上海交通大學(xué)計算方法課件(宋寶瑞)CH.8

1第八章常微分方程初值問題的數(shù)值解法（1）00,DYFXXB（1）的解解析解函數(shù)00,NXDYYXFXXY常微分方程課程中討論了（1）的解的存在性，唯一性條件例如，且滿足對的LIPCHITZ條件0,FCB,FY12120,NFXYFLYX則（1）的解存在，唯一以后我們總設(shè),IPLFX解析解不易求得，或太復(fù)雜。實際問題中歸結(jié)出的方程主要用數(shù)值解，即求在一系列離散點上的近似值，這些點是Y01011,NNXHXH諸可以不同，為方便計算，設(shè)I,1,2II方法據(jù)常微分方程理論，已知，則（1）在上的解滿足KYX,KXB2,KYFX提示我們從出發(fā)，一步一步向前跨，得到0,0,1IIYXN初值問題TAYLOR展式法數(shù)值積分法EULER折線法分點00,12KBXXHKNH給定（1），在處將展成TAYLOR展式KYX2KYX一般很小，略去項，得H210021,YFXY一般地，11,1,2,KKYHFXYKN分段線性函KKXX數(shù)（EULER折線法名稱的由來）如果（沒有誤差）用EULER折線法求得KKY1KY則局部截斷誤差211KKKHXT3221KKHTYXO主項EULER折線法算法簡單，自開始，但精度差P281，表91，幾乎不單獨用。向后的EULER公式11,KKYHFXYTAYLOR展開可得，主項21KHT2KHYX隱式，可迭代求解，精度也不高。1KY梯形公式（向前、向后EULER法，取算術(shù)平均）11,22KKKHYFXYFY平均斜率消去截斷誤差中的項。提高精度12231KTOH隱式，迭代方法011,32KKNNKYHFXYFXY迭代有限步，或迭代至收斂（收斂嗎下證）23111,NNKKKHYFXYFXYLIPCHITZ條件12NKL4當(dāng)充分小，即時，方法收斂，缺點迭代次數(shù)無法控制。H12L如果只迭代一次，得到改進的EULER公式21131,2KKKKYFXYTOHHFXY預(yù)估校正法,KKYFX131112,KKKKKYHFXYTOHF預(yù)估校正說明231312,KKKKKKHYYOFX31KTOH優(yōu)點預(yù)估與校正精度相同；不需迭代，精度較高。問題已知才可起步，要用其它方法做“表頭”01,YEULER法的整體誤差5，受第1，2，第N步截斷誤差的影響NNEYX記，則1,NHFXY11111,NNNNNNNNEYTXHFYXHFXYYFLE反復(fù)應(yīng)用上式，又由得000112,01MAX|21NNNKBKNHLBXETHHLTYCE一般，比低一階NETRUNGEKUTTA方法RK法TAYLOR展開法（構(gòu)造公式的基本方法，用于構(gòu)造任意階的公式）方法要點6例微分兩邊2YX2224222436358YXYXYXYX在這一點上，補充可求得的值。KKJKYX一般地,XYXYYFFFFXY3222XYF算子DFXYD1,JJYF2112111NNKKKKKNXYXHXYXHOFFF是以代入D式得到的值。JKF,KXY令，可以構(gòu)造任意階的公式。1211NKKFHFFH7稱為階精度的公式。111PKKYXOH精度高，但太繁瑣，常用于求“表頭”RK法為避免TAYLOR展開法的繁瑣計算，試圖不計算，而用多計算幾個JKFFX,Y在不同點上的值來代替12221333321,112,KKKRKRKRRRKFXYHKFHFXYKK其中與無關(guān)。,FH1KKYH選擇常數(shù)，使H的TAYLOR展式與順次有盡可能2KFF多的項重合。一般導(dǎo)致非線性方程組，有時不推最高可能階數(shù)，而常要求系數(shù)對稱，簡明易記（非常繁瑣，一次推得，一般情況通用）例二階的RK方法推導(dǎo)用二元TAYLOR展式8122212212,KKKXKYKKXKYKFXYHKFFHFXKHFFO1XY21212YF2F,KKXKYKFFXHF只須二階，自由系數(shù)12/12210,我們得到了二階RK法（也稱為變形EULER公式）UN二階的方法，用多算一次函數(shù)值來避免算Y如果取，我們又一次得到改進1/212的EULER公式，同時回答了前面改進的EULER公式是二階的問題。四階（標(biāo)準(zhǔn)）RK法（常用）911223431124,6KKKKKKFXYKHFXYHY變步長RK法要點取一個算11,/2NYBH22NYY再算判斷線性多步法單步法只用，線性多步法用了若干個點上1,KKKXYFXY的信息，限于線性組合，一般的10101KKRKKHFFF顯式，隱式。11局部截斷誤差的計算設(shè)KIKIYX0,1R，是用（1）式算出的值。11KKKTYX方程等階于11,NXNFYDX10未知，但,FXFYX,NINIINIFXFYF以作插值多項式，代積1,KKKRFFRPXF分，求出諸和得到ADAMS外推法，插值區(qū)間不包含II,KR，所以得4階顯式公式1,KX10123597924KKKKHYFFF以作插值11,KNRRXFXX多項式代積分得和，此時，有4階隱式公式IQFII1011129524KKKKHYFFF一般利用TAYLOR展開方程例如10121012KKKKKYYHFFTAYLOR展開,IIIIXFXNX在處KIKIY213KKKKHXYX21KKKKYYX代入（2）式得到1110121012123314121496602KKKKYYXYXHYXH56KYXOH據(jù)的TAYLOR展式，上式中的系數(shù)應(yīng)為，列出相應(yīng)的1KYJJKYXH1J線性方程組，從中解出，局部截斷誤差考慮穩(wěn)定性和系數(shù)I,6O形式簡單，也可少解幾個方程，有自由未知數(shù)。EG令，代入可解得02SIMPSON公式11143KKKHYFF局部截斷誤差6O當(dāng)然也有另外的公式。HARMMING做了多次檢驗,發(fā)現(xiàn)當(dāng)時穩(wěn)定10性好。得HARMMING公式5121139288KKKKHYYFFOH用數(shù)值積分法可推出的公式必可用TAYLOR法推出。反之不然如12HARMMING一般來說，隱式的公式穩(wěn)定性較好，解決隱式的方法迭代1用其他公式預(yù)報。21KYHARMMING預(yù)估校正系統(tǒng)隱式的四階HARMMING公式12115613928840KKKKKKKKHYYFFTXXOHHARMMING公式是隱式的，需要一個顯式四階線性多步法公式求的初值。21KY設(shè)0123012KKKKKYYHFF可推六階顯式只推四階，得MILINE公式01131256142KKKKHYFFXYXOH不夠穩(wěn)定HARMMING的預(yù)測校正系統(tǒng)（隱式，不迭代）表頭N1,2,31用MILINE公式預(yù)報130131242NNNNHYPYFF2改進11NNNMPC3用HARMMING公式校正2121139288NNNNHYCYMF4改進3119NNCNTPC第2、4兩步的依據(jù)如果只考慮局部截斷誤差的主項，我們有5555151412403603636224920NNNNPNCCPYXHYXHYHYHCCPTYHC實際上第2、4兩步是從近似值中減去誤差主項，當(dāng)然不能消除誤差，但可以提高近似的精確度。高階方程與一階方程組14初值問題100,NNYFXYXY引入中間函數(shù)112,N,上述等價于1012321110,NNNYXYYFXYXY一階方程組的初值問題一般地10,1,2,IINIIODFXYIN寫成向量形式