《D74全微分方程》PPT課件.ppt

,全微分方程,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,第五節(jié),定理4.1,P, Q 在某單連通域D內(nèi)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù), 為全微分方程,則,求解步驟:,方法1 湊微分法;,方法2 利用積分與路徑無(wú)關(guān)的條件.,1. 求原函數(shù) u (x, y),2. 由 d u = 0 知通解為 u (x, y) = C .,一、全微分方程,則稱,為全微分方程 ( 又叫做恰當(dāng)方程 ) .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例4.1 求解方程,解：,因此原方程為全微分方程. 取x0=0,y0=0, 利用公式得,其中C為任意常數(shù).,例4.2 求解初值問(wèn)題,解：,因此原方程為全微分方程. 取x0=0,y0=2, 利用公式得,其中C為任意常數(shù).,將初值條件帶入此通解，得C=0.,故所求初值問(wèn)題的解為,思考與練習(xí),判別下列方程類型:,提示:,可分離 變量方程,齊次方程,線性方程,線性方程,伯努利方程,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例. 解初值問(wèn)題,解: 分離變量得,兩邊積分得,即,由初始條件得 C = 1,( C 為任意常數(shù) ),故所求特解為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例. 求下述微分方程的通解:,解: 令,則,故有,即,解得,( C 為任意常數(shù) ),所求通解:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例:,解法 1 分離變量,即,( C 0 ),解法 2,故有,積分,( C 為任意常數(shù) ),所求通解:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例. 求方程,的通解 .,解: 注意 x, y 同號(hào),由一階線性方程通解公式 , 得,故方程可,變形為,所求通解為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例. 求解,解:, 這是一個(gè)全微分方程 .,用湊微分法求通解.,將方程改寫為,即,故原方程的通解為,或,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,思考: 如何解方程,這不是一個(gè)全微分方程 ,就化成上例 的方程 .,但若在方程兩邊同乘,例2 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,備用題 解方程,解法1 積分因子法.,原方程變形為,取積分因子,故通解為,此外, y = 0 也是方程的解.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,解法2 化為齊次方程.,原方程變形為,積分得,將,代入 ,得通解,此外, y = 0 也是方程的解.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,解法3 化為線性方程.,原方程變形為,其通解為,即,此外, y = 0 也是方程的解.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè)