將軍飲馬問題 -

1、,課題學(xué)習(xí)：最短路徑,看圖思考：,為什么有的人會經(jīng)常踐踏草地呢？,綠地里本沒有路，走的人多了 ,禁止踐踏,兩點(diǎn)之間，線段最短,愛護(hù)草坪,連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短,將軍飲馬問題：,將軍每天騎馬從城堡A出發(fā)，到城堡B，途中馬要到小溪邊飲水一次。將軍問怎樣走路程最短？,這就是被稱為將軍飲馬而廣為流傳的問題。,P,兩點(diǎn)之間線段最短.,根據(jù)：,B,A,(一)兩點(diǎn)在一條直線兩側(cè),例1.如圖：古希臘一位將軍騎馬從城堡A到城堡B，途中馬要到小溪邊飲水一次。問將軍怎樣走路程最短？,最短路線：,將軍飲馬：,A -P- B.,例2.如圖：一位將軍騎馬從城堡A到城堡B， 途中馬要到河邊飲水一

2、次， 問：這位將軍怎樣走路程最短？,A,B,河,兩點(diǎn)在一條直線同側(cè),(二)一次軸對稱：,B,C,例2作法：,（1）作點(diǎn)B關(guān)于直線 MN 的對稱點(diǎn) B,（2）連結(jié)BA，交MN于點(diǎn) C；,所以 點(diǎn)C就是所求的點(diǎn),M,N,兩點(diǎn)在一條直線同側(cè),(二)一次軸對稱：, BC+AC BC +AC ，即AC+BC最小,N,A,B,C,B,C, 直線MN是點(diǎn)B、B的對稱軸， 點(diǎn)C、C在對稱軸上，BC=BC，BC=BC,在MN 上任取另一點(diǎn)C，,連結(jié)BC、BC、 AC 、 BC ,例2證明：,在AB C中，AB AC+B C，,BC+AC = BC+AC = BA,M,BC +AC = BC +AC ,兩點(diǎn)在一條

3、直線同側(cè),(二)一次軸對稱：,例2變式1：已知：P、Q是ABC的邊AB、 AC上的點(diǎn)，你能在BC上確定一點(diǎn)R， 使PQR的周長最短嗎？,兩點(diǎn)在一條直線同側(cè),(二)一次軸對稱：,.,.,.,.,例3已知如圖 和 內(nèi)一點(diǎn) ,(三)二次軸對稱：,一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部,求作:OM上一點(diǎn)B, ON上一點(diǎn)C, 使AB+BC+AC最小,作法（1）作點(diǎn)A關(guān)于OM、 ON的對稱點(diǎn)A、A”,例3.如圖：一位將軍騎馬從駐地A出發(fā)，先牽馬去草地 OM吃草，再牽馬去河邊ON喝水， 最后回到駐地A， 問：這位將軍怎樣走路程最短？,O,M,N,(三)二次軸對稱：,一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部,例3變式1：已知P是ABC的邊BC上的

4、點(diǎn)， 你能在AB、AC上分別確定一點(diǎn)Q和R， 使PQR的周長最短嗎？,(三)二次軸對稱：,一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部,例4：如圖，A為馬廄，B為帳篷，將軍某一天要 從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬， 再到河邊飲馬，然后回到帳篷， 請你幫助確定這一天的最短路線。,（四）二次軸對稱：,兩點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部,例4答案：如圖,A是馬廄,B為帳篷,牧馬人某一天要從馬廄牽出馬,先到草地邊某一處牧馬,再到河邊飲馬,然后回到帳篷.請你幫他確定這一天的最短路線.,A,B,C,D,（四）二次軸對稱：,兩點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部,.,.,.,.,（四）二次軸對稱：,兩點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部,例4變式1：已知： MON和 MON內(nèi)兩點(diǎn)A、B。 求作：點(diǎn)C和點(diǎn)D,使得點(diǎn)C在OM上， 點(diǎn)D在ON上，且AC+CD+BD+AB最短。,例4變式2：如圖，OMCN是矩形的臺球桌面，有黑、白兩球分別位于B、A兩點(diǎn)的位置上， 試問怎樣撞擊白球，使白球A依次碰撞球臺邊OM、ON后，反彈擊中黑球？,（四）二次軸對稱：,兩點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部,.,.,.,.,.,.,A,A,B,B,C,D,M,O,N,例4變式2：,（四）二次軸對稱：,兩點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部,（2）把A，B在直線同側(cè)的問題轉(zhuǎn)化為 在直線的兩側(cè)，化折線為直線，,將軍飲馬的實(shí)質(zhì)：,（3）可利用“兩點(diǎn)之間線段最短” 加以解決。,（