x2y3最新資料推薦ky1y23x3 ，即 xy0x1x23yxy0，得 P( 5 35353由 y 2x2, 5 3) Q(,)1222275 25點(diǎn) M 在橢圓內(nèi)它的斜率為3 的弦中點(diǎn)的軌跡方程為例 5.解：設(shè)橢圓的方程為y2x21，則 a2b250 a2b2設(shè)弦端點(diǎn) P( x1 , y1 ) 、 Q(x2 , y2 ) ，弦 PQ 的中點(diǎn) M ( x0 , y

12、0 ) ，則13x021x1x22 x01 ， y1y2 2 y01x0， y022又 y12x121 ， y2 2x2 21a 2b2a 2b 2兩式相減得 b2 ( y1y2 )( y1y2 )a 2 ( x1x2 )( x1x2 )0即 b2 ( y1 y2 ) a 2 ( x1x2 ) 0y1y2a2a23xxb2b221聯(lián)立解得a275 ， b225所求橢圓的方程是y2x 217525例 6. 解 ：設(shè) P1 (x1, y1 ) ， P2 ( x2 , y2 ) 為 橢 圓 上關(guān) 于 直 線 y4x m 的 對(duì) 稱兩 點(diǎn) ， P( x, y) 為弦 P1 P2 的 中 點(diǎn) ，則3x1 24 y1212 ， 3x224 y2 212兩式相減得， 3(x