2018_2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明2.1.1合情推理同步學(xué)案新人教A版選修.docx

2.1.1合情推理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理.2.了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用知識點一歸納推理思考(1)銅、鐵、鋁、金、銀等金屬都能導(dǎo)電，猜想：一切金屬都能導(dǎo)電(2)統(tǒng)計學(xué)中，從總體中抽取樣本，然后用樣本估計總體以上屬于什么推理？答案屬于歸納推理符合歸納推理的定義特征，即由部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理梳理(1)定義：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理(2)特征：由部分到整體，由個別到一般知識點二類比推理思考科學(xué)家對火星進行研究，發(fā)現(xiàn)火星與地球有許多類似的特征：(1)火星也是繞太陽公轉(zhuǎn)、繞軸自轉(zhuǎn)的行星；(2)有大氣層，在一年中也有季節(jié)更替；(3)火星上大部分時間的溫度適合地球上某些已知生物的生存等由此，科學(xué)家猜想：火星上也可能有生命存在他們使用了什么樣的推理？答案類比推理梳理(1)定義：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理(簡稱類比)(2)特征：由特殊到特殊的推理知識點三合情推理思考1歸納推理與類比推理有何區(qū)別與聯(lián)系？答案區(qū)別：歸納推理是由特殊到一般的推理；而類比推理是由特殊到特殊的推理聯(lián)系：在前提為真時，歸納推理與類比推理的結(jié)論都可真可假思考2歸納推理和類比推理的結(jié)論一定正確嗎？答案歸納推理的結(jié)論超出了前提所界定的范圍，其前提和結(jié)論之間的聯(lián)系不是必然性的，結(jié)論不一定正確類比推理是從人們已經(jīng)掌握了的事物的特征，推測正在被研究中的事物的特征，所以類比推理的結(jié)果具有猜測性，不一定正確梳理(1)定義：歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理簡言之，合情推理就是“合乎情理”的推理(2)推理的過程1類比推理得到的結(jié)論可作為定理應(yīng)用()2由個別到一般的推理為歸納推理()3在類比時，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適()類型一歸納推理及應(yīng)用命題角度1圖形中的歸納推理例1(1)定義A*B，B*C，C*D，D*A的運算分別對應(yīng)圖中的，那么圖中的所對應(yīng)的運算結(jié)果是()AB*D，A*DBB*D，A*CCB*C，A*DDC*D，A*D(2)n個連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律排列(如圖所示)根據(jù)規(guī)律，從2016到2018，箭頭的方向依次是()ABCD考點歸納推理題點歸納推理在圖形中的應(yīng)用答案(1)B(2)A解析(1)由圖中得，A表示“|”，B表示“”，C表示“”，D表示“”，故圖中所對應(yīng)的運算結(jié)果分別為B*D和A*C.(2)觀察數(shù)字排列的規(guī)律知，位置相同的數(shù)字是以4為公差的等差數(shù)列，故可知從2016到2018的箭頭的方向依次為.反思與感悟?qū)τ趫D形中的歸納推理，找準(zhǔn)規(guī)律特征是解題的關(guān)鍵跟蹤訓(xùn)練1(1)設(shè)n棱柱有f(n)個對角面，則(n1)棱柱的對角面的個數(shù)f(n1)等于()Af(n)n1Bf(n)nCf(n)n1Df(n)n2(2)觀察由火柴棒拼成的一系列圖形(如圖所示)，第n個圖形是由n個正方形組成通過觀察可以發(fā)現(xiàn)：在第4個圖形中，火柴棒有_根；第n個圖形中，火柴棒有_根考點歸納推理題點歸納推理在圖形中的應(yīng)用答案(1)C(2)133n1解析(1)對于n棱柱，由于過每一條側(cè)棱與它不相鄰的一條側(cè)棱都能確定一個對角面，所以過每一條側(cè)棱可確定(n3)個對角面，所以過n條側(cè)棱可確定n(n3)個對角面，又因為這些對角面相互之間重復(fù)計算了，所以過n條側(cè)棱共可確定個對角面，所以可得f(n1)f(n)n1，故f(n1)f(n)n1.(2)第1個圖形有4根火柴棒，第2個圖形有7根火柴棒，第3個圖形有10根火柴棒，第4個圖形有13根火柴棒，猜想第n個圖形有(3n1)根火柴棒命題角度2數(shù)列中的歸納推理例2已知數(shù)列an的通項公式為an(nN*)，記f(n)(1a1)(1a2)(1an)，試計算f(1)，f(2)，f(3)的值，并推測出f(n)的表達式考點歸納推理題點歸納推理在數(shù)列中的應(yīng)用解因為a1，a2，a3，所以f(1)1a1，f(2)(1a1)(1a2)，f(3)(1a1)(1a2)(1a3)，推測f(n)(nN*)反思與感悟數(shù)列中的歸納問題要充分利用等差、等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式，這是檢驗歸納猜想是否正確的根據(jù)跟蹤訓(xùn)練2若在數(shù)列an中，a10，an12an2(nN*)，則猜想an等于()A2n2B2n2C2n11D2n14考點歸納推理題點歸納推理在數(shù)列中的應(yīng)用答案B解析a10212，a22a122222，a32a22426232，a42a3212214242，猜想an2n2(nN*)類型二類比推理及應(yīng)用命題角度1平面幾何性質(zhì)類比立體幾何性質(zhì)例3三角形的面積S(abc)r，a，b，c為三角形的邊長，r為三角形內(nèi)切圓的半徑，利用類比推理可以得出四面體的體積為()AVabcBVShCV(S1S2S3S4)r(S1，S2，S3，S4為四個面的面積，r為四面體內(nèi)切球的半徑)DV(abbcac)h(h為四面體的高)考點類比推理題點平面幾何與立體幾何之間的類比答案C解析設(shè)ABC的內(nèi)心為O，連接OA，OB，OC，將ABC分割為三個小三角形，這三個小三角形的高都是r，底邊長分別為a，b，c.類比：設(shè)四面體ABCD的內(nèi)切球的球心為O，半徑為r，連接OA，OB，OC，OD，將四面體分割為四個以O(shè)為頂點，以原來面為底面的四面體，高都為r，所以V(S1S2S3S4)r.反思與感悟平面問題類比空間問題時，注意性質(zhì)的相同性和相似性，注意等面積類比等體積，線線距離類比線面距離或者面面距離跟蹤訓(xùn)練3類比平面上的命題“如果ABC的三條邊BC，CA，AB上的高分別為ha，hb，hc，ABC內(nèi)任意一點P到三條邊BC，CA，AB的距離分別為Pa，Pb，Pc，那么1”寫出空間中的命題考點類比推理題點平面幾何與立體幾何之間的類比解從四面體的四個頂點A，B，C，D分別向所對的面作垂線，垂線段長分別為ha，hb，hc，hd，P為四面體內(nèi)任意一點，從點P向A，B，C，D四個頂點所對的面作垂線，垂線段長分別為Pa，Pb，Pc，Pd，那么1.命題角度2等差數(shù)列的性質(zhì)類比等比數(shù)列的性質(zhì)例4若數(shù)列an(nN*)是等差數(shù)列，則由bn(nN*)構(gòu)造的新數(shù)列bn也是等差數(shù)列類比上述性質(zhì)可得，若數(shù)列cn(nN*)是等比數(shù)列，且cn0，則由dn_(nN*)構(gòu)造的新數(shù)列dn也是等比數(shù)列考點類比推理題點等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的類比答案解析由等差、等比數(shù)列的性質(zhì)易知，等差數(shù)列、等比數(shù)列在運算上具有相似性等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比是和與積、倍與乘方、商與開方的類比由此猜想dn(nN*)反思與感悟等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn類比時，等差數(shù)列的公差對應(yīng)等比數(shù)列的公比，等差數(shù)列的加、減法運算對應(yīng)等比數(shù)列的乘、除法運算，等差數(shù)列的乘、除法運算對應(yīng)等比數(shù)列的乘方、開方運算跟蹤訓(xùn)練4設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，則S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差數(shù)列類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列bn的前n項積為Tn，則T4，_，_，成等比數(shù)列考點類比推理題點等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的類比答案解析等差數(shù)列類比等比數(shù)列時，和類比積，減法類比除法故類比結(jié)論得設(shè)等比數(shù)列bn的前n項積為Tn，則T4，成等比數(shù)列.1數(shù)列2,5,11,20，x,47，中的x的值為()A28B32C33D27考點歸納推理題點歸納推理在數(shù)列中的應(yīng)用答案B解析因為5231,115632,2011933，所以猜測x2034,47x35，推知x32.故選B.2若f(n)n2n21，nN*，則下列說法正確的是_f(n)可以為偶數(shù)；f(n)一定為奇數(shù)；f(n)可能為質(zhì)數(shù)；f(n)一定為合數(shù)考點合情推理的應(yīng)用題點合情推理在函數(shù)中的應(yīng)用答案解析f(1)1212123，f(2)2222127，f(n)n(n1)21，所以f(n)有質(zhì)數(shù)，也有合數(shù)，一定不是偶數(shù)，所以f(n)一定是奇數(shù)3我們把1,4,9,16,25，這些數(shù)稱為正方形數(shù)，用圖形表示如圖所示，則第n個正方形中的點數(shù)是_考點歸納推理題點歸納推理在圖形中的應(yīng)用答案n2解析由題意知，第n個正方形中的點數(shù)為n2.4由“等腰三角形的兩底角相等，兩腰相等”可以類比推出正三棱錐的類似屬性是_.考點類比推理題點平面幾何與立體幾何之間的類比答案各側(cè)面與底面所成的二面角相等，各側(cè)面都是全等的三角形或各側(cè)棱相等解析等腰三角形的底與腰可分別與正三棱錐的底面與側(cè)面類比5在RtABC中，若C90，ACb，BCa，則ABC外接圓半徑r.運用類比方法可知，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直且長度分別為a，b，c，則其外接球的半徑R_.考點類比推理題點平面幾何與立體幾何之間的類比答案解析通過類比可得R.證明過程為：作一個在同一個頂點處棱長分別為a，b，c的長方體，則這個長方體的體對角線的長是，故這個長方體的外接球的半徑是，這也是所求的三棱錐的外接球的半徑1合情推理主要包括歸納推理和類比推理在數(shù)學(xué)研究中，在得到一個新結(jié)論前，合情推理能幫助猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，在證明一個數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為證明提供思路與方向2合情推理的過程概括為一、選擇題1下列使用類比推理得出的結(jié)論正確的是()A若“a3b3，則ab”類比出“若a0b0，則ab”B“若(ab)cacbc”類比出“(ab)cacbc”C“若(ab)cacbc”類比出“(c0)”D“(ab)nanbn”類比出“(ab)nanbn”考點類比推理題點類比推理的方法、形式和結(jié)論答案C解析顯然A，B，D不正確，只有C正確2根據(jù)給出的數(shù)塔猜測12345697等于()192111293111123941111123495111111234596111111A1111110B1111111C1111112D1111113考點歸納推理題點歸納推理在數(shù)陣中的應(yīng)用答案B解析由數(shù)塔猜測應(yīng)是各位都是1的七位數(shù)，即1111111.3觀察(x2)2x，(x4)4x3，(cosx)sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(x)等于()Af(x) Bf(x)Cg(x) Dg(x)考點合情推理的應(yīng)用題點合情推理在函數(shù)中的應(yīng)用答案D解析由所給函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)知，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)因此當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時，其導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù)，故g(x)g(x)4下列平面圖形中與空間的平行六面體作為類比對象較合適的是()A三角形B梯形C平行四邊形D矩形考點類比推理題點平面幾何與立體幾何之間的類比答案C解析因為平行六面體相對的兩個面互相平行，類比平面圖形，則相對的兩條邊互相平行，故選C.5已知扇形的弧長為l，半徑為r，類比三角形的面積公式S(底高)可推測扇形的面積S等于()AlrB.lrC.lrD.考點類比推理題點類比推理的方法、形式和結(jié)論答案B解析扇形的弧長相當(dāng)于三角形的底邊長，扇形的半徑相當(dāng)于三角形的底邊上的高，故類比三角形的面積公式可推得扇形的面積Slr.6已知bn為等比數(shù)列，b52，則b1b2b3b4b5b6b7b8b929.若an為等差數(shù)列，a52，則an的類似結(jié)論為()Aa1a2a3a929Ba1a2a3a929Ca1a2a3a929Da1a2a3a929考點類比推理題點等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的類比答案D7以下數(shù)表的構(gòu)造思路源于我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的詳解九章算術(shù)一書中的“楊輝三角形”12345201320142015201635794027402940318121680568060202816116該表由若干行數(shù)字組成，從第二行起，每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和，表中最后一行僅有一個數(shù)，則這個數(shù)為()A201722015B201722014C201622015D201622014考點歸納推理題點歸納推理在數(shù)陣中的應(yīng)用答案B解析由題意知，數(shù)表的每一行都是等差數(shù)列，且第1行公差為1，第2行公差為2，第3行公差為4，第2015行公差為22014，故第1行的第一個數(shù)為：221，第2行的第一個數(shù)為：320，第3行的第一個數(shù)為：421，第n行的第一個數(shù)為：(n1)2n2，第2016行只有M，則M(12016)22014201722014，故選B.8已知x0，由不等式x22，x33，可以得出推廣結(jié)論xn1(nN*)，則a等于()A2nBn2C3nDnn考點歸納推理題點歸納推理在數(shù)式中的應(yīng)用答案D解析再續(xù)寫一個不等式：x44.由此可推得ann.9已知，若ab0且m0，則與之間的大小關(guān)系為()A相等B前者大C后者大D不確定考點合情推理的應(yīng)用題點合情推理在不等式中的應(yīng)用答案B解析觀察題中不等式的特征，由歸納推理易得B正確二、填空題10設(shè)n為正整數(shù)，f(n)1，計算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，觀察上述結(jié)果，可推測一般結(jié)論為_考點合情推理的應(yīng)用題點合情推理在函數(shù)中的應(yīng)用答案f(2n)解析由前四個式子可得，第n個不等式的左邊應(yīng)當(dāng)為f(2n)，右邊應(yīng)當(dāng)為，即可得一般性結(jié)論為f(2n).11圓(xa)2(yb)2r2(r0)在點P(x0，y0)處切線的方程為(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2，由此類比，橢圓1(ab0)在點P(x0，y0)處切線的方程為_考點類比推理題點平面曲線之間的類比答案1解析類比過圓上一點的切線方程，可合情推理：橢圓1(ab0)在點P(x0，y0)處的切線方程為1.三、解答題12設(shè)a0，且a1，f(x).(1)求f(0)f(1)，f(1)f(2)；(2)由(1)的結(jié)果歸納概括對所有實數(shù)x都成立的一個等式，并加以證明考點合情推理的應(yīng)用題點合情推理在函數(shù)中的應(yīng)用解(1)f(0)f(1)，f(1)f(2).(2)由(1)歸納得對一切實數(shù)x，有f(x)f(1x).證明：f(x)f(1x).13已知在RtABC中，ABAC，ADBC于D，有成立那么在四面體ABCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，說明猜想是否正確，并給出理由題點類比推理題點平面幾何與立體幾何之間的類比解類比ABAC，ADBC，可以猜想在四面體ABCD中，AB，AC，AD兩兩垂直，AE平面BCD，則.猜想正確如圖所示，連接BE，并延長交CD于F，連接AF.ABAC，ABAD，AC，AD平面ACD，ACADA，AB平面ACD.而AF平面ACD，ABAF.在RtABF中，AEBF，.在RtACD中，AFCD，.，故猜想正確四、探究與拓展14觀察下列等式：cos22cos21；cos48cos48cos21；cos632cos648cos41