2009年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)(二)歷年真題

碩博考研WWWEDUFZUCOM12009年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)（1）函數(shù)的可去間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則（D）3SINXF123無(wú)窮多個(gè)ABC（2）當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無(wú)窮小，則（）0XSIFXAX2LN1GBX1,6AB1,6B,6AD1,6AB（3）設(shè)函數(shù)的全微分為，則點(diǎn)（）ZFXYDZXY0不是的連續(xù)點(diǎn)不是的極值點(diǎn)A,B,F是的極大值點(diǎn)是的極小值點(diǎn)CFXYDXY（4）設(shè)函數(shù)連續(xù)，則（）,22411,YXDFDFXDA241,XDFYB241,XFCDY（5）若不變號(hào)，且曲線在點(diǎn)上的曲率圓為，則在區(qū)FXYFX,2XYFX間內(nèi)（）1,2有極值點(diǎn)，無(wú)零點(diǎn)無(wú)極值點(diǎn)，有零點(diǎn)AB有極值點(diǎn)，有零點(diǎn)無(wú)極值點(diǎn)，無(wú)零點(diǎn)CD（6）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的圖形為YFX1,3碩博考研WWWEDUFZUCOM2則函數(shù)的圖形為（）0XFFTDDAF023X1211BFX023X1211CFX023X111DFX023X1211（7）設(shè)、均為2階矩陣，分別為、的伴隨矩陣。若，則分塊ABAB，AB，矩陣的伴隨矩陣為（）0A320B03A1FX2023X1O碩博考研WWWEDUFZUCOM3C03A2BD02A3B（8）設(shè)均為3階矩陣，為的轉(zhuǎn)置矩陣，且，若P，TPT10P2，則為（）Q123123（，），（，）QATA0B0C201D102二、填空題914小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上（9）曲線在處的切線方程為2X0LNUTEDYTT（，0）（10）已知,則1KXE（11）NLIMSI0XD（12）設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，則YY1EX2X0DY（13）函數(shù)在區(qū)間上的最小值為2X0，14設(shè)為3維列向量，為的轉(zhuǎn)置，若矩陣相似于，則，TT20T碩博考研WWWEDUFZUCOM420三、解答題1523小題，共94分請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定的位置上解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟（15）（本題滿分9分）求極限401COSLN1TALIMIXXX（16）（本題滿分10分）計(jì)算不定積分LDX0（17）（本題滿分10分）設(shè)，其中具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求與,ZFXYFDZ2ZXY（18）（本題滿分10分）設(shè)非負(fù)函數(shù)滿足微分方程，當(dāng)曲線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，其X020XYYX與直線及圍成平面區(qū)域的面積為2，求繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積。1YD（19）（本題滿分10分）求二重積分，XYD其中22,1,DXYY（20）（本題滿分12分）設(shè)是區(qū)間內(nèi)過(guò)的光滑曲線，當(dāng)時(shí)，曲線上任一點(diǎn)處（，）2（，）0X的法線都過(guò)原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)滿足。求的表達(dá)式0XYXYY（21）（本題滿分11分）（）證明拉格朗日中值定理若函數(shù)在上連續(xù)，在可導(dǎo)，則存在F,AB,AB，使得,ABFA（）證明若函數(shù)在處連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，則X00,0LIMXFA碩博考研WWWEDUFZUCOM5存在，且。0F0FA（22）（本題滿分11分）設(shè)，1421（）求滿足的所有向量22131,A3,（）對(duì)（）中的任一向量，證明線性無(wú)關(guān)。2,12（23）（本題滿分11分）設(shè)二次型2233123,FXAXXX（）求二次型的矩陣的所有特征值；F（）若二次型的規(guī)范形為，求的值。21Y碩博考研WWWEDUFZUCOM62008年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)（1）設(shè)，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）21FXXFX0123ABCD（2）曲線方程為函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則定積分（）YFX0,A0ATFXD曲邊梯形ABOD面積梯形ABOD面積B曲邊三角形面積CAD三角形面積（3）在下列微分方程中，以（為任意常數(shù)）為通解123COSIN2XYCECX123,C的是（）A40YB40YYCYD（5）設(shè)函數(shù)在內(nèi)單調(diào)有界，為數(shù)列，下列命題正確的是（）FX,NX若收斂，則收斂若單調(diào)，則收斂ANNFBNFX碩博考研WWWEDUFZUCOM7若收斂，則收斂若單調(diào)，則收斂CNFXNXDNFXNX（6）設(shè)函數(shù)連續(xù)，若，其中區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，則F2,UVDFXYFDUVDFUA2VFB2VFUC（7）設(shè)為階非零矩陣，為階單位矩陣若，則（）ANEN30A不可逆，不可逆不可逆，可逆EBE可逆，可逆可逆，不可逆CD（8）設(shè)，則在實(shí)數(shù)域上與合同的矩陣為（）12AA12B21CD21二、填空題914小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上（9）已知函數(shù)連續(xù)，且，則FX20COSLIM1XFE0_F（10）微分方程的通解是2XYEDYY（11）曲線在點(diǎn)處的切線方程為SINL0,1碩博考研WWWEDUFZUCOM8（12）曲線的拐點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)235YX（13）設(shè)，則Z1,2_Z（14）設(shè)3階矩陣的特征值為若行列式，則A,3248A_三、解答題1523小題，共94分請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定的位置上解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15（本題滿分9分）求極限40SINSINLMXX16（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程確定，其中是初值問(wèn)題YX20LN1TYUDXT的解求02XTDE2X17（本題滿分9分）求積分120ARCSINXD18（本題滿分11分）求二重積分其中MAX,DY,02,DXYY19（本題滿分11分）設(shè)是區(qū)間上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)增加函數(shù)，且對(duì)任意的F0,01F，直線，曲線以及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周生成0,TXTYFXX一旋轉(zhuǎn)體若該旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積在數(shù)值上等于其體積的2倍，求函數(shù)的表達(dá)式F20（本題滿分11分）1證明積分中值定理若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)，F(xiàn)X,AB,AB使得BAFXDFBA碩博考研WWWEDUFZUCOM92若函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足，證明至少存在一點(diǎn)X3221,XD1,30使得（21）（本題滿分11分）求函數(shù)在約束條件和下的最大值與最小值22UXYZ2ZXY4Z（22）（本題滿分12分）設(shè)矩陣，現(xiàn)矩陣滿足方程，其中，221NAAAAXB1,TNX，1,0B（1）求證；1NA（2）為何值，方程組有唯一解，并求；A1X（3）為何值，方程組有無(wú)窮多解，并求通解（23）（本題滿分10分）設(shè)為3階矩陣，為的分別屬于特征值特征向量，向量滿足A12,A,13，32（1）證明線性無(wú)關(guān)；13,（2）令，求2P1PA碩博考研WWWEDUFZUCOM102007年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題110小題，每小題4分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)（1）當(dāng)時(shí)，與等價(jià)的無(wú)窮小量是0XX（A）（B）（C）（D）E1LN1X1COSX（2）函數(shù)在上的第一類間斷點(diǎn)是1TAEXF,（A）0（B）1（C）（D）22（3）如圖，連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓YFX3,周，在區(qū)間的圖形分別是直徑為2的下、上半圓周，設(shè)，則2,00DXFFT下列結(jié)論正確的是碩博考研WWWEDUFZUCOM11（A）B324F5324F（C）（D）（4）設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，下列命題錯(cuò)誤的是FX0（A）若存在，則（B）若存在，則0LIMXF0LIMXFX0F（C）若存在，則（D）若存在，則F0（5）曲線的漸近線的條數(shù)為1LNEXY（A）0（B）1（C）2（D）3（6）設(shè)函數(shù)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，令，則下列結(jié)論正確F0,0FXNUF的是A若，則必收斂B若，則必發(fā)散12UNU12UNC若，則必收斂D若，則必發(fā)散U（7）二元函數(shù)在點(diǎn)處可微的一個(gè)充要條件是,FXY0,（A）,0,LIMXYF（B）00,0LI,LIMXYFFF且（C）2,0,LIXYFFX碩博考研WWWEDUFZUCOM12（D）00LIM,0,LIM,0,XXYYFFFF且（8）設(shè)函數(shù)連續(xù)，則二次積分等于Y1SIN2DDX（A）（B）10ARCSIND,DYFX0ARCSIN,DYFX（C）（D）212（9）設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是13,線性相關(guān)，則AB1231,1231,CD22（10）設(shè)矩陣，則與01,12ABABA合同且相似（B）合同，但不相似C不合同，但相似D既不合同也不相似二、填空題1116小題，每小題4分，共24分把答案填在題中橫線上（11）_30ARCTNSILIMXX（12）曲線上對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)處的法線斜率為_(kāi)2O1SITTY4T（13）設(shè)函數(shù)，則_3X0NY（14）二階常系數(shù)非齊次微分方程的通解為_(kāi)23EXYY（15）設(shè)是二元可微函數(shù)，則_,FUV,ZFZ（16）設(shè)矩陣，則的秩為01A3A三、解答題1724小題，共86分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟碩博考研WWWEDUFZUCOM13（17）本題滿分10分設(shè)是區(qū)間上單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)，且滿足，F(xiàn)X0,4100COSINDDFXXTTT其中是的反函數(shù)，求1FFX（18）（本題滿分11分）設(shè)是位于曲線下方、軸上方的無(wú)界區(qū)域D21,0XAYX（）求區(qū)域繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積；VA（）當(dāng)為何值時(shí)，最小并求此最小值A(chǔ)V（19）（本題滿分10分）求微分方程滿足初始條件的特解2YXY1Y（20）（本題滿分11分）已知函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，函數(shù)由方程所確定，F(xiàn)U0FYX1EYX設(shè)，求LNSIZFYX200D,XXZ（21）本題滿分11分設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，,FG,AB,AB，證明存在，使得FAFG（22）本題滿分11分設(shè)二元函數(shù)，計(jì)算二重積分，其22,|11,2XYFXYXYD,DFXY中,|D（23）本題滿分11分設(shè)線性方程組與方程有公共解，求的值及所有12312304XAX1231XAA公共解碩博考研WWWEDUFZUCOM14（24）本題滿分11分設(shè)三階對(duì)稱矩陣的特征向量值，是的屬于的A123,T1,A1一個(gè)特征向量，記，其中為3階單位矩陣534BE（I）驗(yàn)證是矩陣的特征向量，并求的全部特征值與特征向量；1B（II）求矩陣2006年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、填空題16小題，每小題4分，共24分把答案填在題中橫線上（1）曲線的水平漸近線方程為SIN52COXY（2）設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，則2301ID,XTFA0XA（3）廣義積分201X（4）微分方程的通解是YX（5）設(shè)函數(shù)由方程確定，則EYX0DXY（6）設(shè)矩陣，為2階單位矩陣，矩陣滿足，則21AEB2AEB二、選擇題714小題，每小題4分，共32分每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)碩博考研WWWEDUFZUCOM15（7）設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，為自變量在點(diǎn)處的增YFX0,FXFX0X量，分別為在點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的增量與微分，若，則D與00AB0YDYCD（8）設(shè)是奇函數(shù)，除外處處連續(xù)，是其第一類間斷點(diǎn)，則是FX0X0X0DXFT（A）連續(xù)的奇函數(shù)（B）連續(xù)的偶函數(shù)（C）在間斷的奇函數(shù)（D）在間斷的偶函數(shù)（9）設(shè)函數(shù)可微，則等于GX1E,12GXHHG（A）（B）LN31LN3（C）（D）2（10）函數(shù)滿足的一個(gè)微分方程是21EEXXY（A）（B）323EXY（C）（D）2EXY（11）設(shè)為連續(xù)函數(shù)，則等于,FX140DCOS,INDFRR（）（B）2210D,XFY2210,XFYCD2210,DYF2210D,DYF（12）設(shè)均為可微函數(shù)，且，已知是在約束條,FX與,YX0,XY,FX件下的一個(gè)極值點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是,YA若，則0,XFY0,YFXB若，則碩博考研WWWEDUFZUCOM16C若，則0,XFY0,YFXD若，則（13）設(shè)均為維列向量，為矩陣，下列選項(xiàng)正確的是12,SNAMNA若線性相關(guān)，則線性相關(guān)S12,SB若線性相關(guān)，則線性無(wú)關(guān)12,SSC若線性無(wú)關(guān)，則線性相關(guān)S12,SAD若線性無(wú)關(guān)，則線性無(wú)關(guān)12,SS（14）設(shè)為3階矩陣，將的第2行加到第1行得，再將的第1列的倍加到第2列AB得，記，則C01P（）（）A1CPA（）（）TPT三、解答題1523小題，共94分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟（15）（本題滿分10分）試確定的值，使得，,ABC23E11XBCAXO其中是當(dāng)時(shí)比高階的無(wú)窮小3OX03（16）（本題滿分10分）求ARCSINEDX（17）（本題滿分10分）設(shè)區(qū)域，計(jì)算二重積分2,1,0DXYX21DDXY（18）（本題滿分12分）設(shè)數(shù)列滿足N110,SIN,2碩博考研WWWEDUFZUCOM17（）證明存在，并求該極限；LIMNX（）計(jì)算21LINXN（19）（本題滿分10分）證明當(dāng)時(shí)，0ABSI2COSSIN2COSAA（20）（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足等式FU,2ZFXY20ZXY（I）驗(yàn)證；FUF（II）若，求函數(shù)的表達(dá)式10,1F