數(shù)學建模E題李欣韋金慧梁雪梅.docVIP

個人住房貸款模型數(shù)學系 李欣 韋金慧 梁雪梅 論文寫作:李欣、韋金慧 數(shù)據(jù)處理: 李欣 、梁雪梅 程序編寫：梁雪梅、韋金慧一 摘要個人住房貸款可通過分期付款的方式使買房這個天方夜譚式的夢想變成現(xiàn)實。在市場經(jīng)濟的信息時代，面對不同的經(jīng)營決策方案，正確的決策意味著經(jīng)濟資源的最優(yōu)配置。本文采用等額本息還款的方法，建立貸款額（本金）A（元）、月利率rn、貸款期限n(月)與月均還款額B（元）之間的關(guān)系模型：令Ck為第k個月末還款后的本利余額:Ck=A(1+ rn)k- i=0k=1(1+rn)iB =A(1+ rn)kB根據(jù)題意，當k=n，Cn=0,于是B=( (1+rn)nrn)/(1+rn)n-1)A. 關(guān)鍵詞：貸款額 月利率 貸款期限 月均還款額 復(fù)利二、問題的重述與分析1. 問題的重述: 今年年初由中國建設(shè)銀行北京市分行印發(fā)的個人住房貸款簡介的小冊子中介紹了有關(guān)個人住房貸款的有關(guān)問題。其中指明貸款額最高為擬購買住房費用總額的70%；貸款期限最長為20年。個人住房貸款利率如附表1所示。借款人在借款期內(nèi)每月以相等的月均還款額償還銀行貸款本金和利息。附表2列出了不同貸款期限下的月均還款額、還款總額和利息負擔總和。試給出公式說明附表2中后三列數(shù)是如何算出來的。近年來國務(wù)院批準，中國人民銀行決定從1999年9月21日起，延長個人住房貸款期限并降低利率以支持城鎮(zhèn)居民購房。各商業(yè)銀行個人住房貸款的最長期限由現(xiàn)行的20年延長到30年。每筆貸款年限由商業(yè)銀行依據(jù)借款個人的年齡、工作年限、還款能力等因素與借款人協(xié)商確定。個人住房款年利率最高水平降為5.88%。并根據(jù)貸款期限劃分為兩個檔次：5年以下（含5年）為年利率5.31，5年以上為年利率5.88%。請你根據(jù)新規(guī)定計算5年期、20年期的月均還款額、還款總額和利息負擔總和，并與原附表2中的同期貸款的負擔情況比較，住房貸款的負擔各降低了多少。附表1中國建設(shè)銀行北京分行個人住房貸款利率表 附表2中國建設(shè)銀行北京分行個人住房貸款1-20年月均還款金額表 2問題的分析 根據(jù)個人住房貸款辦法要求：貸款期限在一年以內(nèi)（含一年）的，實行到期本息一次性清償?shù)倪€款方法。1 貸款期限在一年以上的，可采用等額本息還款法和等額本金還款法（但一筆借款合同只能選擇一種還款方法，合同簽定后，不得更改）：（1）等額本息還款法，在償還初期利息支出最大，本金最少，以后利息支付逐步減少，本金逐步增加，但每月以相等的額度償還金額（本+息）。它比較適合收入低且積蓄少的年輕人，因為月供壓力小不會降低生活質(zhì)量。（2）等額本金還款法，指每月等額償還貸款本金，貸款利息隨本息逐月遞減，每月償還金額（本+息）逐漸減少?？偣矁斶€的利息比等額本息法要少。適合收入高且有一定積蓄的中年人。由于本問題中借款人在借款期內(nèi)每月以相等的月均還款額償還銀行貸款本金和利息。所以對本問題采用等額本息還款法計算住房還貸問題。三、模型假設(shè)1銀行及信貸公司在貸款期限內(nèi)利率不變；2不考慮物價變化及貨幣貶值等經(jīng)濟波動的影響；3利率轉(zhuǎn)化函數(shù)合理性及實用性已經(jīng)實踐檢驗；4銀行利息按復(fù)利計算，且單位時間可任意縮短至時間變量連續(xù)性變化；5個人能夠保證滿足每月基本生活后還能有足夠的錢來償還每月的貸款本息。6計算得到的數(shù)據(jù)與已知數(shù)據(jù)的誤差在一定范圍內(nèi)為人們所接受。四、符號說明符號含義單位備注A貸款本金元定量n貸款期限月變量rn（）月利率定量B月均還款額元定量五、模型的建立與求解1根據(jù)附表1中個人住房貸款月利率工資，附表2列出的不同貸款期限下的月均還款額、還款總額和利息負擔總和，及本問題所采用的等額本息還款法，作如下假設(shè)：設(shè)貸款額(本金)為A(元)，貸款期限為n(月)，月利率為rn,月均還款額為B，令Ck為第k個月末還款后的本利余額。則 C1=A(1+rn)B；C2 = A(1+ rn)B(1+ rn)B=A(1+ rn)2B(1+ rn)B=A(1+ rn)2(1+ rn)+1B；C3=A(1+ rn)2(1+ rn)+1B(1+ rn)B=A(1+ rn)3(1+ rn)2+(1+rn)+1B；一般地，Ck=A(1+ rn)k- i=0k=1(1+rn)iB =A(1+ rn)kB.根據(jù)題意，當k=n，Cn=0時,于是B=( (1+rn)nrn)/(1+rn)n-1)A.綜上得，附表2中后三列數(shù)是由B=( (1+rn)nrn)/(1+rn)n-1)A這個公式計算得到。2根據(jù)新規(guī)定貸款期限劃分為兩個檔次：5年以下（含5年）為年利率5.31%，5年以上為年利率5.88%。貸款期限5年時，由 n=60,r60=5.55%,A=10000元，得B=(1+0.00555)600.00555)/(1+0.00555)60-1)10000=196.41還款總額：60B=11784.60,利息負擔總額：60B-A=1784.60，得到附表2上相應(yīng)的值.降低貸款利率后,r60=5.31%12=0.004425,A=10000,則月均還款：B=(1+0.004425)600.004425)/(1+0.004425)6010000=190.14. 總還款：60B=11408.4,總利息：60B-A=1408.4,同理可得，20年，月均還款：69.24,總還款：16617.6,總利息：6617.6。計算5年期、20年期的月均還款額、還款總額和利息負擔總和，列表如下： （借款額為壹萬元） 單位：元貸款期限（年）年利率（%）還款總額利息負擔總和月均還款額55.3111408.41408.4190.14205.8817028.6 702867095與原附表2中的同期貸款的負擔相比,當貸款期限為5年時,每月少交6.27元,一共少負擔 376.2元. 當貸款期限為20年時,每月省11.69元,共省2805.6元。利率變換前后的還款總額、月均還款額的走向如下圖所示：圖1：圖2六、模型的推廣此模型可推廣到的20年以后甚至更長時間的住房貸款還貸問題的預(yù)測，依據(jù)借款個人的年齡、工作年限、還款能力等因素可使個人的經(jīng)濟計劃得到統(tǒng)籌安排, 促進城鎮(zhèn)居民購房的熱情。七、模型的評價:1優(yōu)點： 模型對個人住房貸款問題給予定量的分析,利用等額本息還款的建模方式及離散連續(xù)結(jié)構(gòu)分析,對貸款買房問題給予了決策參考。2缺點：模型的建立過于簡單，由于利率的變化、物價上漲 、貨幣貶值及個人經(jīng)濟變動問題在此模型中沒有考慮到，如果根據(jù)這些因素建立新的模型將會更加符合實際，但計算起來比較復(fù)雜。八、模型的檢驗在模型結(jié)構(gòu)的簡化中,使利率及還款額與時間成線性變化的理想狀態(tài)與銀行利率受物價水平和經(jīng)濟指數(shù)等多方面影響的現(xiàn)實之間存在誤差,但作為決策分析,其誤差在允許范圍之內(nèi);在提高經(jīng)濟資源的最優(yōu)化配置上可供參考.九、參考文獻1姜啟源.數(shù)學模型M.北京：高等教育出版社(第三版). 20032 參考網(wǎng)站：/gcwzcfb/200611/t20061101_5140.htm十、附錄附錄1：還款總額(Y)與月均還款額(B)計算程序設(shè)本金為A元，還款總額Y元，月利