z能量均分與麥?zhǔn)戏植?ppt

1,第二章,能量均分原理與麥克斯韋速率分布,2,由分子平均平動(dòng)動(dòng)能與 溫度的關(guān)系,即在 x 方向上平均分配了 kT / 2 的能量。,3,由于分子運(yùn)動(dòng)在哪個(gè)方向都不占優(yōu)勢(shì)，因此，在 y、z 方向上也都平均分配 了 kT / 2 的能量。,氣體分子在每個(gè)運(yùn)動(dòng)方向上分配了kT/2的能量，這種平均能量在各方向上均勻分布的情況，稱為能量按自由度均分原理。,注意：上述計(jì)算中我們假定分子是剛性小球而得出來的。,自由度是描寫物體運(yùn)動(dòng)時(shí)所需的獨(dú)立坐標(biāo)的個(gè)數(shù)。,4,例如：物體做一維直線運(yùn)動(dòng)，只需一個(gè)坐標(biāo)，則自由度數(shù)為1。,所謂獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)是指描寫物體位置所需的最少的坐標(biāo)數(shù)。,輪船在海平面上行駛，要描寫輪船的位置至少需要兩維坐標(biāo)，即經(jīng)度和緯度，則自由度為 2。,5,飛機(jī)在天空中飛翔，要描寫飛機(jī)的空間位置至少需要三維坐標(biāo)，則自由度為 3。,問題1、 質(zhì)點(diǎn)以半徑 r 做圓周運(yùn)動(dòng)自由度是多少？,問題2、 但對(duì)于火車在軌道上行駛時(shí)自由度是多少呢？,6,1. 一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，描寫它的空間位置，需要 3 個(gè)平移（動(dòng)）自由度，,2.兩個(gè)剛性質(zhì)點(diǎn),描寫其質(zhì)心位置需3個(gè)平動(dòng)自由度， t=3,描寫其取向還需3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，、 但是由于、不是獨(dú)立的受到,的限制，轉(zhuǎn)動(dòng)自由度只有兩個(gè)， r=2,7,3.三個(gè)或三個(gè)以上的剛性質(zhì)點(diǎn),需3個(gè)平動(dòng)自由度和3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。,平動(dòng)自由度 t=3,轉(zhuǎn)動(dòng)自由度 r=3,總自由度 i=t+r=6,對(duì)于理想氣體在常溫下，分子內(nèi)各原子間的距離認(rèn)為不變，只有平動(dòng)自由度、轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。,2.兩個(gè)剛性質(zhì)點(diǎn)總自由度數(shù),8,平動(dòng)動(dòng)能,轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能,在氣體分子的運(yùn)動(dòng)中，由于分子間的激烈碰撞（幾億次/秒），使平動(dòng)動(dòng)能與轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能不斷轉(zhuǎn)換，,使平動(dòng)動(dòng)能與轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能達(dá)到相同，即每個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度上也平均分配了kT/2能量。,由此可知，分子有 i 個(gè)自由度，其平均動(dòng)能就有i 份 kT/2 的能量。,分子平均動(dòng)能,9,1.單原子分子氣體,例如：氦氣（He）、氖氣（Ne）、氬氣（Ar）等為單原子分子氣體。其模型可用一個(gè)質(zhì)點(diǎn)來代替。,平動(dòng)自由度 t=3,轉(zhuǎn)動(dòng)自由度 r=0,總自由度 i=t+r=3+0=3,2.雙原子分子氣體,例如：氫氣（H2）、氧氣（O2）、氮?dú)猓∟2）等為雙原子分子氣體。其模型可用兩個(gè)剛性質(zhì)點(diǎn)模型來代替。,平動(dòng)自由度 t=3,轉(zhuǎn)動(dòng)自由度 r=2,總自由度 i=t+r=3+2=5,10,3.多原子分子氣體,例如：二氧化碳?xì)怏w（CO2）、水蒸氣（H2O）、甲烷氣體（CH4）等為多原子分子氣體。其模型可用多個(gè)剛性質(zhì)點(diǎn)來代替。,平動(dòng)自由度 t=3,轉(zhuǎn)動(dòng)自由度 r=3,總自由度 i=t+r=3+3=6,11,E=分子的動(dòng)能 +,對(duì)于理想氣體而言，分子間的作用力忽略不計(jì)，分子與分子間的勢(shì)能為 0。,由于只考慮常溫狀態(tài)，分子內(nèi)的原子間的距離可認(rèn)為不變，則分子內(nèi)原子與原子間的勢(shì)能也可不計(jì)。,分子的平均能量為,分子與分子間的勢(shì)能,+分子中原子與原子間的勢(shì)能,12,1.分子的平均動(dòng)能為:,2. 如果系統(tǒng)有N個(gè)氣體分子:,3.質(zhì)量為m的氣體能量為：,氣體內(nèi)能,13,由此可得理想氣體的內(nèi)能為：,單原子分子,雙原子分子,多原子分子,溫度發(fā)生改變T=T2T1時(shí)，理想氣體的內(nèi)能變化為：,14,例1：已知在 273k，1.0102大氣壓時(shí)，容器內(nèi)裝有雙原子分子理想氣體，其密度為 =1.24 102kg/m3。求（1）方均根速率，（2）氣體的摩爾質(zhì)量,(3)平均平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能是多少？(4)0.3mol的該氣體內(nèi)能是多少？,解：由,再由,得,15,平均平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能,0.3mol的該氣體內(nèi)能為,16,一. 解決粒子集體行為的統(tǒng)計(jì)方法 1.伽耳頓板演示 1) 實(shí)驗(yàn)裝置,17,單個(gè)分子速率不可預(yù)知，大量分子的速率分布遵循統(tǒng)計(jì)規(guī)律，是確定的，這個(gè)規(guī)律也叫麥克斯韋速率分布律。,按統(tǒng)計(jì)假設(shè)，各種速率下的分子都存在，用某一速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比，表示分子按速率的分布規(guī)律。,1.將速率從 0 按等間隔分割成很多相等的速率區(qū)間。,18,2.總分子數(shù)為N，,例如速率間隔取100m/s ,19,任一速率區(qū)間內(nèi)分子出現(xiàn)的概率為,則可了解分子按速率分布的情況。,20,3.概率,與,v有關(guān)，不同 v 附近概率不同。,有關(guān)，速率間隔大概率大。,21,f(v)為速率分布函數(shù),子數(shù)為dN，在該速率區(qū)間內(nèi)分子出現(xiàn)的概率,寫成等式,22,5.速率分布函數(shù)的物理意義,表示在速率 v 附近，單位速率區(qū)間內(nèi)分子出現(xiàn)的概率，即概率密度。,或表示在速率 v 附近，單位速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。,麥克斯韋首先從理論上推導(dǎo)出理想氣體的速率分布函數(shù)。,23,1860年麥克斯韋推導(dǎo)出理想氣體的速率分布律：,1. f(v)v曲線,討論,24,2.在速率為v, 速率區(qū)間為dv內(nèi)分子出現(xiàn)的概率,25,3.在f(v)v曲線下的面積為該速率區(qū)間內(nèi)分子出現(xiàn)的概率。,26,4.在f(v)v整個(gè)曲線下的面積為 1 - 歸一化條件。,分子在整個(gè)速率區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的概率為 1 。,27,例2：試說明下列各式的物理意義。,答：由速率分布函數(shù)可知,表示在速率v附近，dv速率區(qū)間內(nèi)分子出現(xiàn)的概率。,表示在速率v附近，dv速率區(qū)間內(nèi)分子的個(gè)數(shù)。,表示在速率v1v2速率區(qū)間內(nèi)，分子出現(xiàn)的概率。,28,利用麥克斯韋速率分布率可計(jì)算最概然速率、方均根速率、平均速率等物理量。,1.最概然速率vP,最概然速率表示在該速率下分子出現(xiàn)的概率最大。,表示在速率v1v2速率區(qū)間內(nèi)，分子出現(xiàn)的個(gè)數(shù)。,29,氣體分子各種運(yùn)動(dòng)速率都有，在哪個(gè)速率下出現(xiàn)的概率最大，即求 f(v) 的極大值對(duì)應(yīng)的速率。,將 f(v) 對(duì) v 求導(dǎo)，,令一次導(dǎo)數(shù)為 0,最概然速率,30,討論,1. vP與溫度T的關(guān)系,曲線的峰值右移,由于曲線下面積為1不變，所以峰值降低。,由,和,31,曲線的峰值左移,由于曲線下面積為1不變，所以峰值升高。,2. vP與分子質(zhì)量m0的關(guān)系,32,例：求空氣分子在27C時(shí)的最概然速率vP (=29g/mol)。,解：由公式,33,2.平均速率,氣體分子在各種速率的都有，那么平均速率是多大呢？,假設(shè)：速度為v1的分子有 個(gè)，,速度為v2的分子有 個(gè)，,則平均速率為：,34,計(jì)算一個(gè)與速率有關(guān)的物理量 g(v) 的統(tǒng)計(jì)平均值的公式：,利用此公式可計(jì)算分子的方均根速率、分子的平均平動(dòng)動(dòng)能等。,35,利用積分公式,設(shè),36,上下同乘NA有,平均速率,例：求空氣分子在27C時(shí)的平均速率。,解：由公式,37,4.三種速率的比較,38,麥克斯韋在 1860 年從理論上預(yù)言了理想氣體的速率分布律。60 年后，也就是 1920 年斯特恩通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了這一規(guī)律，后來拉美爾將實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步完善。,39,20世紀(jì)20年代以后，許多實(shí)驗(yàn)成功地證實(shí)了麥克斯韋速率分布規(guī)律。下面的實(shí)驗(yàn)裝置，介紹實(shí)驗(yàn)原理。,動(dòng)畫,40,7.8.1氣體分子的碰撞頻率與平均自由程,一. 平均碰撞頻率,二. 真空的概念,41,發(fā)難： 荷蘭化學(xué)家 巴洛特 - 擴(kuò)散與,矛盾,分子運(yùn)動(dòng)論的佯謬,解釋：,粒子走了一條艱難曲折的路,42,平均自由程,平均碰撞頻率,描述的物理量是,43,一. 平均碰撞頻率,典型的推導(dǎo),必要的假設(shè)： 1)同種分子 分子有效直