廣東工業(yè)大學(xué)數(shù)值計(jì)算試卷及答案

廣東工業(yè)大學(xué)試卷用紙，共 21 頁，第 1 頁數(shù)值計(jì)算引論學(xué) 院 機(jī)電工程學(xué)院 專 業(yè) 機(jī)械設(shè)計(jì)制造及其自動(dòng)化年級(jí)班別 2014 級(jí)（6）班 學(xué) 號(hào) 3114000271 學(xué)生姓名 劉就杰 2016年 11 月廣東工業(yè)大學(xué)試卷用紙，共 21 頁，第 2 頁一 編寫雅可比迭代法求解線性方程組的程序，要求附有算例（20 分）。（可能的算例包括基本的驗(yàn)證性算例、方程系數(shù)隨機(jī)生成的一般算例、用于算法對(duì)比的比較性算例等，對(duì)各算例的結(jié)果進(jìn)行分析。）雅可比迭代法的 matlab 程序如下function x=Jacobi(A,b,x0,tol)%雅可比迭代法解線性方程組%A為 系數(shù)矩陣，b 為右端項(xiàng)， x0為初始向量，tol 為誤差精度sprintf(USAGE:Jacobi(A,b,x0,tol)D=diag(diag(A);%diag(x) 返回由向量 x 的元素構(gòu)成的對(duì)角矩陣U=triu(A,1);%triu(A)提取矩 陣 A 的上三角部分生成上三角矩陣L=tril(A,-1);%tril(A)提取矩陣 A 的下三角部分生成下三角矩陣B=-D(L+U);%B為迭代矩陣dl=Db;x=B*x0+dl;n=1;while norm(x-x0)=tolx0=x;x=B*x0+dl;n=n+1;endn %n為迭代次數(shù)高斯-賽德爾迭代法的 matlab 程序如下：function x=Guass_seidel(A,b,x0,tol)%高斯-賽德爾迭代法解線性方程組%A為 系數(shù)矩陣，b 為右端項(xiàng)， x0為初始向量，tol 為誤差精度sprintf(USAGE:Guass_seidel(A,b,x0,tol)D=diag(diag(A);%diag(x) 返回由向量 x 的元素構(gòu)成的對(duì)角矩陣U=triu(A,1);%triu(A)提取矩 陣 A 的上三角部分生成上三角矩陣L=tril(A,-1);%tril(A)提取矩陣 A 的下三角部分生成下三角矩陣G=-(D+L)U;%G為迭代矩陣dl=(D+L)b;x=G*x0+dl;n=1;while norm(x-x0)=tolx0=x;x=G*x0+dl;廣東工業(yè)大學(xué)試卷用紙，共 21 頁，第 3 頁n=n+1;endn %n為迭代次數(shù)調(diào)用編好的程序求解方程組： 12341234 5018xxA=5 -1 -1 -1 ;-1 10 -1 -1;-1 -1 5 -1;-1 -1 -1 10;b=-4;12;8;34;x0=0;0;0;0;tol=1e-6;x=Jacobi(A,b,x0,tol)x=Guass_seidel(A,b,x0,tol) 實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下：ans =USAGE:Jacobi(A,b,x0,tol)n =20x =1.00002.00003.00004.0000ans =USAGE:Guass_seidel(A,b,x0,t)n =12x =1.00002.00003.00004.0000 取相同的初始值 達(dá)到同樣的精度 10-6，雅可比迭代需要迭代 20次，而高斯-賽德爾(0),x迭代法只需 12次。實(shí)驗(yàn)總結(jié)：通過這次實(shí)驗(yàn)，對(duì)雅可比迭代法以及高斯-賽德 爾迭代法求解線性方程組的基本原理有了進(jìn)一步的理解，同時(shí)了解了雅可比和高斯-賽德爾迭代法的優(yōu)點(diǎn)，即雅可比和高斯- 賽德爾在求解線性方程組的過程中具有更快的收斂速度，而高斯-賽德爾 比雅可比的收斂速度更快（即取相同的廣東工業(yè)大學(xué)試卷用紙，共 21 頁，第 4 頁初始值，達(dá)到同樣精度所需的迭代次數(shù)較少）。二 編寫分段二次拉格朗日插值的程序，要求附有算例（20 分）。（對(duì) 在節(jié)點(diǎn) 0，0.2，0.4，0.6，0.8，1.0 上進(jìn)行插值，求 x=0.7 處的值，繪出被插值函數(shù)與插值函數(shù)的圖形，予以對(duì)比。）建立如下拉格朗日插值函數(shù)：function y=lagrange(x0,y0,x);n=length(x0);m=length(x);for i=1:mz=x(i);s=0.0;for k=1:np=1.0;for j=1:nif j=kp=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j);endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;end在 matlab 中用拉格朗日插 值求 0.7 處的值 exp(0.7)ans =2.013752707470477 lagrange(x,y,0.7)ans =2.013751960394443廣東工業(yè)大學(xué)試卷用紙，共 21 頁，第 5 頁繪出被插值函數(shù)與插值函數(shù)的圖形x=0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0;y=exp(x);x0=-5:0.001:5;y0=lagrange(x,y,x0);y1=exp(x0);plot(x0,y0,r)hold onplot(x0,y1,g)廣東工業(yè)大學(xué)試卷用紙，共 21 頁，第 6 頁紅線為插值函數(shù)，綠線是被插值函數(shù)，由圖像可以知道，在區(qū)間（-2，2）是較好擬合的，當(dāng)超出這個(gè)范圍后就會(huì)偏差越來越大。三 編寫復(fù)化辛普森積分的程序，要求附有算例（20 分）。（對(duì)定積分 ,計(jì)算精度達(dá)到 ）廣東工業(yè)大學(xué)試卷用紙，共 21 頁，第 7 頁復(fù)化辛普森積分的程序function S=bianfuhuasimpson(fx,a,b,eps,M)% 變步長復(fù)合 simpson 求積公式% fx - 求積函數(shù)（函數(shù)文件）% a, b - 求積區(qū)間% eps - 計(jì)算精度% M-最大允許輸出劃分?jǐn)?shù)n=1;h=(b-a)/n;T1=h*(feval(fx,a)-feval(fx,b)/2;Hn=h*feval(fx,(a+b)/2);S1=(T1+2*Hn)/3;n=2*n; % 最好與倒數(shù)第三行保持一致（變步長）while n=MT2=(T1+Hn)/2;Hn=0;h=(b-a)/n;for j=1:nx(j)=a+(j-1/2)*h;y(j)=feval(fx,x(j);Hn=Hn+y(j);endHn=h*Hn;S2=(T2+2*Hn)/3;fprintf( n=%2d S2=%-12.9f S2-S1=%-12.9fn,n,S2,abs(S2-S1);if abs(S2-S1)epsbreak;else T1=T2;S1=S2;n=2*n;endendS=S2;程序執(zhí)行情況廣東工業(yè)大學(xué)試卷用紙，共 21 頁，第 8 頁對(duì)定積分 ,計(jì)算精度達(dá)到廣東工業(yè)大學(xué)試卷用紙，共 21 頁，第 9 頁四 編寫歐拉法、隱式歐拉法求常微分方程初值問題的程序，要求附有算例（20 分）。（對(duì)初值問題 采用不同步長（h=0.1, 0.01, 0.001,0.0001),運(yùn)行兩種算法的程序，并將結(jié)果繪制成圖形，進(jìn)行比較、分析。若要解的精度達(dá)到 ，應(yīng)采取什么措施？）程序：%Euler 法F=x2+x-y;a=0;b=0.5;h=0.1;n=(b-a)/h;X=a:h:b;Y=zeros(1,n+1);Y(1)=0;for i=2:n+1x=X(i-1);y=Y(i-1);Y(i)=Y(i-1)+eval(F)*h;end%隱式 Euler 法 廣東工業(yè)大學(xué)試卷用紙，共 21 頁，第 10 頁Y1=zeros(1,n+1);Y1(1)=0;for i=2:n+1x=X(i);y=Y1(i-1);Y1(i)=(y+x*h2+h*x)/(h+1);end%準(zhǔn)確解temp=;f=dsolve(Dy=x2+x-y,y(0)=0,x);df=zeros(1,n+1);for i=1:n+1temp=subs(f,x,X(i);df(i)=double(vpa(temp);enddisp( 步長 Eul