工學]專題講座——小波變換.ppt

專題講座小波變換,主要內容,引言 時頻展開 使用Matlab 若干應用場景,引言,傅里葉變換應用非常廣泛的原因可能是: 直觀性 數(shù)學上的完美性 計算上的有效性 仍有局限性：在整個時間軸上積分,表示了信號的全局特征(變換后,時間是亞元) 如果需要分析信號的局部信號怎么辦? 樂譜 油田勘探 ,時頻展開,希望定義一種工具能幫助計算信號x(t)的瞬時傅里葉變換，記為X(,F) 如何定義一組能夠表現(xiàn)出信號瞬時性的基函數(shù)，該基函數(shù)必須包括兩個基本變量時間和頻率F,時頻展開主要內容,短時傅里葉變換STFT Gabor變換GT 連續(xù)小波變換CWT 小波變換WT,短時傅里葉變換STFT,確定信號局部頻率特性的比較簡單的方法是在時刻附近對信號加窗，然后計算傅里葉變換。 X(,F)=STFTx(t)=FTx(t)w(t- ) 其中，w(t-)是一個以時刻為中心的窗函數(shù)，注意信號x(t)中的時間t和X(,F)中的。,窗函數(shù)w根據進行了時移，擴展傅里葉變換表達式,短時傅里葉變換操作示意,問題,實際運用中處理的問題與上述描述恰好相反：給定一個信號，希望能夠在時域和頻域上定位信號發(fā)生的事件，因此時間和頻率F都是不確定的，即按上述的分析不可行（結果不確定或有誤差） 分析中，分辨率的損失是由于窗函數(shù)w(t)的時域寬度及傅里葉變換的頻率帶寬所決定的； 信號不能同時在時域和頻域準確定位,測不準定理,Gabor變換引言,STFT將一個連續(xù)時間變量t的信號x(t)變換為有兩個連續(xù)時間變量的X(,F) 意味著STFT包含了很多的冗余信息 將頻率F離散化，F(xiàn)=Kf0 將時間離散化，在=mT0采樣,Gabor變換,通過Gabor變換，信號x(t)被展開為：,Gabor變換公式：,小波變換是強有力的時頻分析(處理)工具，是在克服傅立葉變換缺點的基礎上發(fā)展而來的。已成功應用于很多領域，如信號處理、圖像處理、模式識別等。 小波變換的一個重要性質是它在時域和頻域均具有很好的局部化特征，它能夠提供目標信號各個頻率子段的頻率信息。這種信息對于信號分類是非常有用的。 小波變換一個信號為一個小波級數(shù)，這樣一個信號可由小波系數(shù)來刻畫。,小波變換,數(shù)學顯微鏡,部分小波波形,小波基函數(shù),將信號在這個函數(shù)系上分解，就得到連續(xù)小波變換,小波分析,小波變換通過平移母小波(mother wavelet)可獲得信號的時間信息，而通過縮放小波的寬度(或者叫做尺度)可獲得信號的頻率特性。對母小波的縮放和平移操作是為了計算小波的系數(shù)，這些系數(shù)代表小波和局部信號之間的相互關系。 連續(xù)小波變換 離散小波變換,連續(xù)小波變換,where: a 縮放因子 時間平移 注意：在CWT中，scale和position是連續(xù)變化的,CWT的變換過程,把小波(t)和原始信號f(t)的開始部分進行比較 計算系數(shù)c 。該系數(shù)表示該部分信號與小波的近似程度。系數(shù) c 的值越高表示信號與小波越相似，因此系數(shù)c 可以反映這種波形的相關程度 把小波向右移，距離為k，得到的小波函數(shù)為(t-k)，然后重復步驟1和2。再把小波向右移，得到小波(t-2k)，重復步驟1和2。按上述步驟一直進行下去，直到信號f(t)結束 擴展小波(t)，例如擴展一倍，得到的小波函數(shù)為(t/2) 重復步驟14,CWT的變換過程圖示,CWT小結,小波的縮放因子與信號頻率之間的關系可以這樣來理解。縮放因子小，表示小波比較窄，度量的是信號細節(jié)，表示頻率w 比較高；相反，縮放因子大，表示小波比較寬，度量的是信號的粗糙程度，表示頻率w 比較低。,離散小波變換,在計算連續(xù)小波變換時，實際上也是用離散的數(shù)據進行計算的，只是所用的縮放因子和平移參數(shù)比較小而已。不難想象，連續(xù)小波變換的計算量是驚人的。 為了解決計算量的問題，縮放因子和平移參數(shù)都選擇2 j( j0的整數(shù))的倍數(shù)。 使用這樣的縮放因子和平移參數(shù)的小波變換叫做雙尺度小波變換(dyadic wavelet transform)，它是離散小波變換(discrete wavelet transform，DWT)的一種形式。,離散小波變換定義,需要強調指出的是，這一離散化都是針對連續(xù)的尺度參數(shù)和連續(xù)平移參數(shù)的，而不是針對時間變量t的。,使用離散小波分析得到的小波系數(shù)、縮放因子和時間關系如圖所示。 圖(a)是20世紀40年代使用Gabor開發(fā)的短時傅立葉變換(short time Fourier transform，STFT)得到的時間-頻率關系圖 圖(b)是20世紀80年代使用Morlet開發(fā)的小波變換得到的時間-縮放因子(反映頻率)關系圖。,離散小波變換分析圖,DWT變換方法,執(zhí)行離散小波變換的有效方法是使用濾波器 該方法是Mallat在1988年開發(fā)的，叫做Mallat算法 這種方法實際上是一種信號的分解方法，在數(shù)字信號處理中稱為雙通道子帶編碼 用濾波器執(zhí)行離散小波變換的概念如圖所示 S表示原始的輸入信號，通過兩個互補的濾波器產生A和D兩個信號 A表示信號的近似值(approximations) D表示信號的細節(jié)值(detail),在許多應用中，信號的低頻部分是最重要的，而高頻部分起一個“添加劑”的作用。 比如聲音，把高頻分量去掉之后，聽起來聲音確實是變了，但還能夠聽清楚說的是什么內容。相反，如果把低頻部分去掉，聽起來就莫名其妙。 在小波分析中，近似值是大的縮放因子產生的系數(shù)，表示信號的低頻分量。而細節(jié)值是小的縮放因子產生的系數(shù)，表示信號的高頻分量。,雙通道濾波過程,離散小波變換可以被表示成由低通濾波器和高通濾波器組成的一棵樹 原始信號通過這樣的一對濾波器進行的分解叫做一級分解 信號的分解過程可以疊代，也就是說可進行多級分解。 如果對信號的高頻分量不再分解，而對低頻分量連續(xù)進行分解，就得到許多分辨率較低的低頻分量，形成如圖所示的一棵比較大的樹。這種樹叫做小波分解樹(wavelet decomposition tree) 分解級數(shù)的多少取決于要被分析的數(shù)據和用戶的需要,小波分解樹,小波包分解樹,小波分解樹表示只對信號的低頻分量進行連續(xù)分解。如果不僅對信號的低頻分量連續(xù)進行分解，而且對高頻分量也進行連續(xù)分解，這樣不僅可得到許多分辨率較低的低頻分量，而且也可得到許多分辨率較低的高頻分量。這樣分解得到的樹叫做小波包分解樹(wavelet packet decomposition tree)，這種樹是一個完整的二進制樹。,二維離散小波變換,標準分解流程示意,非標準分解是指使用一維小波交替地對每一行和每一列像素值進行變換。首先對圖像的每一行計算像素對的均值和差值，然后對每一列計算像素對的均值和差值。這樣得到的變換結果只有1/4的像素包含均值，再對這1/4的均值重復計算行和列的均值和差值，依此類推。非標準分解的過程如下:,非標準分解,非標準分解流程示意,使用Matlab,dwt函數(shù) idwt函數(shù) wcodemat函數(shù) dwt2函數(shù) wavedec2函數(shù) idwt2函數(shù) waverec2函數(shù),dwt函數(shù),功能：1-D離散小波變換 格式： cA,cD=dwt(X,wname) cA,cD=dwt(X,Lo_D,Hi_D) 說明： cA,cD=dwt(X,wname)使用指定的小波基函數(shù)wname對信號X進行分解，cA和cD分別是近似分量和細節(jié)分量； cA,cD=dwt(X,Lo_D,Hi_D)用指定的濾波器組Lo_D,Hi_D對信號進行分解,idwt函數(shù),功能：1-D離散小波反變換 格式： X=idwt(cA,cD,wname) X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R) X=idwt(cA,cD,wname,L) X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,L) 說明：由近似分量cA和細節(jié)分量cD經過小波反變換，選擇某小波函數(shù)或濾波器組，L為信號X中心附近的幾個點,wcodemat函數(shù),功能：對數(shù)據矩陣進行偽真彩色編碼 格式： Y=wcodemat(X,NB,OPT,ABSOL) Y= wcodemat(X,NB,OPT) Y= wcodemat(X,NB) Y= wcodemat(X) 說明： Y=wcodemat(X,NB,OPT,ABSOL)返回數(shù)據矩陣X的編碼矩陣Y；NB為編碼的最大值（缺省16），OPT是編碼方式，row行方式，col列方式mat整個矩陣編碼（缺?。?，ABSOL是函數(shù)的控制方式，0返回編碼矩陣，1返回數(shù)據矩陣的ABS（缺省）,dwt2函數(shù),功能：2-D離散小波變換 格式： cA,cH,cV,cD=dwt2(X,wname) cA,cH,cV,cD=dwt2(X,wname) 說明：cA近似分量，cH水平細節(jié)分量，cV垂直細節(jié)分量，cD對角細節(jié)分量,示例1：對圖象做2-D小波分解,load woman; nbcol=size(map,1); cA1,cH1,cV1,cD1=dwt2(X,db1); cod_X=wcodemat(X,nbcol); cod_cA1=wcodemat(cA1,nbcol); cod_cH1=wcodemat(cH1,nbcol); cod_cV1=wcodemat(cV1,nbcol); cod_cD1=wcodemat(cD1,nbcol); dec2d=cod_cA1,cod_cH1;cod_cV1,cod_cD1; subplot(1,2,1); imshow(cod_X,); subplot(1,2,2); imshow(dec2d,);,實驗結果,wavedec2函數(shù),功能：2-D信號的多層小波分解 格式： C,S=wavedec2(X,N,wname); C,S=wavedec2(X,N,Lo_D,Hi_D); 說明：使用小波基函數(shù)或指定濾波器對2-D信號X進行N層分解,idwt2函數(shù),功能：2-D離散反小波變換 格式： X=idwt2(cA,cH,cV,cD,wname) X=idwt2(cA,cH,cV,cD,Lo_R,Hi_R) X=idwt2(cA,cH,cV,cD,wname,S) X=idwt2(cA,cH,cV,cD,Lo_R,Hi_R,S) 說明：略,示例：2-D小波重構,load woman; sX=size(X); cA1,cH1,cV1,cD1=dwt2(X,db4); A0=idwt2(cA1,cH1,cV1,cD1,db4,sX); subplot(1,2,1); imshow(X,); Title(Original Image); subplot(1,2,2); imshow(A0,); Title(Image using idwt2);,實驗結果,示例,load woman; nbcol=size(map,1); cA1,cH1,cV1,cD1=dwt2(X,db1); cod_X=wcodemat(X,nbcol); cod_cA1=wcodemat(cA1,nbcol); cod_cH1=wcodemat(cH1,nbcol); cod_cV1=wcodemat(cV1,nbcol); cod_cD1=wcodemat(cD1,nbcol); nbcol=size(cod_X,1); xcA1,xcH1,xcV1,xcD1=dwt2(cA1,db1); xcod_cA1=wcodemat(xcA1,nbcol); xcod_cH1=wcodemat(xcH1,nbcol); xcod_cV1=wcodemat(xcV1,nbcol); xcod_cD1=wcodemat(xcD1,nbcol); xdec2d=xcod_cA1,xcod_cH1;xcod_cV1,xcod_cD1; dec2d=xdec2d,cod_cH1;cod_cV1,cod_cD1; subplot(1,2,1); imshow(cod_X,); subplot(1,2,2); imshow(dec2d,);,實驗結果,waverec2函數(shù),功能：2-D信號的多層小波重構 格式： X=waverec2(C,S,wname) X=waverec2(C,S,Lo_R,Hi_R) 說明：略,示例：兩層分解重構,load woman; c,s=wavedec2(X,2,sym4); a0=waverec2(c,s,sym4); subplot(1,2,1); imshow(X,); Title(Original Image); subplot(1,2,2); imshow(a0,); Title(Image using idwt2);,實驗結果,小波分析在信號降噪中的應用,分解過程：選定一種小波，對信號進行N層小波（包）分解； 作用閥值過程：選擇一個閥值，并對細節(jié)系數(shù)作用 重建過程：將處理后的系數(shù)經過小波（包）重建原始信號；,如何選擇一個閥值是關鍵,缺省的閥值確定模型 Birge-Massart策略確定模型 小波包中的penalty閥值 .,本課程不做介紹,基于Matlab的示例 基于小波變換,load noisdopp; x=noisdopp; c,l=wavedec(x,5,db4); ca=wrcoef(a,c,l,db4,5); index=l(2)+1:l(7); c1=c; c1(index)=c(index)/3; x2=waverec(c1,l,db4); subplot(311); plot(x); title(Original Signal); subplot(312); plot(ca); title(Recover Signal); subplot(313); plot(x2); title(Recover with dimming);,基于Matlab的示例：基于FFT,對原始信號進行FFT變換 根據頻譜，對比我們需要關心的成分，對不需要的頻譜進行抑制； 進行逆變換,信號的頻譜,利用FFT濾波（使用不同的寬度）,load noisdopp; x=noisdopp; y=fft(x,1024); pyy=y.*conj(y);%Y f=1000*(0:512)/1024; %plot(f,pyy(1:513); % y1=y;y1(10:1024)=0; y2=y;y2(30:1024)=0; y3=y;y3(50:1024)=0; xd1=real(ifft(y1,1024); xd2=real(ifft(y2,1024); xd3=real(ifft(y3,1024); subplot(411);plot(x);title(Original Signal); subplot(412);plot(xd1);title(width=10); subplot(413);plot(xd2);title(width=30); subplot(414);plot(xd3);title(width=50);,FFT Vs DWT,FFT是一刀切的做法，DWT可以多重選擇； FFT保留的能量（有時）比DWT多，但是相似性很差； 降噪的光滑性和相似性在時間和頻率兩個空間體上體現(xiàn)的比重不同 ,小波分析在信號壓縮中的應用,對原始信號進行小波變換 零填充 編碼/量化 存儲 解碼 重建,注意： 本例只說明局部化壓縮，實際中一般不僅在第1層壓縮,load wbarb; ca1,ch1,cv1,cd1=dwt2(X,sym4); codca1=wcodemat(ca1,192); codch1=wcodemat(ch1,192); codcv1=wcodemat(cv1,192); codcd1=wcodemat(cd1,192); codx=codca1,codch1;codcv1,codcd1; rca1=ca1; rch1=ch1; rcv1=cv1; rcd1=cd1; rch1(33:97,33:97)=zeros(65,65); rcv1(33:97,33:97)=zeros(65,65); rcd1(33:97,33:97)=zeros(65,65); codrca1=wcodemat(rca1,192); codrch1=wcodemat(rch1,192); codrcv1=wcodemat(rcv1,192); codrcd1=wcodemat(rcd1,192); codrx=codrca1,codrch1;codrcv1,codrcd1; rx=idwt2(rca1,rch1,rcv1,rcd1,sym4); subplot(221);image(wcodemat(X,192);colormap(map);title(Original Image); subplot(222);image(wcodemat(codx,192);colormap(map);title(dwt); subplot(223);image(wcodemat(rx,192);colormap(map);title(zip image); subplot(224);image(wcodemat(codrx,192);colormap(map);title(about zip image);,DWT VS DCT,DCT在壓縮過程中不能提供時域信息，而DWT保留了這方面的特性； 局部壓縮特性,小波分析在圖象銳化和鈍化中的應用,圖象的鈍化（銳化）就是提取出圖象中的低頻（高頻）部分； 目前的方法主要集中在時域和頻域上； 時域方法是依靠在圖象上做算子操作，快，但會丟失相關信息； 頻域需要兩次傅里葉變換，計算量大，而且 小波變換是上述兩種方法的折中。,算法比較,DCT法進行高通濾波的結果比較純粹； 小波結果中高頻/低頻都有； 時間復雜度 DCT：2*O(nlogn)+O(n) DWT：2*O(n),load chess; blur1=X; blur2=X; ff1=dct2(X); for i=1:256 for j=1:256 ff1(i,j)=ff1(i,j)/(1+(32768/(i*i+j*j)2); end end blur1=idct2(ff1); c,l=wavedec2(X,2,db3); csize=size(c); for i=1:csize(2); if (abs(c(i)300) c(i)=c(i)*2; else c(i)=c(i)/2; end end blur2=waverec2(c,l,db3); subplot(221);image(wcodemat(X,192);colormap(gray(256);title(Original Image); subplot(222);image(wcodemat(blur1,192);colormap(gray(256);title(DCT Image); subplot(223);image(wcodemat(blur2,192);colormap(gray(256);title(DWT Image);,小波變換的應用,現(xiàn)在，對于其性質隨實踐是穩(wěn)定不變的信號，處理的理想工具仍然是傅立葉分析。 但是在實際應用中的絕大多數(shù)信號是非穩(wěn)定的，而特別適用于非穩(wěn)定信號的工具就是小波分析。,應用領域,量子力學、理論物理； 軍事電子對抗與武器的智能化； 計算機分類與識別； 音樂與語言的人工合成； 醫(yī)學成像與診斷； 地震勘探數(shù)據處理； 大型機械的故障診斷等方面；,數(shù)學方面：用于數(shù)值分析、構造快速數(shù)值方法、曲線曲面構造、微分方程求解、控制論等。 信號分析方面：濾波、去噪聲、壓縮、傳遞等。 圖象處理方面：圖象壓縮、分類、識別與診斷，去污等。 醫(yī)學成像方面：減少B超、CT、核磁共振成像的時間，提高分辨率等。,小波分析在故障診斷中的應用,小波分析在故障診斷中的應用已取得了極大的成功。 小波分析不僅可以在低信噪比的信號中檢測到故障信號， 而且可以濾去噪聲恢復原信號，具有很高的應用價值。,小波分析在語音信號處理中的應用,語音信號處理的目的是得到一些語音參數(shù)以便高效地傳輸或存儲. 利用小波分析可以提取語音信號的一些參數(shù), 并對語音信號進行處理. 小波理論應用在語音處理方面的主要內容包括: 清濁音分割;基音檢測; 去噪、重建與數(shù)據壓縮等幾個方面. 小波應用于語音信號提取、語音合成、語音增加、波形編碼已取得了很好的效果.,小波分析在地球物理勘探中的應用,在地球物理勘探中, 尋找地殼物質物性參數(shù)的奇異性時是非常有意義的. 由于小波變換同時具有空間域和頻率域的局部性, 因此它是描述、檢測函數(shù)奇異性的有效工具。 利用小波變換和分形理論, 對石油、天然氣中的實際地震道數(shù)據進了奇異性檢測和高分辨處理, 這對于油氣勘探及地震資料的高分辨處理都具有重大的理論意義和應用價值.,小波分析在醫(yī)學中的應用,淋巴細胞微核的識別在醫(yī)學中有重要的應用價值, 可用于環(huán)境檢測、藥品及各種化合物的毒性檢測. 在微核的計算機自動識別中, 用連續(xù)小波就可準確提取胞核的邊緣. 目前, 人們正在研究利用小波變 換進行腦信號的分析與處理, 這樣可有效地消除瞬態(tài)干擾, 并檢測出腦電信號中短時、低能量的瞬態(tài)脈沖.,小波分析在數(shù)學和物理中的應用,在數(shù)學領域, 小波分析是數(shù)值分析強有力的工具, 能簡捷、有效地求解偏微分方程和積分方程, 亦能很好地求解線性問題和非線性問題. 而由此產生的小波有限元方法和小波邊界元方法, 極大的豐富了數(shù)值分析方法的內容.如：Beylin-Coifman-Rokhlin 的論文為用小波方法與邊界元方法求解偏微分方程提供了標準用小波方法分析數(shù)學中“處處連續(xù)但處處不可導”問題特別有效 在物理領域中, 小