計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣.ppt

l e c t u r e,10,FINANCIAL MODELING,金融建模,第10章 計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣,要計(jì)算有效投資組合，我們就必須計(jì)算股票收益數(shù)據(jù)的方差-協(xié)方差矩陣。本章中，我們將討論在Excel中怎樣實(shí)現(xiàn)這個(gè)計(jì)算。其中最顯而易見的計(jì)算為樣本方差-協(xié)方差矩陣：這是直接由歷史收益計(jì)算而得的矩陣。我們介紹幾種計(jì)算方差-協(xié)方差的方法，包括在電子表中用超額收益矩陣直接計(jì)算、VBA實(shí)現(xiàn)該方法計(jì)算。 即使樣本方差-協(xié)方差矩陣看起來像一個(gè)很明顯的選擇，但我們將用大量的文字說明它也許不是方差與協(xié)方差最好的估計(jì)。樣本方差-協(xié)方差矩陣有兩個(gè)不盡人意的缺陷：一是它常使用不現(xiàn)實(shí)的參數(shù)，二是它難以用于預(yù)測(cè)。這些將主要在10.5和10.6節(jié)中討論。作為樣本矩陣的替換，10.9和10.10節(jié)將討論用于優(yōu)化方差-協(xié)方差矩陣估計(jì)的“壓縮”方法。 在開始本章之前，你應(yīng)先閱讀第34章數(shù)組函數(shù)的內(nèi)容。里面有一些Excel函數(shù)，其參數(shù)是向量和矩陣；它們的實(shí)施與標(biāo)準(zhǔn)Excel函數(shù)略有不同。本章重點(diǎn)討論這些數(shù)組函數(shù)Transpose()和MMult()，還有“自制”的數(shù)組函數(shù)的使用。,10.1 引言,我們用我們的數(shù)字例子來說明計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣的矩陣方法。我們通過減去資產(chǎn)各自的平均收益，得到超額收益矩陣（接下來的電子表中的42-52行）。在55-61行中我們計(jì)算樣本方差-協(xié)方差矩陣。,10.2.1一個(gè)稍微更有效率的替代方法 正如你所期望那樣，的確存在其他計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣可選方法。這里所介紹的方法跳過了超額收益的計(jì)算，并且直接使用單元格B71：G76中的公式進(jìn)行計(jì)算。它通過使用數(shù)組函數(shù)=MMULT(TRANSPOSE(B23：G33-B35：G35)，B23：G33-B35：G35)/10。通過寫入B23：G33-B35我們直接將每項(xiàng)收益減去均值得到超額收益向量：,10.3 我們應(yīng)該除以M還是M-1？Excel與統(tǒng)計(jì)量？ 在前面的計(jì)算中我們除以M-1而非M，以此得到無偏的方差和協(xié)方差的估計(jì)。不過這個(gè)選擇看起來幾乎沒有多大影響。我們引用主流的教科書：“對(duì)于為什么要用M-1取代M這兒有一段很長(zhǎng)的歷史。如果你從來沒有聽說過，你可以參考任何一本好的統(tǒng)計(jì)教材。這里我們主要想提醒你，如果你在計(jì)算一個(gè)分布的方差時(shí)，這個(gè)分布存在已知的先驗(yàn)的均值，而不需要從歷史數(shù)據(jù)估計(jì)的時(shí)候，那么M-1應(yīng)該變回M。（我們同樣想說關(guān)于在分母上用M-1替代M上，我們認(rèn)為對(duì)你是已知的，但這卻是對(duì)你不負(fù)責(zé)任的例如，試圖用圖例說明去證明一個(gè)充滿疑問的假設(shè)）” Excel本身某程度上在除以M還是M-1這個(gè)問題上也有些混亂。在下面的電子表中我們給出幾種計(jì)算均值，方差，標(biāo)準(zhǔn)差和協(xié)方差的方法。,Excel區(qū)分總體方差（Varp，除以M）、樣本方差（Var，除以M-1），以及總體和樣本標(biāo)準(zhǔn)差（分別為Stdevp和Stdev）。但是Excel并沒有在協(xié)方差函數(shù)Covar中作此區(qū)分。你可以看到B30中Covar除以M，和Varp一樣。如果你想得到一個(gè)相應(yīng)的除以M-1的協(xié)方差函數(shù)，那么你得像單元格B33那樣用Covar乘以,，或者你需要使用像單元格B32那樣的數(shù)組函數(shù)=MMULT(TRANSPOSE(B3：B13-B16)，C3：C13-C16)/10。如果Excel是完全合理的，它應(yīng)該有兩個(gè)函數(shù)：Covarp，它除以M（對(duì)應(yīng)Varp或Stdevp），以及Covar，它除以M-1（對(duì)應(yīng)Var或Stdev）。 困惑了嗎？沒關(guān)系！正如該部分開始的教科書引用指出的那樣，它不是一個(gè)至關(guān)重要的問題。,10.4計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣的其他方法 在這一節(jié)中，我們介紹兩種替代計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣的方法。 第一種是使用一個(gè)VBA數(shù)組函數(shù)，它可以直接計(jì)算出樣本方差-協(xié)方差矩陣。第二種是使用Excel的Offset函數(shù)。 10.4.1一個(gè)計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣的VBA函數(shù) 我們的第一種替代方法是用一個(gè)VBA函數(shù)：,我們的第一種替代方法是用一個(gè)VBA函數(shù)：,Function VarCovar(rng.Range) As Variant Dim i As Integer Dim j As Integer Dim numCols As Integer numCols = rng. Columns.Count Dim matrix( ) As Double ReDim matrix(numCols - 1, numCols- 1) For i = j To numCols For j = 1 To numCols matrix(i - 1, j - 1) = Application.WorksheetFunction. Covar(rng.Columns(i), rng.Columns(j) Next j VarCovar=matrix End Function,這個(gè)函數(shù)是一個(gè)數(shù)組函數(shù)。（意味著它必須使用Ctrl-Shift-Enter）。下面有一個(gè)例子：,應(yīng)注意以上6只股票的GMVP包含兩個(gè)空頭（BA和MSFT）且在GE及IBM上有一個(gè)非常大正向頭寸。這是一個(gè)潛在的不主張使用樣本方差-協(xié)方差矩陣計(jì)算GMVP的例子：一個(gè)尋找最小方差的投資者是不會(huì)將77%的BA和10%的MSFT的賣空得資金，投放到投資組合的61%的GE和100%的IBM上去的。這些用樣本方差-協(xié)方差矩陣計(jì)算產(chǎn)生的不合理的投資組合使得我們必須尋找各種其他方法來計(jì)算該矩陣，它們將在10.7-10.9節(jié)中討論。但在進(jìn)入這些主題之前，我們還是先討論有效投資組合的計(jì)算。,該電子表中的行16給出了每只股票在數(shù)據(jù)的最后一天的市場(chǎng)價(jià)值（從2004年1月開始）。行17計(jì)算出以每項(xiàng)資產(chǎn)的市場(chǎng)權(quán)重為投資比例的投資組合。市場(chǎng)權(quán)重和有效投資組合權(quán)重之間有顯著差別。 該電子表顯示了另外兩個(gè)利用樣本方差-協(xié)方差矩陣優(yōu)化配置投資組合所產(chǎn)生的問題。 第一個(gè)問題是，這個(gè)最優(yōu)的投資組合包含了一些非常大的賣空和一些的不切實(shí)際的非常大的多頭。在運(yùn)行模擬運(yùn)算表計(jì)算不同c值下的包絡(luò)線投資組合時(shí)我們發(fā)現(xiàn)，整條有效前沿均含有非常大的空頭和多頭投資組合。被標(biāo)注的部分顯示出由c變化而導(dǎo)致的變動(dòng)。只有JNJ在所有包絡(luò)線組合中保持著正的權(quán)數(shù)。,如果我們認(rèn)為通過這樣的方式獲得投資組合的比例是不合理的，那么在該優(yōu)化過程中，不是方差-協(xié)方差矩陣出了問題，就是均值向量出了問題（甚至兩者都是）。我們將在本章的10.7-10.10節(jié)和第13章的Black-Litterman模型中再回到該主題上。 這個(gè)例子揭示的第二個(gè)問題與該樣本方差-協(xié)方差矩陣不像真實(shí)的相關(guān)系數(shù)有關(guān)。在接下來的電子表中我們給出相關(guān)系數(shù)矩陣。在調(diào)查期內(nèi)，最大的相關(guān)系數(shù)（通用汽車公司和波音公司之間）為0.89；檢查該矩陣顯示存在一些非常大且不像真實(shí)的相關(guān)系數(shù)：有6個(gè)相關(guān)系數(shù)大于0.5。這是難以置信的！最小的相關(guān)系數(shù)（波音公司和家樂氏之間）為-0.1，這也許也是一個(gè)問題：當(dāng)波音公司的收益上升時(shí)，谷類食品銷量會(huì)下降？,使用Excel中的數(shù)組函數(shù)（見第35章），我們可以計(jì)算SIM方差-協(xié)方差函數(shù)：,這個(gè)數(shù)組函數(shù)需要被單獨(dú)提取出來： 它包含了一個(gè)If函數(shù)，我們知道它包括三部分：IF（condition，answer if condition is ture， answer if condition is false）。 條件B24：G24=A25：A30表示在行B24：G24的“跨越輸入”（它包含了一行股票名字）是和列向量A25：A30的輸入相等。為了讓大家更清楚地看到這個(gè)條件，我們?cè)谙旅娴碾娮颖碇胁迦肓斯絀F（B24：G24=A25：A30，1，0），可以發(fā)現(xiàn)它生成了一個(gè)對(duì)角線上為1，而其余為0的電子表：,首先，在我們的SIM方差-協(xié)方差矩陣中的第一個(gè)IF條件為IF（B24：G24=A25：A30，B18：G18，）。這說明了假如我們?cè)趯?duì)角線上，我們應(yīng)該放在資產(chǎn)的收益方差中。 其次，IF條件說明當(dāng)不在對(duì)角線上時(shí)，我們應(yīng)該輸入MMULT(TRANSPOSE(B20：G20)，B20：G20)*H18。公式MMULT(TRANSPOSE(B20：G20)，B20：G20)生成了一個(gè),矩陣。該公式用S&P500的方差乘以該矩陣，在H列給出。,在電子表中我們通過該6只股票樣本相關(guān)系數(shù)均值來確定該常數(shù)相關(guān)系數(shù)（單元格B19）。當(dāng)然這是允許變化的：假如我們覺得股票平均相關(guān)系數(shù)在未來是0.3，那么可以從收益數(shù)據(jù)中直接估計(jì)出該方差-協(xié)方差矩陣。,目前很少理論涉及怎么選擇合適的收縮估計(jì)。我們建議選擇一個(gè)收縮因子使得GMVP所有權(quán)數(shù)均為正（詳見下一節(jié)）。,GMVP的平均收益為12.73%（單元格F17），標(biāo)準(zhǔn)差為7.73%（單元格F19）。 有一個(gè)更加簡(jiǎn)潔的計(jì)算方法：,這是一個(gè)更加簡(jiǎn)潔的方法，它借用了數(shù)組函數(shù)IF(A14：A19=A14：A19，1，0)來計(jì)算1的向量。,10.10.2用替代方