D82多元函數(shù)的概念.ppt

,第八章,第二節(jié),多元函數(shù)的概念,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,一. 定義,二. 定義域,三. 幾何意義,本節(jié)的教學(xué)要求,掌握多元函數(shù)的概念 會(huì)求二元函數(shù)的定義域,重點(diǎn),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,注意: 學(xué)習(xí)本章, 要善于與一元函數(shù)類比, 區(qū),別異同.,(一)多元函數(shù)的定義,兩個(gè)以上自變量 多元函數(shù) z = f (x, y),某商品的市場需求量Qf (該商品的價(jià)格P1, 消費(fèi),者收入水平Y(jié), 替代商品的價(jià)格P2).,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,一個(gè)自變量 一元函數(shù) y = f (x),長方形面積=長寬 A=xy.,多元函數(shù)的實(shí)例,u =f (x, y, z),長方體體積=長寬高 V=xyz.,定義8.2,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,也可記為D( f ).,其中, 變量x, y稱為自變量;,為函數(shù)的定義域,z 稱為因變量;,設(shè)D是一個(gè)非空的二元有序數(shù)組的集合, f,為某一對(duì)應(yīng)規(guī)則, 使對(duì)于每一個(gè)有序數(shù)組,確定的實(shí)數(shù)z與之對(duì)應(yīng),都有唯一,則稱對(duì)應(yīng)規(guī)則 f 為定義在 D,上的二元函數(shù),記為,集合D稱,對(duì)于,所對(duì)應(yīng)的z值,記為,或,稱為當(dāng),時(shí), 函數(shù)z=f (x, y)的函數(shù)值.,全體函數(shù)值的集合,數(shù)的值域, 記為Z或Z( f ).,稱為函,例1,設(shè)Z表示居民人均消費(fèi)收入,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定義域?yàn)?S1為消費(fèi)率,為二元函數(shù),值域?yàn)?值域?yàn)?類似可定義三元函數(shù),和,一般的n元函數(shù).,例2,Y表示國民收入總額,S2為居民消費(fèi)率,則有,為二元函數(shù),定義域?yàn)?此函數(shù)反映一個(gè)國家居民人,均消費(fèi)收入依賴于國民收入總額和總?cè)丝跀?shù).,量為Z,P表示總?cè)丝跀?shù),自變量為Y 和 P, 因變,自變量為x, y, 因變量為z,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(二) 二元函數(shù)的定義域,可以是整個(gè),z=f (x,y)的定義域幾何上一般為平面區(qū)域,也可以是由幾條平面曲線或直線圍成的圖形.,鄰域,點(diǎn)P0(x0, y0)的 鄰域是點(diǎn)集,內(nèi)(部)點(diǎn),平面點(diǎn)集E,點(diǎn)P0存在一個(gè) 鄰域?qū)儆贓,邊界點(diǎn),P0的任何鄰域內(nèi)既有屬于E的點(diǎn),E的點(diǎn)P0是E的一個(gè)邊界點(diǎn).,點(diǎn)P0為E的內(nèi)(部)點(diǎn).,邊界,點(diǎn)集E的所有邊界點(diǎn)的集合為E的邊界.,它表示以P0為圓心, 以為半徑的圓的內(nèi)部,也有不屬于,E的邊界點(diǎn)不一定屬于E.,xoy平面,外(部)點(diǎn),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,開集,無界區(qū)域,開區(qū)域(區(qū)域),連通集,連通的開集就是開區(qū)域,閉區(qū)域,開區(qū)域和它的邊界構(gòu)成閉區(qū)域,有界區(qū)域,如果存在M0, 使區(qū)域E中任意點(diǎn),E是開集E中所有的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn),集中任意兩點(diǎn)都可用折線連接起來的點(diǎn)集,也簡稱為區(qū)域.,半開區(qū)域,開區(qū)域和它的部分邊界構(gòu)成,半開區(qū)域,若對(duì)于任意給定的M0, 區(qū)域E中總存在點(diǎn),P(x,y)都有,則E為有界區(qū)域.,P(x,y),使,則E為無界區(qū)域.,例如，在平面上,開區(qū)域,閉區(qū)域,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,無界區(qū)域,無界區(qū)域,有界區(qū)域, 整個(gè)平面, 點(diǎn)集,是開集，,是最大的開區(qū)域 ,也是最大的閉區(qū)域；,但非區(qū)域 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束, 在平面上,是半開區(qū)域.,求函數(shù)的定義域,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,的定義域?yàn)?的定義域?yàn)?方法同一元函數(shù).,長方體體積,的定義域,的定義域,如右圖.,函數(shù),是第一象限(不包括坐標(biāo)軸).,解:,例3,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,求函數(shù),的定義域.,例4,求f (x, y).,令,解:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,設(shè),于是,所以,(三)二元函數(shù)的幾何意義,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,一個(gè)平面區(qū)域D( f ) 三維空間中一個(gè)曲面F(x,y,z)=0,三維空間中的一個(gè)曲面,M(x,y) f (x,y) (x,y,f (x,y) P(x,y,z),一元函數(shù) y = f (x),二元函數(shù) z = f (x,y),平面xoy上的一條曲線,注意: 分清定義域和圖形.,例如, 二元函數(shù),定義域?yàn)?圓域,圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,圖形為右圖中所示空間曲面 .,三元函數(shù),定義域?yàn)?圖形為四維空間中的超曲面.,單位閉球,定義域?yàn)閤oy平面,例5,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解:,作二元函數(shù),的圖形.,移項(xiàng)得,兩邊平方,這是中心為(0,1,0),半徑為1的球面.,是該球面的上半部分.,函數(shù)的定義域,函數(shù)的圖形,課堂練習(xí),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解:,1. 已知函數(shù),試求,2.,求函數(shù)定義域, 并畫圖.,