《多元函數(shù)微積分》PPT課件.ppt

多元函數(shù)微積分,多元函數(shù)的極限與連續(xù) 多元函數(shù)微分學(xué) 隱函數(shù)定理及其應(yīng)用 含參量積分 曲線積分 重積分 曲面積分,第16章 多元函數(shù)的極限與連續(xù),1 平面點(diǎn)集與多元函數(shù) （了解平面點(diǎn)集的有關(guān)概念、平面上的完備性定理、多元函數(shù)的概念 ）,一、 平面點(diǎn)集,坐標(biāo)平面 ,平面點(diǎn)集 E=(x,y)|(x,y)滿足的條件,鄰域 U(A,)=(x,y)|(x-x0)2+(y-y0)22 U(A,)=(x,y)|x-x0|,|y-y0|,空心鄰域 U0(A,)=(x,y)|0(x-x0)2+(y-y0)22 U(A,)=(x,y)|x-x0|,|y-y0|,(x,y)(x0,y0),（一）下面利用鄰域描述點(diǎn)和點(diǎn)集的關(guān)系,() 內(nèi)點(diǎn) U(A)E,() 外點(diǎn) U(A)E=,() 界點(diǎn) U(A)E 且 U(A)EC,點(diǎn)AR2和點(diǎn)集ER2必有以下三種關(guān)系之一：, E 的邊界點(diǎn)的全體稱為 E 的邊界, 記作E ;,() 聚點(diǎn) U0(A)E,點(diǎn)A近旁是否有點(diǎn)集E中無窮多點(diǎn)構(gòu)成另一種關(guān)系：,() 孤立點(diǎn) AE 且 U0(A)E=,練習(xí)1:,問A是E的內(nèi)點(diǎn)?外點(diǎn)?,(1)設(shè),問,(2)設(shè),是,E的聚點(diǎn)?孤立點(diǎn)?,呢?,（二）一些重要的平面點(diǎn)集,閉集 E的所有聚點(diǎn)E,開域 連通的開集,閉域 開域連同邊界,開集 intE=E,有界點(diǎn)集、無界點(diǎn)集,點(diǎn)集的直徑,三角不等式,區(qū)域 開域、閉域，或開域連同部分邊界,練習(xí)2:,則原點(diǎn)是K的 點(diǎn),(1)設(shè),孤立點(diǎn)、界點(diǎn)，但不是聚 ；,圓周上的點(diǎn)是K的 點(diǎn),界點(diǎn)、聚 ， 但不屬于K；,K,是開域、 是閉域， 有界集。,不,也不,是,(2)求下列平面點(diǎn)集的聚點(diǎn)集合,二、 R2上的完備性定理,R2上的完備性定理是二元函數(shù)極限理論的基礎(chǔ)。,為此，先給出平面點(diǎn)列的收斂性概念。,定義1 設(shè),為平面點(diǎn)列，,為一固定點(diǎn).,若,使當(dāng),時(shí)，有,則稱點(diǎn)列,收斂于,記作,或,點(diǎn)列極限的兩種等價(jià)形式：,定理16.1(柯西準(zhǔn)則),平面點(diǎn)列,收斂的充要條件是：,使當(dāng),時(shí)，對(duì)一切,有,定理16.2(閉域套定理),設(shè),是,中的閉域列，滿足,則存在唯一的點(diǎn),課堂練習(xí)：P92: 1(1)(3)(6) 作業(yè)： P92: 1(7),3,5,定理16.3(聚點(diǎn)定理),設(shè),為有界無限點(diǎn)集，則,在,中至少有一個(gè)聚點(diǎn)。,推論,有界無限點(diǎn)列,必存在收斂子列,定理16.4(有限覆蓋定理),設(shè),為一有界閉域，,為一開域族，它覆蓋了,(即,),則在,中必存在有限個(gè)開域,它們同樣覆蓋了,(即,)。,推廣：,將定理16.4中的,改為有界閉集，而,為一族開集，此時(shí)定理依然成立。,三、 二元函數(shù),定義2 設(shè)平面點(diǎn)集,若按照某種對(duì)應(yīng)法則,中每一點(diǎn),都有唯一確定的實(shí)數(shù),為定義在,上的二元函數(shù)，記作,為,與之對(duì)應(yīng)，則稱,的定義域,函數(shù)值,值域,自變量,因變量。,為方便計(jì)，二元函數(shù)也記作,或,便是二元函數(shù),三維歐氏空間,中的點(diǎn)集,的圖像。,例2,例3,例4,例5,若二元函數(shù)的值域是有界數(shù)集，則稱該函數(shù)為有界函數(shù)。 否則稱為無界函數(shù)。,練習(xí)3:描繪下列函數(shù)圖象,四、 n元函數(shù),設(shè)點(diǎn)集,若按照某種對(duì)應(yīng)法則,使每一點(diǎn),都有唯一確定的實(shí)數(shù),為定義在,上的 n元函數(shù)，記作,與之對(duì)應(yīng)，則稱,n元函數(shù)也記作,或,課堂練習(xí)：P92: 4,6(1)(3); P93: 8(1)(4)(7) 作業(yè)： P93: 8(5)(10),小結(jié)： 1、掌握平面點(diǎn)集的有關(guān)概念； 2、了解平面上的完備性定理； 3、了解多元函數(shù)的概念。,2 二元函數(shù)的極限,一、 二元函數(shù)的極限,例1 依定義驗(yàn)證,證明,例2 設(shè),下面的定理及其推論相當(dāng)于數(shù)列極限的子列定理與一元函數(shù)極限的海涅歸納原則，證法也類似。,類似地可以定義,和,二元函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則和相應(yīng)定理仍成立。,例如，,課堂練習(xí)：P99: 1(1)(2)(3),二、 累次極限,重極限和累次極限是兩個(gè)不同的概念，它們的存在性沒有必然的聯(lián)系。例如：,重極限和累次極限在一定條件下也是有聯(lián)系的：,課堂練習(xí)：P99: 2(1)(2)(3),思考題: 重極限存在 = 累次極限存在? 重極限存在 = 次極限存在且相等?,作業(yè)： P99: 1(5)(7),2(4)(5),小結(jié)： 1、掌握二元函數(shù)極限和累次極限的概念； 2、了解有關(guān)定理和推論； 3、掌握重極限和累次極限的求法（含不存在）。,3 二元函數(shù)的連續(xù)性,一、 二元函數(shù)的連續(xù)性概念,如上節(jié)例1給出的函數(shù)在原點(diǎn)連續(xù)；事實(shí)上，,注：若一元函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，將它看作二元函數(shù)，則在相應(yīng)點(diǎn)仍連續(xù)。,類似地，例2給出的函數(shù)也在原點(diǎn)連續(xù)（P94）。,例3、4給出的函數(shù)在原點(diǎn)不連續(xù)。,若把例3給出的函數(shù)改為,則它沿直線 在原點(diǎn)連續(xù)。,注意：偏增量的和不一定等于全增量。,容易證明：若二元函數(shù)在某內(nèi)點(diǎn)連續(xù)，則對(duì)單個(gè)自變量都在該點(diǎn)連續(xù)。但是反過來，二元函數(shù)在某內(nèi)點(diǎn)對(duì)單個(gè)自變量都連續(xù)，并不能保證該函數(shù)的連續(xù)性。例如，,若二元函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)，則與一元函數(shù)一樣，可以證明它在這點(diǎn)近旁具有局部有界性、局部保號(hào)性以及有理運(yùn)算的各個(gè)法則。下面僅證明二元復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理.,練習(xí):說明下列函數(shù)的連續(xù)性,二、 有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),本段討論有界閉域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。它們可以看作是閉區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的推廣。,實(shí)際上，定理16.8與16.9中的有界閉域可改為有界閉集(證明過程無原則性變化)。定理16.10中的有界閉域(它保證連通性)不可改為有界閉集(開集、閉集不一定具有連通性)。此外，定理16.10中的連續(xù)函數(shù)的值域必定是一個(gè)區(qū)間。,2、考察下列函數(shù)的連續(xù)性：,作業(yè): P105: 1(1)(3)(5), 3.,那么它在,小結(jié)： 1、掌握二元函數(shù)的連續(xù)性概念 ； 2、了解有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。,“Ch16二元函數(shù)的連續(xù)性與極限”習(xí)題課,一、 基本內(nèi)容和要求,1、了解平面點(diǎn)集的有關(guān)概念，了解平面上的完備 性定理，了解多元函數(shù)的概念。,2、理解二元函數(shù)的極限和累次極限的概念，并會(huì)計(jì)算，知道它們之間的聯(lián)系。,3、了解二元函數(shù)的連續(xù)性概念和有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。,二、 作業(yè)