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第三節(jié) 函數的連續(xù)性 （continuity of functions）,目的與要求 理解函數在一點連續(xù)(continuity at a point)的概念，了解函數區(qū)間上連續(xù)(continuity on an interval)的概念 會判別函數間斷點的類型 了解初等函數連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函 數性質:介值定理(intermediate value theorem)、零點定理、最值定理,一、函數的連續(xù)性,1.函數的增量,2.連續(xù)的定義,例1,證,由定義知,3.單側連續(xù),定理,例2,解,右連續(xù)但不左連續(xù) ,4.連續(xù)函數與連續(xù)區(qū)間,在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數,叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數,或者說函數在該區(qū)間上連續(xù).,連續(xù)函數的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.,例如,二、函數的間斷點,1.跳躍間斷點,例3,解,2.可去間斷點,例4,解,注意 可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.,如例4中,跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點.,特點,3.第二類間斷點,例5,解,判斷下列間斷點類型:,例7,解,小結,1.函數在一點連續(xù)必須滿足的三個條件;,2.間斷點的分類與判別;,第一類間斷點:可去型,跳躍型.,第二類間斷點:無窮型,振蕩型.,間斷點,(見下圖),可去型,第一類間斷點,跳躍型,無窮型,振蕩型,第二類間斷點,三、初等函數的連續(xù)性,四則運算的連續(xù)性 復合函數的連續(xù)性 初等函數的連續(xù)性,1、四則運算的連續(xù)性,定理1,例如,定理,2、復合函數的連續(xù)性,例1,解,同理可得,3、初等函數的連續(xù)性,三角函數及反三角函數在它們的定義域內是連續(xù)的.,定理 基本初等函數在定義域內是連續(xù)的.一切初等函數在其定義區(qū)間內是連續(xù)的,(均在其定義域內連續(xù) ),例2,例3,解,解,四、閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質,定義:,例如,定理1(最大值和最小值定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數一定有最大值和最小值.,注意:1.若區(qū)間是開區(qū)間, 定理不一定成立; 2.若區(qū)間內有間斷點, 定理不一定成立.,定理2(有界性定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數一定在該區(qū)間上有界.,幾何解釋:,

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