定積分的概念和基本性質(zhì).ppt

6.1 定積分的概念 第1頁 1 4.3.1 定積分的定義 4.3.2 定積分的基本性質(zhì) 6.1 定積分的概念 第2頁 2 例: 求曲線 yx2、直線 x1和 x軸所圍成的曲邊三角形的面積 。 x y O yx2 1 4.3.1 引出定積分定義的例題 6.1 定積分的概念 第3頁 3 x y O yx2 1 (4)取極限 取Sn的極限，得曲邊三角形面積： (1)分割 (2)近似 (3)求和 6.1 定積分的概念 第4頁 4 x y O yx2 1 (4)取極限 取Sn的極限，得曲邊三角形面積： (1)分割 (2)近似 (3)求和 6.1 定積分的概念 第5頁 5 x y O yx2 1 (4)取極限 取Sn的極限，得曲邊三角形面積： (1)分割 (2)近似 (3)求和 6.1 定積分的概念 第6頁 6 分 割 求 和 近 似 取極限 把整體的問題問題 分成局部的問題問題 在局部上“以直代曲”, 求出局 部的近似值值； 得到整體的一個近似值值； 得到整體量的精確值值； 例: 求曲線 yx2、直線 x1和 x軸所圍成的曲邊三角形的面積 。 6.1 定積分的概念 第7頁 7 一般地，求由連續(xù)曲線yf(x)(f(x)0)，直線xa、 xb及x軸所圍成的曲邊梯形的面積的方法是： yf(x) b x y O axi-1xi=x0xn=xi 6.1 定積分的概念 第8頁 8 例2設物體沿直線作變速運動，速度為 v v (t), 假定v (t)是 t 的連 續(xù)函數(shù)，求此物體在時間區(qū)間 a, b 內(nèi)運動所走距離 s 。 tOtnt0t1ti1 titn1 ab i 引出定義的實例二：求物體作變速直線運動所經(jīng)過的路程 解： (2) 在第 i ( i1, 2, , n) 個時間段 ti1, ti上任取一時刻 i ，用v(i)Dti近似替代物體在第i個時間段所走距離: Dsiv(i)Dti 。 (1) 用分點 tti (ti10, f(x)0, 利用定積分幾 何意義驗證 ： 6.1 定積分的概念 第20頁 20 性質(zhì)質(zhì)1： 4.3.2 定積分的基本性質(zhì) 有限個可積函數(shù)代數(shù)和的積分等于各函數(shù)積分的代數(shù)和 ，即若fi(x) (i = 1, 2, , n)在a, b內(nèi)可積，則有 6.1 定積分的概念 第21頁 21 性質(zhì)質(zhì)2： 4.3.2 定積分的基本性質(zhì) 一個可積函數(shù)乘以一個常數(shù)之后，仍可為可積函數(shù)，且 常數(shù)引資可以提到積分符號外面，即若 f(x)在a, b上可 積，則 cf(x)在a, b上也可積（c為常數(shù)），且滿足 6.1 定積分的概念 第22頁 22 性質(zhì)質(zhì)3：積積分的可加性定理 4.3.2 定積分的基本性質(zhì) 設f(x)在a, b內(nèi)可積，若acb, 則f(x)在a, c和c, b上可 積；反之，若f(x)在a, c和c, b上可積，則f(x)在a, b內(nèi) 可積，且有 6.1 定積分的概念 第23頁 23 性質(zhì)質(zhì)4：積積分的可加性定理 4.3.2 定積分的基本性質(zhì) 交換積分上下限，積分值變號，即 特別地，若a=b，則 6.1 定積分的概念 第24頁 24 性質(zhì)質(zhì)5： 4.3.2 定積分的基本性質(zhì) 設f(x)和g(x)在a, b上皆可積，且滿足條件f(x) g(x)，則 有 6.1 定積分的概念 第25頁 25 性質(zhì)質(zhì)6： 4.3.2 定積分的基本性質(zhì) 6.1 定積分的概念 第26頁 26 性質(zhì)質(zhì)7： 4.3.2 定積分的基本性質(zhì) 若函數(shù)f(x)在a, b上可積，且最大值與最小值分別為M和 m，則 推論：若函數(shù)f(x)在a, b上可積，則 6.1 定積分的概念 第27頁 27 性質(zhì)質(zhì)8：定積積分中值值定理 4.3.2 定積分的基本性質(zhì) 設f(x) 在區(qū)間a, b上連續(xù)，則在a, b內(nèi)至少有一點 (a b