誤差理論與數(shù)據(jù)處理-研究生課程考試.doc

成 績(jī) 中 國 礦 業(yè) 大 學(xué) 2015 級(jí)碩士研究生課程考試 題 目 誤差理論與數(shù)據(jù)處理 學(xué)生姓名 陳 明 學(xué) 號(hào) TS15060128A3 所在院系 信息與電氣工程學(xué)院 任課教師 唐守鋒 中國礦業(yè)大學(xué)研究生院培養(yǎng)管理處印制誤差理論與數(shù)據(jù)處理目 錄1 前言12 測(cè)量不確定度32.1 不確定度的基本概念32.2 測(cè)量不確定度的評(píng)定方法52.2.1 標(biāo)準(zhǔn)不確定度的評(píng)定52.2.2 合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的評(píng)定72.2.3 擴(kuò)展標(biāo)準(zhǔn)不確定度的評(píng)定72.3 測(cè)量不確定度與測(cè)量誤差的異同83 模糊數(shù)與不確定度93.1 模糊數(shù)93.2 空間數(shù)據(jù)的不確定性93.3 模糊數(shù)與不確定度104 余弦模糊數(shù)的極大可能性估計(jì)114.1 極大可能性估計(jì)114.2 余弦模糊數(shù)的極大可能性估計(jì)125 最小不確定度估計(jì)126 總結(jié)15參考文獻(xiàn)161 前言由于測(cè)量誤差的客觀存在，誤差理論與數(shù)據(jù)處理一直在科學(xué)實(shí)驗(yàn)和生產(chǎn)實(shí)踐中占有及其重要的地位。尤其在測(cè)繪領(lǐng)域，參數(shù)估計(jì)理論與方法一直是測(cè)量數(shù)據(jù)處理中最重要的基礎(chǔ)研究方向之一。長期以來，這一重要研究領(lǐng)域的研究成果不計(jì)其數(shù)1。例如：極大似然估計(jì)、最小二乘估計(jì)、極大驗(yàn)后估計(jì)、貝葉斯估計(jì)、穩(wěn)健估計(jì)、最小二乘配置、最小二乘濾波、非線性最小二乘估計(jì)、半?yún)?shù)估計(jì)等等。迄今為止的這些參數(shù)估計(jì)理論與方法，無一不是以概率論為其理論基礎(chǔ)的，我們知道，概率論是用來處理“隨機(jī)變量”的。在測(cè)量數(shù)據(jù)處理中，人們?yōu)榱藨?yīng)用現(xiàn)有的參數(shù)估計(jì)理論總是把測(cè)量誤差理想化，假定測(cè)量誤差是隨機(jī)變量。事實(shí)上，由于種種原因，測(cè)量數(shù)據(jù)的不確定性并非由隨機(jī)誤差組成，而是多種不確定因素的綜合。例如GPS數(shù)據(jù)的不確定性除隨機(jī)誤差外，更主要的是多路徑效應(yīng)、電離層的影響等。隨機(jī)變量是指在試驗(yàn)中可出現(xiàn)可不出現(xiàn)，在實(shí)驗(yàn)前不能確定的量2。在測(cè)量過程中，由于觀測(cè)設(shè)備受分辨率的限制、操作者受生理方面的限制以及實(shí)際觀測(cè)環(huán)境總與標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)不一致等，必然導(dǎo)致測(cè)量不確定性的存在，即測(cè)量數(shù)據(jù)的不確定性在任何一次測(cè)量中是一定會(huì)出現(xiàn)的，它出現(xiàn)與否在測(cè)量前就是確知的。因此，測(cè)量數(shù)據(jù)的不確定性不完全滿足“隨機(jī)變量”的定義。因?yàn)闇y(cè)量數(shù)據(jù)的不確定性不完全滿足概率論中的“隨機(jī)變量”這一基本假設(shè)，所以使用目前的任何一種參數(shù)估計(jì)方法來處理測(cè)量數(shù)據(jù)都是不嚴(yán)密的，致使目前測(cè)量數(shù)據(jù)處理中的“最優(yōu)性”也是虛假的。當(dāng)然這一點(diǎn)早已被測(cè)量學(xué)家所公認(rèn)。因此，在實(shí)際的測(cè)量數(shù)據(jù)處理中，人們總是根據(jù)實(shí)際情況對(duì)現(xiàn)有參數(shù)估計(jì)模型進(jìn)行修正。例如，為了同時(shí)考慮系統(tǒng)誤差的影響，提出了附有系統(tǒng)參數(shù)的估計(jì)模型；為了抵抗粗差的影響，提出了穩(wěn)健估計(jì)模型等等。由于測(cè)量數(shù)據(jù)的不確定性是各種因素的綜合，既包含隨機(jī)性又包含模糊性。如此修修補(bǔ)補(bǔ)，必然顧此失彼，根本不能全面的處理測(cè)量數(shù)據(jù)的不確定性。另外，由于測(cè)量數(shù)據(jù)的不確定性不僅僅表現(xiàn)為隨機(jī)性不確定性也表現(xiàn)為模糊性不確定性3。比如，對(duì)于遙感影像數(shù)據(jù)的分類，由于很多地理概念本身就存在模糊性，因而分類一定會(huì)產(chǎn)生模糊不確定性。而現(xiàn)有的測(cè)量數(shù)據(jù)質(zhì)量評(píng)價(jià)體系也是以概率論為理論基礎(chǔ)的方差體系，即用方差來衡量測(cè)量數(shù)據(jù)的質(zhì)量。因?yàn)榉讲钍敲枋鲭S機(jī)誤差的，而隨機(jī)誤差只是不確定性中極小的一部分，方差很小只能說明隨機(jī)誤差很小，方差并不能描述模糊不確定性的大小，因此方差很小并不代表測(cè)量數(shù)據(jù)的不確定性很小，也就不能說明測(cè)量數(shù)據(jù)的質(zhì)量很高。即使只考慮隨機(jī)誤差，由于實(shí)際的測(cè)量數(shù)據(jù)并不一定服從正態(tài)分布，且服從什么分布并不知道，一律采用方差來作為衡量測(cè)量數(shù)據(jù)質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)也是不完全合理的，因?yàn)橛械姆植几揪筒淮嬖诜讲?。其次，盡管目前國際上已廣泛采用不確定度來評(píng)定測(cè)量結(jié)果的質(zhì)量。但從目前不確定度的評(píng)定方法我們可以看到，其A類或B類評(píng)定不確定度的方法仍然都是基于某種概率分布，用方差或標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行定量的表達(dá)。計(jì)量部門定義的A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度的大小是我們測(cè)量平差中導(dǎo)出的算術(shù)平均值的中誤差的絕對(duì)值。A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度越小，即誤差越小，只能說明隨機(jī)誤差很小，還是不能代表測(cè)量數(shù)據(jù)的不確定性很小。由此可見，目前用A類或B類評(píng)定方法來進(jìn)行不確定度的評(píng)定也有其不足之處4。綜上所述，要全面的處理測(cè)量數(shù)據(jù)的不確定性，并準(zhǔn)確評(píng)價(jià)測(cè)量數(shù)據(jù)的質(zhì)量，有必要研究一種全新的參數(shù)估計(jì)理論，并建立相應(yīng)的測(cè)量數(shù)據(jù)質(zhì)量評(píng)價(jià)體系。這一全新的參數(shù)估計(jì)理論與相應(yīng)的測(cè)量數(shù)據(jù)質(zhì)量評(píng)價(jià)體系必須突破傳統(tǒng)的“觀測(cè)值的不確定性就是隨機(jī)性”這一基本假設(shè)，能直接處理測(cè)量數(shù)據(jù)的不確定性。本文就旨在提出一種這樣的參數(shù)估計(jì)理論最小不確定度估計(jì)理論，它是以不確定度理論和模糊數(shù)理論為其理論基礎(chǔ)，將觀測(cè)值看作模糊數(shù)，以模糊數(shù)為研究對(duì)象，并用模糊幅度代替A類評(píng)定或B類評(píng)定來衡量不確定度，從與傳統(tǒng)的參數(shù)估計(jì)思路完全不同的角度研究測(cè)量數(shù)據(jù)處理理論與方法?！安淮_定度”一詞起源于1927年德國物理學(xué)家海森堡(Heisenbegr)在量子學(xué)領(lǐng)域中提出的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系，也稱為不確定度關(guān)系(uncertainty relation)。不確定度作為測(cè)量結(jié)果質(zhì)量評(píng)價(jià)的合理性首先在于不確定度的表達(dá)是統(tǒng)一的并被廣泛接受的，它有利于國際上實(shí)驗(yàn)室之間測(cè)量結(jié)果的相互比較和相互承認(rèn)，從而為消除國際貿(mào)易中的技術(shù)壁壘提供了可能性5。其次，由于測(cè)量資源的不完善以及測(cè)量手段的有限性等因素使得測(cè)量誤差總是客觀存在，使得測(cè)量結(jié)果總是在一定范圍波動(dòng)。目前國際上都傾向于用測(cè)量不確定度表征測(cè)量結(jié)果的變化范圍。不確定度是一個(gè)合理表征測(cè)量結(jié)果的分散性參數(shù)，它是一個(gè)容易定量、便于操作的質(zhì)量指標(biāo)。測(cè)量結(jié)果的可用性在很大程度上取決于其不確定度的大小。因此，在給出測(cè)量結(jié)果時(shí)，只有附加不確定度的說明才是完整和有意義的。不確定度越小，說明測(cè)量結(jié)果質(zhì)量越高，使用越可靠。本文用不確定度來衡量測(cè)量結(jié)果的質(zhì)量比現(xiàn)有的參數(shù)估計(jì)方法用方差或中誤差來衡量測(cè)量結(jié)果的質(zhì)量更合理，與目前評(píng)定不確定度方法不同，本文不是用A類評(píng)定或B類評(píng)定來評(píng)定不確定度，而是創(chuàng)新性地提出用模糊幅度來衡量不確定度。2 測(cè)量不確定度2.1 不確定度的基本概念 測(cè)量不確定度(uncertainty of measurement)是與測(cè)量結(jié)果相關(guān)聯(lián)的參數(shù)，用于表征合理地賦予被測(cè)量值的分散性6。它意味著對(duì)測(cè)量結(jié)果的正確性或準(zhǔn)確度的可疑程度，是用于表達(dá)測(cè)量結(jié)果的質(zhì)量?jī)?yōu)劣的一個(gè)指標(biāo)。即使不確定度的數(shù)字很大，測(cè)量結(jié)果也有可能接近于被測(cè)量真值，即不確定度不表示余下的誤差，而只表示對(duì)被測(cè)量真值認(rèn)識(shí)不足的程度。不確定度是與測(cè)量結(jié)果緊密相聯(lián)的,離開了“測(cè)量”這個(gè)過程，測(cè)量不確定度是不存在的。一個(gè)完整的測(cè)量結(jié)果一般應(yīng)包括對(duì)被測(cè)量的最佳估計(jì)及其分散性參數(shù)兩部分。分散性參數(shù)即為測(cè)量不確定度，它應(yīng)包括所有的不確定度分量。即除了不可避免的隨機(jī)影響對(duì)測(cè)量結(jié)果的貢獻(xiàn)外，還應(yīng)包括由系統(tǒng)效應(yīng)引起的分量，諸如一些與修正值和參考測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)有關(guān)的分量，它們對(duì)分散性均有貢獻(xiàn)。測(cè)量結(jié)果是測(cè)量的要素之一，而其它測(cè)量要素，如測(cè)量對(duì)象、測(cè)量資源、測(cè)量環(huán)境等均會(huì)在測(cè)量過程對(duì)測(cè)量結(jié)果產(chǎn)生不同程度的影響。測(cè)量不確定度，即表示測(cè)量結(jié)果受諸多不確定因素的影響，這些因素直接或間接影響了測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確性。因此，找出這些影響測(cè)量結(jié)果的不確定因素對(duì)評(píng)價(jià)測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確性有著實(shí)際的意義。所有對(duì)測(cè)量結(jié)果產(chǎn)生影響的因素，均是測(cè)量不確定度的來源。它們可能來自于以下幾個(gè)方面7：(1) 對(duì)被測(cè)量的定義不完整或不完善。如定義被測(cè)量是一根標(biāo)稱值為lm的鋼棒的長度。如果要求測(cè)準(zhǔn)至產(chǎn)m量級(jí),則被測(cè)量的定義就不完整。由于定義的不完整會(huì)使得測(cè)量結(jié)果中引入溫度和大氣壓力影響測(cè)長的不確定度。如果定義被測(cè)量是標(biāo)稱值為lm的鋼棒在25.0和101325Pa時(shí)的長度，則為完整定義，就可避免由此引起的測(cè)量不確定度。(2) 復(fù)現(xiàn)被測(cè)量定義的方法不理想；如對(duì)上例所述的完整定義進(jìn)行測(cè)量，由于溫度和壓力實(shí)際上達(dá)不到定義的要求(包括溫度和壓力的測(cè)量本身存在不確定度)，則使得測(cè)量結(jié)果仍然引入不確定度。(3) 測(cè)量所取樣本的代表性不夠，即被測(cè)量的樣本不能完全代表所定義的被測(cè)量；如被測(cè)量為某種介質(zhì)材料在給定頻率時(shí)的相對(duì)介電常數(shù)。由于測(cè)量方法和測(cè)量設(shè)備的限制，只能取這種材料的一部分做成樣塊進(jìn)行測(cè)量，如果該樣塊在材料的成分或均勻性方面不能完全代表定義的被測(cè)量，則該樣塊就引入測(cè)量不確定度。(4)對(duì)測(cè)量過程受環(huán)境影響的認(rèn)識(shí)不周全，或?qū)Νh(huán)境條件的測(cè)量與控制不完善；同樣以上述鋼棒測(cè)量為例，不僅溫度和壓力會(huì)影響其長度，實(shí)際上，濕度和鋼棒的支撐方式也會(huì)產(chǎn)生影響。由于認(rèn)識(shí)不足，沒有注意采取措施，也會(huì)引入測(cè)量不確定度。另外，測(cè)量溫度、壓力的溫度計(jì)、壓力表的不確定度也是測(cè)量不確定度的來源之一。(5)對(duì)模擬式儀器的讀數(shù)存在人為偏差；(6)儀器計(jì)量性能上的局限性；(7)賦予測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)和標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)的標(biāo)準(zhǔn)值不準(zhǔn)確；(8)引入常數(shù)或其他參量的不準(zhǔn)確；(9)與測(cè)量原理、測(cè)量方法和測(cè)量程序有關(guān)的近似性或假設(shè)性；(10)在相同的測(cè)量條件下，被測(cè)量重復(fù)觀測(cè)值的隨機(jī)變化；這是在測(cè)量中不可避免的一種綜合因素造成的隨機(jī)影響，它必然也貢獻(xiàn)于測(cè)量結(jié)果的不確定度。對(duì)一定系統(tǒng)誤差的修正不完善；(12)測(cè)量列中的粗大誤差因不明顯而未被剔除；(13)在有的情況下，需要對(duì)某種測(cè)量條件變化，或者在一個(gè)較長的規(guī)定時(shí)間內(nèi)，對(duì)測(cè)量結(jié)果的變化作出評(píng)定。此時(shí)，也應(yīng)把該相應(yīng)變化所賦予測(cè)量值的分散性大小，作為該測(cè)量結(jié)果的不確定度。以上的各種不確定度來源可以分別歸為設(shè)備、方法、環(huán)境、人員等帶來的不確定因素，以及各種隨機(jī)影響和修正各種系統(tǒng)影響的不完善，特別還包括被測(cè)量定義、復(fù)現(xiàn)和抽樣的隨機(jī)性等等?？偟恼f來，所有的不確定度來源對(duì)測(cè)量結(jié)果都有貢獻(xiàn)，原則上都不應(yīng)輕易忽略。但是，在對(duì)各個(gè)不確定度來源的大小都比較清楚的前提下，為了簡(jiǎn)化對(duì)測(cè)量結(jié)果的評(píng)定，應(yīng)力求“抓主舍次”。測(cè)量結(jié)果的不確定度一般包含若干個(gè)分量，按照其評(píng)定方法的不同，可以分為A類評(píng)定分量和B類評(píng)定分量。A類評(píng)定分量是依據(jù)一系列測(cè)量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分布獲得的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差。B類評(píng)定分量是基于經(jīng)驗(yàn)或其他信息假定的概率分布給出的標(biāo)準(zhǔn)差。即A類評(píng)定是指對(duì)樣本觀測(cè)值用統(tǒng)計(jì)分析的方法進(jìn)行不確定度評(píng)定；B類評(píng)定是指用非統(tǒng)計(jì)分析的方法進(jìn)行不確定度評(píng)定的方法。將不確定度分為A、B兩類評(píng)定方法的目的，僅僅在于說明計(jì)算不確定度的兩種不同途徑，并非它們?cè)诒举|(zhì)上有區(qū)別。兩者都是基于某種概率分布，都能夠用方差或標(biāo)準(zhǔn)差定量地描述。不能將它們與“隨機(jī)誤差”和“系統(tǒng)誤差”混淆，不能簡(jiǎn)單的將A類不確定度對(duì)應(yīng)于隨機(jī)誤差導(dǎo)致的不確定度，把B類不確定度對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)誤差導(dǎo)致的不確定度。例如，已知的系統(tǒng)效應(yīng)的修正量的不確定度，既可以是A類也可能是B類；表征隨機(jī)效應(yīng)的不確定度也可能是A類或B類。雖然誤差分為系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差，但不確定度不以隨機(jī)、系統(tǒng)來區(qū)分。若需要區(qū)分時(shí)，應(yīng)表述為“由隨機(jī)效應(yīng)引入的不確定度分量”和“由系統(tǒng)效應(yīng)引入的不確定分量”。兩類效應(yīng)所引入的不確定度都可皆有A類評(píng)定，也可皆有B類評(píng)定，均稱為標(biāo)準(zhǔn)不確定度。此外，測(cè)量不確定度在使用中根據(jù)表示的方式不同有三種不同的術(shù)語：標(biāo)準(zhǔn)不確定度、合成不確定度和擴(kuò)展不確定度8。(1)標(biāo)準(zhǔn)不確定度(standard uncertainty)：用標(biāo)準(zhǔn)差表示測(cè)量結(jié)果的不確定度,一般用符號(hào)U表示。(2)合成(標(biāo)準(zhǔn))不確定度(combined standard uncertainty)：當(dāng)測(cè)量結(jié)果由若干個(gè)其他量的值求得時(shí)，測(cè)量結(jié)果的合成不確定度等于這些量的方差和(或)協(xié)方差加權(quán)和的正平方根，其中權(quán)系數(shù)按測(cè)量結(jié)果隨這些量變化的情況而定。合成不確定度一般用符號(hào)Uc表示。(3)擴(kuò)展不確定度(expanded uncertainty)：規(guī)定了測(cè)量結(jié)果取值區(qū)間的半寬度，該區(qū)間包含了合理賦予被測(cè)量值的分布的大部分。擴(kuò)展不確定度用符號(hào)U或Up表示。2.2 測(cè)量不確定度的評(píng)定方法2.2.1 標(biāo)準(zhǔn)不確定度的評(píng)定 實(shí)際工作中,為了便于對(duì)測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)不確定度進(jìn)行具體的評(píng)定,國際上把該評(píng)定方法歸為A類評(píng)定方法和B類評(píng)定方法。一、關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)不確定度的A類評(píng)定A類評(píng)定方法是采用統(tǒng)計(jì)分析的方法評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)不確定度,它用實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差來表示。用這樣的方法評(píng)定出的標(biāo)準(zhǔn)不確定度稱為A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度。一般情況下,對(duì)某一被測(cè)量X，獨(dú)立重復(fù)觀測(cè)n次,用算術(shù)平均值作為被測(cè)量的估計(jì)值，測(cè)量結(jié)果的A類評(píng)定的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為n次測(cè)量平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差即：其中： n-1為自由度。 由此可知,計(jì)量部門定義的A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度的大小就是我們測(cè)量平差中導(dǎo)出的算術(shù)平均值的中誤差。其自由度為V=n-1,即我們熟知的多余觀測(cè)數(shù)。在給定A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度時(shí)應(yīng)同時(shí)給定自由度V。盡管A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度的大小就是我們測(cè)量平差中導(dǎo)出的算術(shù)平均值的中誤差，但兩者之間是不同的。中誤差是真誤差平方和之均值的平方根，其意義相當(dāng)于真誤差的平均值，在數(shù)軸上表示一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，故是可正可負(fù)的；而A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度是對(duì)觀測(cè)值“懷疑的程度”，在數(shù)軸上表示一個(gè)區(qū)間的長度，故恒為正。二、關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)不確定度的B類評(píng)定在實(shí)際工作中,并非所有的測(cè)量結(jié)果都能用以上所述的統(tǒng)計(jì)方法來評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)不確定度。在這種情況下就要用到B類評(píng)定方法。B類評(píng)定方法是用非統(tǒng)計(jì)的方法評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)不確定度。既然它不依賴于對(duì)樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì),必然要設(shè)法利用與被測(cè)量有關(guān)的其他先驗(yàn)信息來進(jìn)行估計(jì)。獲得B類評(píng)定的標(biāo)準(zhǔn)不確定度的信息來源一般有：(1) 以前的觀測(cè)數(shù)據(jù)；(2) 對(duì)測(cè)量?jī)x器的特性和其他相關(guān)資料的了解；(3) 校準(zhǔn)證書、檢定證書、測(cè)試報(bào)告及其他證書文件提供的數(shù)據(jù)；(4) 生產(chǎn)廠家的技術(shù)說明書；(5) 測(cè)量者的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)；(6) 引用的手冊(cè)、技術(shù)文件、研究論文和實(shí)驗(yàn)報(bào)告中給出的參考數(shù)據(jù)及不確定度值；為了方便，將這種方法估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度稱為B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度，它與A類的區(qū)別僅在于不是利用對(duì)此測(cè)量直接求出，而是需要查取己有信息獲得而已，這兩個(gè)方法都是可信的。根據(jù)先驗(yàn)信息的不同，B類評(píng)定的方法也不同。主要分為以下幾種： (1)若由先驗(yàn)信息給出測(cè)量結(jié)果的概率分布，及其置信區(qū)間和置信水平，則標(biāo)準(zhǔn)不確定度為該置信區(qū)間半寬度a與該置信水平下的包含因子kp的比值,即。 (2)若由先驗(yàn)信息給出的測(cè)量不確定度U為標(biāo)準(zhǔn)差的K倍時(shí),則標(biāo)準(zhǔn)不確定度U為該測(cè)量不確定度U與倍數(shù)K的比值,即。(3)若由先驗(yàn)信息給出測(cè)量結(jié)果的置信區(qū)間及其概率分布,則標(biāo)準(zhǔn)不確定度為該置信區(qū)間半寬度與該概率分布置信水平接近1的包含因子的比值,即。其中U為置信區(qū)間的半寬度，而K是置信水平接近1的包含因子。2.2.2 合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的評(píng)定設(shè)觀測(cè)值的函數(shù)為已知的A類或B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度為,則函數(shù)y的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為各的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度,即式中為和的協(xié)方差估計(jì)值，若定義其相關(guān)系數(shù)為：上式子可稱為不確定度傳播律,顯然,不確定度傳播律就相當(dāng)于我們熟知的測(cè)量平差中的協(xié)方差傳播律。當(dāng)各觀測(cè)量相互獨(dú)立時(shí)。如果的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分別為則合成不確定度為：。2.2.3 擴(kuò)展標(biāo)準(zhǔn)不確定度的評(píng)定擴(kuò)展不確定度是確定測(cè)量結(jié)果區(qū)間的量,合理賦予被測(cè)量值分布的大部分可望含于此區(qū)間。實(shí)際上擴(kuò)展不確定度是將輸出估計(jì)值的合成不確定度擴(kuò)展了倍后得到的，即：，式中稱為覆蓋因子，的取值與需要獲得的置信水平p有關(guān)，一般為2或3，這取決于被測(cè)量的重要性、效應(yīng)和風(fēng)險(xiǎn)。當(dāng)可以賦予被測(cè)量正態(tài)分布，且與輸出估計(jì)值相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)差的可靠性足夠高時(shí)，包含因子=2，這代表擴(kuò)展不確定的包含概率約為95%，這也就是說測(cè)量結(jié)果的取值區(qū)間在被測(cè)量值概率分布中所包含的百分比為95%，這個(gè)百分比稱為該區(qū)間的置信水平或置信概率。由上可知，擴(kuò)展不確定度相當(dāng)于測(cè)量平差中的極限誤差。2.3 測(cè)量不確定度與測(cè)量誤差的異同不確定度的概念是誤差理論的應(yīng)用和拓展，而誤差分析依然是測(cè)量不確定度評(píng)估的理論基礎(chǔ)。盡管不確定度概念的引入使得誤差分類的界線以及轉(zhuǎn)化的問題淡化了，但評(píng)定和計(jì)算不確定度，還有賴于必要的誤差分析。只有對(duì)各個(gè)誤差源的性質(zhì)、分布進(jìn)行合理的分析和處理，才能確定出各分量的不確定度和合成不確定度，特別是在估計(jì)B類分量時(shí)，更是離不開誤差分析。例如測(cè)量?jī)x器的特性可以用最大允許誤差、示值誤差等術(shù)語描述。在技術(shù)規(guī)范、規(guī)程中規(guī)定的測(cè)量?jī)x器允許誤差的極限值，稱為“最大允許誤差”或“允許誤差限”。它是制造廠對(duì)某種型號(hào)儀器所規(guī)定的示值誤差的允許范圍，而不是某一臺(tái)儀器實(shí)際存在的誤差。測(cè)量?jī)x器的最大允許誤差可在儀器說明書中查到，用數(shù)值表示時(shí)有正負(fù)號(hào)，通常用絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差、引用誤差或它們的組合形式表示。測(cè)量?jī)x器的最大允許誤差不是測(cè)量不確定度，但可以作為測(cè)量不確定度評(píng)定的依據(jù)。測(cè)量結(jié)果中由測(cè)量?jī)x器引入的不確定度可根據(jù)該儀器的最大允許誤差按B類評(píng)定方法評(píng)定。另一方面，不確定度是誤差的綜合和發(fā)展。不確定度概念的引入使不能確切獲得的誤差轉(zhuǎn)化為一個(gè)可以定量計(jì)算的指標(biāo)附在了測(cè)量結(jié)果中，從而使得測(cè)量結(jié)果的質(zhì)量在國際上有了一個(gè)統(tǒng)一的比較標(biāo)準(zhǔn)。所以說不確定度是誤差概念的發(fā)展。經(jīng)典的誤差理論將誤差分為系統(tǒng)誤差、偶然誤差和粗差，對(duì)這幾類誤差的分析處理方法也不同，對(duì)粗差予以剔除，對(duì)系統(tǒng)誤差是進(jìn)行修正，然后用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法來處理隨機(jī)誤差。而不確定度概念的引入使得這種分類顯得不重要，只是根據(jù)評(píng)定方法的不同分為A類評(píng)定和B類評(píng)定，因此不確定度使誤差實(shí)現(xiàn)了良好綜合，成為了一個(gè)整體。綜上所述，測(cè)量不確定度與測(cè)量誤差是兩個(gè)截然不同的概念,有著本質(zhì)上的區(qū)別，但它們也有著密切的聯(lián)系。誤差是不確定的基礎(chǔ)，不確定度又是誤差的綜合和發(fā)展。不確定度使得測(cè)量結(jié)果的質(zhì)量評(píng)定有了統(tǒng)一的定量標(biāo)準(zhǔn)，用測(cè)量不確定度評(píng)價(jià)測(cè)量結(jié)果較之測(cè)量誤差科學(xué)合理。3 模糊數(shù)與不確定度3.1 模糊數(shù)定義設(shè)I為R上的模糊集，是它的隸屬函數(shù),設(shè)若對(duì)任意都是一個(gè)閉區(qū)間，則稱I是一個(gè)模糊數(shù)。此時(shí)稱為I的截集。由此定義，可以得出以下結(jié)論:(1) 具有連續(xù)隸屬函數(shù)的凸模糊集是模糊數(shù)；(2) 實(shí)數(shù)集中的任意閉區(qū)間a,b都是一個(gè)模糊數(shù)。實(shí)踐中經(jīng)常用到的模糊數(shù)I的幾個(gè)性質(zhì)敘述如下：模糊數(shù)I的隸屬函數(shù)必有最大值；模糊數(shù)I必為凸模糊子集合；模糊數(shù)I的支集必是一個(gè)閉區(qū)間。3.2 空間數(shù)據(jù)的不確定性空間數(shù)據(jù)的不確定性屬于一般不確定性的組成部分，它包含了一般不確定性中不確定性的基本概念、原理、原則等在相關(guān)的空間科學(xué)技術(shù)，包括地球信息科學(xué)、大地測(cè)量、測(cè)繪與制圖、遙感、遙測(cè)、衛(wèi)星定位系統(tǒng)、地理信息系統(tǒng)、數(shù)據(jù)庫及其管理中的應(yīng)用。但是地學(xué)空間數(shù)據(jù)中的不確定性問題有它自己特色的一面，它豐富和充實(shí)了不確定性的內(nèi)容和應(yīng)用領(lǐng)域。Peter Fisher將空間數(shù)據(jù)不確定性的研究分為四個(gè)方面，即誤差(error)、模糊(vagueness)、歧義(ambiguity)、不一致(discord)。(1)誤差(error)如果物體可進(jìn)行量測(cè)，那么量測(cè)結(jié)果就一定含有誤差。關(guān)于誤差已有大量的研究，其研究結(jié)果集中在位置準(zhǔn)確性和專題準(zhǔn)確性方面，但最重要的還是對(duì)誤差模型和誤差結(jié)果的研究。(2)模糊(vagueness)某一個(gè)研究對(duì)象分類的中心或核心概念可以清楚地用分類術(shù)語進(jìn)行定義和描述，但該中心類與另一個(gè)中心類之間的邊界條件卻是不確定的，這時(shí)就產(chǎn)生了模糊，這就是說一些接近類邊界的研究實(shí)體很難劃分為一個(gè)特定的類。(3)歧義(ambiguity)是指當(dāng)有一個(gè)已經(jīng)定義好了的類概念，但該類分類過程中具有幾個(gè)同等有效但卻相互矛盾的結(jié)果。(4)不一致(discord)不一致是當(dāng)一個(gè)研究者使用一種分類方案，但另一個(gè)研究者使用另一個(gè)毫不重疊的分類方案時(shí)產(chǎn)生的。由以上的各種論述知，在空間數(shù)據(jù)處理中，至今對(duì)“不確定性”這個(gè)術(shù)語還沒有明確的定義，但大多數(shù)人認(rèn)為不確定性與空間數(shù)據(jù)質(zhì)量有關(guān)。3.3 模糊數(shù)與不確定度根據(jù)圖將模糊理論進(jìn)行了大致的分類。主要有五個(gè)分支：(1) 模糊數(shù)學(xué),它用模糊集合取代經(jīng)典集合從而擴(kuò)展了經(jīng)典數(shù)學(xué)中的概念； (2) 模糊邏輯與人工智能,它引入了經(jīng)典邏輯學(xué)中的近似推理,且在模糊信息和近似推理的基礎(chǔ)上開發(fā)了專家系統(tǒng)； (3)模糊系統(tǒng),它包含了信號(hào)處理和通信中的模糊控制和模糊方法；(4)不確定性和信息,它用于分析各種不確定性；(5)模糊決策,它用軟約束來考慮優(yōu)化問題。由圖3.1可知，模糊理論是一個(gè)包含了多種研究課題的廣泛領(lǐng)域，它也可以用于進(jìn)行各種不確定性分析。本文就是用模糊數(shù)來處理不確定性信息。由于現(xiàn)實(shí)世界中的信息都存在不確定性，在測(cè)量過程中，由于觀測(cè)設(shè)備受分辨率的限制、操作者受生理方面的限制以及實(shí)際觀測(cè)環(huán)境總與標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)不一致等，必然導(dǎo)致測(cè)量不確定性的存在，致使所得到的觀測(cè)值總是在被測(cè)物體的真值左右波動(dòng)。如果將波動(dòng)范圍看成模糊幅度，將真值看作對(duì)稱中心，則空間信息獲取過程中的觀測(cè)值就是模糊數(shù)。當(dāng)某個(gè)被測(cè)量的真值從某種程度上講不太確定時(shí)，我們就稱這個(gè)被測(cè)量為模糊數(shù)。模糊數(shù)表示的是一個(gè)數(shù)大約為多少。由對(duì)稱模糊數(shù)的定義我們可知該觀測(cè)值的波動(dòng)范圍就是對(duì)稱模糊數(shù)定義中的模糊幅度C。而不確定度是與測(cè)量結(jié)果相關(guān)聯(lián)的參數(shù)，用于表征合理地賦予被測(cè)量值的分散性。即不確定度是一個(gè)表示測(cè)量結(jié)果中用于說明測(cè)得值所處范圍的一個(gè)參數(shù)。模糊幅度就是描述測(cè)得值所處范圍的一個(gè)數(shù)，模糊幅度也和不確定度一樣，它們不同于測(cè)量誤差沒有正負(fù)之分。因此，用模糊幅度去衡量測(cè)量結(jié)果的不確定度是合理的。圖3.1模糊理論分類4 余弦模糊數(shù)的極大可能性估計(jì)4.1 極大可能性估計(jì)設(shè)可能性線性模型如式,“模糊數(shù)是其對(duì)稱中心”，的可能性為 (4-1-1)令 (4-1-2)則 (4-1-3)可得 (4-1-4) 式(4-1-4)是在線性可能性模型下，使觀測(cè)值估值的可能性最大的最優(yōu)估計(jì)準(zhǔn)則，故稱由此準(zhǔn)則確定的估計(jì)為極大可能性估計(jì)。由式(4-1-4)知，極大可能性估計(jì)隨參照函數(shù)的不同而不同。所以極大可能性估計(jì)式(4-1-4)確定的不是一個(gè)估計(jì)，而是一類估計(jì)。因此，我們稱基于最優(yōu)準(zhǔn)則式(4-1-4)的估計(jì)為可能性線性模型的極大可能性估計(jì)類。4.2 余弦模糊數(shù)的極大可能性估計(jì)在線性可能性模型的極大可能性估計(jì)類中,當(dāng)我們將觀測(cè)值和未知參數(shù)都視為余弦模糊數(shù)。當(dāng) 極大可能性估計(jì)式(4-1-4)變?yōu)? (4-2-1)式(4-2-1)就是可能性線性模型在將觀測(cè)值和未知參數(shù)都視為余弦模糊數(shù)的極大可能性估計(jì)準(zhǔn)則，簡(jiǎn)稱余弦極大可能性估計(jì)準(zhǔn)則?；诖藴?zhǔn)則的估計(jì)稱為余弦極大可能性估計(jì)。5 最小不確定度估計(jì)為了估計(jì)函數(shù)模型中的未知參數(shù)向量X，必須事先確定最優(yōu)估計(jì)準(zhǔn)則。由于我們將觀測(cè)值和未知參數(shù)都視作對(duì)稱模糊數(shù)，我們自然希望各個(gè)觀測(cè)值的不確定度越小越好，即觀測(cè)值的模糊幅度越小越好，則有，同時(shí)考慮到參照函數(shù)分布情況，以三角模糊數(shù)的參照函數(shù)為例，見圖5.1。圖5.1 三角模糊數(shù)的參照函數(shù) 當(dāng)模糊幅度越小時(shí)，對(duì)于某個(gè)具體的觀測(cè)值對(duì)于其模糊估計(jì)值的隸屬度反而越小，的值反而越大。我們令。為了保證最后估值的唯一性，我們?cè)O(shè)計(jì)如下最小不確定度估計(jì)的估計(jì)準(zhǔn)則為: (5-1-1)其中： 此外還應(yīng)滿足條件：即觀測(cè)值的改正數(shù)的絕對(duì)值應(yīng)小于等于該觀測(cè)值的模糊幅度。其中：當(dāng)函數(shù)模型非線性時(shí)滿足；當(dāng)函數(shù)模型是線性時(shí)滿足： 。綜上所述，可得最小不確定度估計(jì)的參數(shù)估計(jì)問題就可以轉(zhuǎn)化為求解下列非線性規(guī)劃問題： 其中： Uyi=1-U(yi) (5-1-2)在式(5-1-2)中，未知參數(shù)和觀測(cè)值的模糊幅度均視為待求參數(shù)一并求解。當(dāng)參照函數(shù)分別取 得三角模糊數(shù)的隸屬函數(shù)為 得余弦模糊數(shù)的隸屬函數(shù)為 得拋物線模糊數(shù)的隸屬函數(shù)為 將上述不同的隸屬函數(shù)帶入最小不確定度估計(jì)模型(5-1-2)中可分別得到基于三角模糊數(shù)、余弦模糊數(shù)、拋物線模糊數(shù)的最小不確定度估計(jì)模型。(1)基于三角模糊數(shù)的最小不確定度估計(jì)模型 其中：或。(2)基于余弦模糊數(shù)的最小不確定度估計(jì)模型 其中：或。(3)基于拋物線模糊數(shù)的最小不確定度估計(jì)模型 其中：或。分別解算以上三種不同的估計(jì)模型，則可得到分別對(duì)應(yīng)三角模糊數(shù)、余弦模糊數(shù)和拋物線模糊數(shù)的未知參數(shù)X的估值和觀測(cè)值的模糊幅度。由最小不確定度的估計(jì)模型可以看出基于最小不確定度估計(jì)模型的參數(shù)估計(jì)問題可以轉(zhuǎn)換為求解非線性規(guī)劃問題。非線性規(guī)劃問題內(nèi)容十分豐富，求解非線性規(guī)劃問題的優(yōu)化算法更加繁多。求解無約束非線性規(guī)劃問題常用的方法有線性搜索法、共扼梯度法以及擬牛頓法等。求