二次函數(shù)背景下的不等式問題.doc

羈節(jié)莇蚅袇芁薀袀袃芀螞螃膂艿莂薆肈羋蒄螁羄芇薆薄袀莇芆螀螆莆莈薂肄蒞蒁螈羀莄蚃薁羆莃莃袆袂莂蒅蠆膁莁薇襖肇莁蝕蚇羃蒀荿袃衿肆蒂蚆螅肅薄袁膃肅莃蚄聿肄蒆罿羅肅薈螂袁肂蝕薅膀肁莀螀肆肀蒂薃羂腿薅蝿袈腿芄薂螄膈蕆螇膃膇蕿蝕聿膆蟻裊羄膅莁蚈袀膄蒃襖螆芃薆蚆肅芃芅袂羈節(jié)莇蚅袇芁薀袀袃芀螞螃膂艿莂薆肈羋蒄螁羄芇薆薄袀莇芆螀螆莆莈薂肄蒞蒁螈羀莄蚃薁羆莃莃袆袂莂蒅蠆膁莁薇襖肇莁蝕蚇羃蒀荿袃衿肆蒂蚆螅肅薄袁膃肅莃蚄聿肄蒆罿羅肅薈螂袁肂蝕薅膀肁莀螀肆肀蒂薃羂腿薅蝿袈腿芄薂螄膈蕆螇膃膇蕿蝕聿膆蟻裊羄膅莁蚈袀膄蒃襖螆芃薆蚆肅芃芅袂羈節(jié)莇蚅袇芁薀袀袃芀螞螃膂艿莂薆肈羋蒄螁羄芇薆薄袀莇芆螀螆莆莈薂肄蒞蒁螈羀莄蚃薁羆莃莃袆袂莂蒅蠆膁莁薇襖肇莁蝕蚇羃蒀荿袃衿肆蒂蚆螅肅薄袁膃肅莃蚄聿肄蒆罿羅肅薈螂袁肂蝕薅膀肁莀螀肆肀蒂薃羂腿薅蝿袈腿芄薂螄膈蕆螇膃膇蕿蝕聿膆蟻裊羄膅莁蚈袀膄蒃襖螆芃薆蚆肅芃芅袂羈節(jié)莇蚅袇芁薀袀袃芀螞螃膂艿莂薆肈羋蒄螁羄芇薆薄袀莇芆螀螆莆莈薂肄蒞蒁 二次函數(shù)背景下的不等式問題蔣 際 明(浙江省湖州中學 313000)二次函數(shù)是中學代數(shù)的基本內(nèi)容之一，它雖然形式簡單但有著豐富的內(nèi)涵.以二次函數(shù)為載體不僅可以研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最值等性質(zhì)，還可建立起函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系.縱觀近幾年來的數(shù)學高考試卷,每一年或多或少有它的“影子”,特別是以二次函數(shù)為背景的不等式的有關問題,是近年來高考的熱點,也是難點.為此,本文就這類問題解題的思想方法作一些探討.一.利用待定系數(shù)法二次函數(shù)的一般式中有三個參數(shù). 解題時常常要通過某些條件“確定”這三個參數(shù),以達到解題的目的. 例1 設，若，, 試證明：對于任意，有.分析：本題中，所給條件顯然不能確定參數(shù),c的值，但應該注意到：所要求的結論不是的確定值，而是與條件相對應的“取值范圍”，因此可以用來表示.解： , , . 變式訓練1: 已知，滿足1且，求的取值范圍.(答案: )二. 利用函數(shù)與方程根的關系合理選擇二次函數(shù)的解析式,如二次函數(shù)的零點式,可直接顯示出二次函數(shù)與方程根的關系.例2設二次函數(shù)，方程的兩個根滿足. 當時，證明:.分析：在已知方程兩根的情況下，根據(jù)函數(shù)與方程根的關系，可以寫出函數(shù)的表達式，從而得到函數(shù)的表達式. 證明：由題意可知., , 當時，.又, ,綜上可知，所給問題獲證. 評注:本題以二次函數(shù)為本源,聯(lián)系一元二次方程的根,進行不等式的論證.處理本題時,一個誤區(qū)是將方程化為去研究,導致無從下手.變式訓練2.已知二次函數(shù),若方程的所有根都在內(nèi),求證:三. 利用數(shù)形結合的思想(1) 二次函數(shù)的圖像為拋物線，具有許多優(yōu)美的性質(zhì)，如對稱性、單調(diào)性、凹凸性等. 結合這些圖像特征解決有關二次函數(shù)的問題，可以化難為易，形象直觀.例3 設二次函數(shù)，方程的兩個根滿足. 且函數(shù)的圖像關于直線對稱，證明：.分析:由函數(shù)對稱軸的位置可得又由的對稱軸與的對稱軸之間的關系即可得到的取值范圍.解：由題意 .它的對稱軸方程為由方程的兩個根滿足, 可得且, ，即 ， 而故 .變式訓練3:已知函數(shù)上的最大值為2,最小值為求證:.(提示:用反證法,并研究函數(shù)對稱軸位置)(2)二次函數(shù)的圖像具有連續(xù)性，且由于二次方程至多有兩個實數(shù)根,所以有以下結論:存在實數(shù)使得,且在區(qū)間上必存在的唯一的實數(shù)根.存在實數(shù)使得, 同號且與異號在區(qū)間上必存在的兩個實數(shù)根.例4 已知二次函數(shù)，設方程的兩個實數(shù)根為和. （1）如果，設函數(shù)的對稱軸為，求證：；（2）如果，求的取值范圍.分析：條件實際上給出了的兩個實數(shù)根所在的區(qū)間，因此可以考慮利用上述圖像特征去等價轉化. 解：設，則的二根為和.（1） 由及，可得 ，即 ，即 兩式相加得，所以，;（2）由, 可得 .又，所以同號. ，等價于或,即 或解之得 或.變式訓練4:(2006浙江卷理16)設,，,求證：() a0且21；()方程在（0，1）內(nèi)有兩個實根.證明：（I）因為，所以.由條件，消去，得；由條件，消去，得，.故.（II）拋物線的頂點坐標為，在的兩邊乘以，得.又因為而所以方程在區(qū)間與內(nèi)分別有一實根。故方程在內(nèi)有兩個實根. 膁蒃螇肆羃荿螆螅艿芅螅袈肂薃螄羀芇葿螃肂肀蒞袂螂芅芁葿襖肈膇蒈肆芄薆蕆螆膇蒂蒆袈莂莈蒅羈膅芄蒅肅羈薃蒄螃膃葿薃裊羆蒞薂羇膁芁薁蚇羄芇薀衿芀薅蕿羂肂蒁蕿肄羋莇薈螄肁芃薇袆芆腿蚆羈聿蒈蚅蚈芅莄蚄螀肇莀蚄羂莃芆蚃肅膆薄螞螄羈蒀蟻袇膄莆蝕罿羇節(jié)蝿蠆膂膈螈螁羅蕆螈袃膁蒃螇肆羃荿螆螅艿芅螅袈肂薃螄羀芇葿螃肂肀蒞袂螂芅芁葿襖肈膇蒈肆芄薆蕆螆膇蒂蒆袈莂莈蒅羈膅芄蒅肅羈薃蒄螃膃葿薃裊羆蒞薂羇膁芁薁蚇羄芇薀衿芀薅蕿羂肂蒁蕿肄羋莇薈螄肁芃薇袆芆腿蚆羈聿蒈蚅蚈芅莄蚄螀肇莀蚄羂莃芆蚃肅膆薄螞螄羈蒀蟻袇膄莆蝕罿羇節(jié)蝿蠆膂膈螈螁羅蕆螈袃膁蒃螇肆羃荿螆螅艿芅螅袈肂薃螄羀芇葿螃肂肀蒞袂螂芅芁葿襖肈膇蒈肆芄薆蕆螆膇蒂蒆袈莂莈蒅羈膅芄蒅肅羈薃蒄螃膃葿薃裊羆蒞