《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》PPT課件.ppt

第二章 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)簡(jiǎn)介,第一節(jié) 統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ) 第二節(jié) 線(xiàn)性代數(shù)基礎(chǔ) 第三節(jié) 回歸與分析,第一節(jié) 統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ),一、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差與變異系數(shù) 二、顯著性檢驗(yàn) 三、方差分析 四、協(xié)方差分析,一、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差與變異系數(shù),（一）平均數(shù)：算術(shù)平均數(shù)是指資料中各觀測(cè)值的總和除以觀測(cè)值個(gè)數(shù)所得的商，簡(jiǎn)稱(chēng)平均數(shù)或均數(shù)，記為 。算術(shù)平均數(shù)可根據(jù)樣本大小及分組情況而采用直接法或加權(quán)法計(jì)算。 平均數(shù)的基本性質(zhì):(1)樣本各觀測(cè)值與平均數(shù)之差的和為零，即離均差之和等于零。(2)樣本各觀測(cè)值與平均數(shù)之差的平方和為最小，即離均差平方和為最小。 對(duì)于總體而言，通常用表示總體平均數(shù)，有限總體的平均數(shù)為： 式中，N表示總體所包含的個(gè)體數(shù)。 當(dāng)一個(gè)統(tǒng)計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于所估計(jì)的總體參數(shù)時(shí)，則稱(chēng)此統(tǒng)計(jì)量為該總體參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量。統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用樣本平均數(shù)作為總體平均數(shù)（）的估計(jì)量，并已證明樣本平均數(shù) 是總體平均數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量。 1、算術(shù)平均數(shù)（arithmetic mean）： 直接求算法和加權(quán)平均值法 2、中位數(shù)（median）:將資料內(nèi)所有觀測(cè)值從小到大依次排列，位于中間的那個(gè)觀測(cè)值，稱(chēng)為中位數(shù)，記為Md。當(dāng)觀測(cè)值的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，則以中間兩個(gè)觀測(cè)值的平均數(shù)作為中位數(shù)。中位數(shù)簡(jiǎn)稱(chēng)中數(shù)。當(dāng)所獲得的數(shù)據(jù)資料呈偏態(tài)分布時(shí)，中位數(shù)的代表性?xún)?yōu)于算術(shù)平均數(shù)。,3、眾數(shù)（mode）：出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)觀測(cè)值或次數(shù)最多一組的組中值，稱(chēng)為眾數(shù)，記為M0。 4、幾何平均數(shù)（geometric mean）： n個(gè)觀測(cè)值相乘之積開(kāi)n次方所得的方根，稱(chēng)為幾何平均數(shù)，記為G。 5、調(diào)和平均數(shù)（harmonic mean）：各觀測(cè)值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，稱(chēng)為調(diào)和平均數(shù)，記為H。,（二）標(biāo)準(zhǔn)差及變異系數(shù),平均值只能反映效應(yīng)的平均高低，而變異程度是另一個(gè)衡量效應(yīng)的重要指標(biāo)。 極差和離均差不能全面反映變異程度，后者有正負(fù)號(hào)，離均差之和為0。 離均差平方和除以自由度得到均方（mean square縮寫(xiě)為MS）,又稱(chēng)樣本方差，記為S2。S2= 相應(yīng)的總體參數(shù)叫總體方差，記為2。對(duì)于有限總體而言， 統(tǒng)計(jì)學(xué)上把樣本方差S2的平方根叫做樣本標(biāo)準(zhǔn)差，記為S ： 相應(yīng)的總體參數(shù)叫總體標(biāo)準(zhǔn)差，記為 。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，常用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差。 在樣本服從正態(tài)分布的條件下，資料中約有68.26%的觀測(cè)值在平均數(shù)左右一倍標(biāo)準(zhǔn)差（S）范圍內(nèi)；約有95.43%的觀測(cè)值在平均數(shù)左右兩倍標(biāo)準(zhǔn)差（2S）范圍內(nèi)；約有99.73%的觀測(cè)值在平均數(shù)左右三倍標(biāo)準(zhǔn)差（3S）范圍內(nèi)。也就是說(shuō)全距近似地等于6倍標(biāo)準(zhǔn)差,變異系數(shù)：變異系數(shù)是衡量資料中各觀測(cè)值變異程度的另一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。當(dāng)進(jìn)行兩個(gè)或多個(gè)資料變異程度的比較時(shí)，如果度量單位與平均數(shù)相同，可以直接利用標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)比較。如果單位和（或）平均數(shù)不同時(shí)，比較其變異程度就不能采用標(biāo)準(zhǔn)差，而需采用標(biāo)準(zhǔn)差與平均數(shù)的比值（相對(duì)值）來(lái)比較。標(biāo)準(zhǔn)差與平均數(shù)的比值稱(chēng)為變異系數(shù)，記為CV。變異系數(shù)可以消除單位和（或）平均數(shù)不同對(duì)兩個(gè)或多個(gè)資料變異程度比較的影響。 變異系數(shù)的計(jì)算公式為：,二、假設(shè)（顯著性）檢驗(yàn),對(duì)總體分布或分布中的某些參數(shù)作出假設(shè)，然后利用樣本的觀測(cè)值所提供的信息，檢驗(yàn)這種假設(shè)是否成立，這一統(tǒng)計(jì)推斷過(guò)程，稱(chēng)為假設(shè)檢驗(yàn)。 （1）待檢驗(yàn)假設(shè)或零假設(shè)記為H0，正在被檢驗(yàn)的與相對(duì)立的假設(shè)H1稱(chēng)為備選假設(shè)或?qū)α⒓僭O(shè)。 （2） 假設(shè)檢驗(yàn)的依據(jù)小概率原理：小概率事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上不會(huì)發(fā)生。 （3） 假設(shè)檢驗(yàn)的思路是概率性質(zhì)的反證法。即首先假設(shè)成立，然后根據(jù)一次抽樣所得的樣本值得信息，若導(dǎo)致小概率事件發(fā)生，則拒絕原假設(shè)，否則接受原假設(shè)。,假設(shè)檢驗(yàn)的程序及方法,1、假設(shè)檢驗(yàn)程序 根據(jù)題意提出零假設(shè)H0（或相應(yīng)備選假設(shè)H1）。 構(gòu)造樣本統(tǒng)計(jì)量并確定其分布； 給定顯著性水平a，查表確定臨界值，從而得出接受域和拒絕域； 由樣本觀測(cè)值計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量的值； 作出判斷：若統(tǒng)計(jì)量的值落入拒絕域則拒絕H0，若統(tǒng)計(jì)量的值落入接受域則接受H0。 2、假設(shè)檢驗(yàn)的主要方法有： Z檢驗(yàn)法、t檢驗(yàn)法、c2檢驗(yàn)法、F檢驗(yàn)法。,t-檢驗(yàn),以樣本平均數(shù)作為檢驗(yàn)對(duì)象，由兩個(gè)樣本平均數(shù)差異的大小去推斷樣本所屬總體平均數(shù)是否相同是有其依據(jù)的。 （一）t-檢驗(yàn)的基本步驟： 1）首先對(duì)試驗(yàn)樣本所在的總體作假設(shè)，無(wú)效假設(shè)（null hypothesis）, 記作H0：m1=m2或m1-m2 =0。無(wú)效假設(shè)是被檢驗(yàn)的假設(shè)，通過(guò)檢驗(yàn)可能被接受，也可能被否定。否定時(shí)可提出 備擇假設(shè)（alternative hypothesis）,記作HA：m1m2或m1-m20； 2）在無(wú)效假設(shè)成立的前提下，構(gòu)造合適的統(tǒng)計(jì)量，并研究試驗(yàn)所得統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布，計(jì)算無(wú)效假設(shè)正確的概率，繼而查表找出其概率。 3）根據(jù)“小概率事件實(shí)際不可能性原理”否定或接受無(wú)效假設(shè)，根據(jù)這一原理，當(dāng)試驗(yàn)的表面效應(yīng)是試驗(yàn)誤差的概率小于0.05時(shí)，可以認(rèn)為在一次試驗(yàn)中試驗(yàn)表面效應(yīng)是試驗(yàn)誤差實(shí)際上是不可能的，因而否定原先所作的無(wú)效假設(shè) ： m1=m2 ，接受備擇假設(shè) ：m1 m2 ，即認(rèn)為：試驗(yàn)的處理效應(yīng)是存在的。,在t-檢驗(yàn)中，備擇假設(shè) 包括了 m1 或 m2兩種可能。 雙側(cè)t-檢驗(yàn)：在 水平上否定域?yàn)?和 ，對(duì)稱(chēng)地分配在t分布曲線(xiàn)的兩側(cè)尾部，每側(cè)的概率為a /2，這種利用兩尾概率進(jìn)行的檢驗(yàn)叫雙側(cè)檢驗(yàn)（two-sided test），也叫雙尾檢驗(yàn)（two-tailed test）, 為雙側(cè)檢驗(yàn)的臨界t值。 單側(cè)t-檢驗(yàn)：這種利用一側(cè)概率進(jìn)行的檢驗(yàn)叫單側(cè)檢驗(yàn)（one-sided test）也叫單尾檢驗(yàn)（one-tailed test）。此時(shí) 為單側(cè)檢驗(yàn)的臨界t值。顯然，單側(cè)檢驗(yàn)的 =雙側(cè)檢驗(yàn)的 。,（二）方差分析,多個(gè)平均數(shù)的差異顯著性檢驗(yàn)不宜用t檢驗(yàn)，須采用方差分析法。 方差分析(analysis of variance)是由英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家R.A.Fisher于1923年提出的。這種方法是將k個(gè)處理的觀測(cè)值作為一個(gè)整體看待，把觀測(cè)值總變異的平方和及自由度分解為相應(yīng)于不同變異來(lái)源的平方和及自由度，進(jìn)而獲得不同變異來(lái)源總體方差估計(jì)值；通過(guò)計(jì)算這些總體方差的估計(jì)值的適當(dāng)比值，就能檢驗(yàn)各樣本所屬總體平均數(shù)是否相等。方差分析實(shí)質(zhì)上是關(guān)于觀測(cè)值變異原因的數(shù)量分析，它在實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中應(yīng)用十分廣泛。 總體方差與已知值相等的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)2 檢驗(yàn)法 兩總體方差的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)檢驗(yàn)法,方差分析的基本原理與步驟,線(xiàn)性模型與基本假定,設(shè)想每一個(gè)處理的觀察響應(yīng)值是一個(gè)隨機(jī)變量，m是總均值，ai是第i個(gè)處理的唯一的參數(shù)（第i個(gè)處理效應(yīng)），ei是隨機(jī)誤差，則： 是第i個(gè)處理的效應(yīng)表示處理i對(duì)試驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生的影響。 效應(yīng)的可加性（additivity）、分布的正態(tài)性（normality）、方差的同質(zhì)性（homogeneity） 假設(shè)模型誤差是獨(dú)立的正態(tài)分布的隨機(jī)變量，其均值為零，方差為s2,方差分析的基本步驟,（一）計(jì)算各項(xiàng)平方和與自由度。 （二）列出方差分析表，計(jì)算F值，與臨界值比較，進(jìn)行F檢驗(yàn)。 （三）若F檢驗(yàn)顯著，則進(jìn)行多重比較。多重比較的方法有最小顯著差數(shù)法(LSD法)和最小顯著極差法(LSR法：包括q檢驗(yàn)法和新復(fù)極差法)。表示多重比較結(jié)果的方法有三角形法和標(biāo)記字母法。,例3,為了比較四種不同增溶劑對(duì)某藥物的增溶效果，對(duì)加有四種增溶劑的處方進(jìn)行了實(shí)驗(yàn),結(jié)果如下表。,這是一個(gè)單因素試驗(yàn)，處理數(shù)k=4，重復(fù)數(shù)n=5。各項(xiàng)平方和及自由度計(jì)算如下： 矯正數(shù) 總平方和 處理間平方和 處理內(nèi)平方和 總自由度 處理間自由度 處理內(nèi)自由度 用SSt、SSe分別除以dft和dfe便得到處理間均方MSt及處理內(nèi)均方Mse F=MSt/MSe=38.09/5.34=7.13*；根據(jù)df1=dft=3，df2=dfe=16查F表，得FF0.01(3，16) =5.29,P0.01，表明四種不同增溶劑的效果差異極顯著,方差分析表,多重比較,F值顯著或極顯著，否定了無(wú)效假設(shè)，表明試驗(yàn)的總變異主要來(lái)源于處理間的變異，試驗(yàn)中各處理平均數(shù)間存在顯著或極顯著差異，但并不意味著每?jī)蓚€(gè)處理平均數(shù)間的差異都顯著或極顯著，也不能具體說(shuō)明哪些處理平均數(shù)間有顯著或極顯著差異，哪些差異不顯著。 有必要進(jìn)行兩兩處理平均數(shù)間的比較，即多重比較(multiple comparisons)。以具體判斷兩兩處理平均數(shù)間的差異顯著性 多重比較的方法甚多，常用的有最小顯著差數(shù)法(LSD法),最小顯著差數(shù)法 (LSD法，least significant difference),此法的基本作法是：在F檢驗(yàn)顯著的前提下，先計(jì)算出顯著水平為的最小顯著差數(shù)，然后將任意兩個(gè)處理平均數(shù)的差數(shù)的絕對(duì)值與其比較。若LSDa時(shí)，則與在水平上差異顯著；反之，則在水平上差異不顯著。最小顯著差數(shù)由下式計(jì)算。 (1)列出平均數(shù)的多重比較表，比較表中各處理按其平均數(shù)從大到小自上而下排列； (2)計(jì)算最小顯著差數(shù)和； (3)將平均數(shù)多重比較表中兩兩平均數(shù)的差數(shù)與、比較，作出統(tǒng)計(jì)推斷。,例3的LSD法比較,單一自由度的正交比較,事先按照一定的原則設(shè)計(jì)好(k-1)個(gè)正交比較，將處理間平方和根據(jù)設(shè)計(jì)要求剖分成有意義的各具一個(gè)自由度的比較項(xiàng)，然后用F檢驗(yàn)(此時(shí)df1=1)，這就是所謂單一自由度的正交比較(orthogonal comparison of single degree of freedom)，也叫單一自由度的獨(dú)立比較(independent comparison of single degree of freedom)。單一自由度的正交比較有成組比較和趨勢(shì)比較兩種情況，后者要涉及到回歸分析。,例4,某試驗(yàn)研究不同藥物對(duì)腹水癌的治療效果，將患腹水癌的25只小白鼠隨機(jī)分為5組，每組5只。其中A1組不用藥作為對(duì)照，A2、A3為用兩個(gè)不同的中藥組，A4、A5為用兩個(gè)不同的西藥組，各組小白鼠的存活天數(shù)如下表所示。,這是一個(gè)單因素試驗(yàn)，處理數(shù)k=4，重復(fù)數(shù)n=5。各項(xiàng)平方和及自由度計(jì)算如下： 矯正數(shù) 總平方和 處理間平方和 處理內(nèi)平方和 總自由度 處理間自由度 處理內(nèi)自由度 用SSt、SSe分別除以dft和dfe便得到處理間均方MSt及處理內(nèi)均方Mse,這是一個(gè)單因素試驗(yàn)，其中k=5,n=5，按照前面介紹的方法進(jìn)行方差分析，可以得到方差分析表，說(shuō)明組間有顯著差異。試驗(yàn)者還想了解：(1)不用藥物治療與用藥物治療；(2)中藥與西藥；(3)中藥A2與中藥A3；(4)西藥A4與西藥A5；相比結(jié)果如何?,首先將表中各處理的總存活天數(shù)抄于下表，然后寫(xiě)出各預(yù)定比較的正交系數(shù)Ci(orthogonal coefficient)。 各個(gè)比較的正交系數(shù)確定后，便可獲得每一比較的總和數(shù)的差數(shù)Di，其通式為： 進(jìn)而可求得各比較的平方和SSi，式中的n為各處理的重復(fù)數(shù)，本例n=5。 SS1+SS2+SS3+SS4正是處理間平方和SSt。這也就是說(shuō)，利用上面的方法我們已將處理間具4個(gè)自由度的平方和再度分解為各具一個(gè)自由度的4個(gè)正交比較的平方和 查F值表，df1=1,df2=20時(shí)，F(xiàn)0.05(1,20) =4.35，F(xiàn)0.01(1,20) =8.10。所以，在這一試驗(yàn)的上述4個(gè)比較差異都極顯著,協(xié)方差分析的意義,協(xié)方差分析有二個(gè)意義 ， 一是對(duì)試驗(yàn)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)控制，二是對(duì)協(xié)方差組分進(jìn)行估計(jì)。 為了提高試驗(yàn)的精確性和準(zhǔn)確性 ，對(duì)處理以外的一切條件都需要采取有效措施嚴(yán)加控制，使它們?cè)诟魈幚黹g盡量一致，這叫試驗(yàn)控制。但在有些情況下，即使作出很大努力也難以使試驗(yàn)控制達(dá)到預(yù)期目的。這時(shí)可利用x與y的回歸關(guān)系， 將y都矯正為x相同時(shí)的值，于是x不同對(duì)y的影響就消除了。由于矯正后的y是應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法將初始重控制一致而得到的，故叫統(tǒng)計(jì)控制。統(tǒng)計(jì)控制是試驗(yàn)控制的一種輔助手段。經(jīng)過(guò)這種矯正，試驗(yàn)誤差將減小，對(duì)試驗(yàn)處理效應(yīng)估計(jì)更為準(zhǔn)確。若 y 的變異主要由x的不同造成(處理沒(méi)有顯著效應(yīng))，則各矯正后的處理間將沒(méi)有顯著差異(但原y間的差異可能是顯著的)。若 y的變異除掉x不同的影響外， 尚存在不同處理的顯著效應(yīng)，則可期望各 間將有顯著差異 (但原y間差異可能是不顯著的)。此外，矯正后的 和原y的大小次序也常不一致。所以， 處理平均數(shù)的回歸矯正和矯正平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)，能夠提高試驗(yàn)的準(zhǔn)確性和精確性，從而更真實(shí)地反映試驗(yàn)實(shí)際。這種將回歸分析與方差分析結(jié)合在一起，對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析的方法，叫做協(xié)方差分析(analysis of covariance)。,二、估計(jì)協(xié)方差組分 在兩個(gè)相關(guān)變量線(xiàn)性相關(guān)性質(zhì)與程度的相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式： 若將公式右端的分子分母同除以自由度(n-1)，得,下一張,主 頁(yè),退 出,上一張,其中 是x的均方MSx，它是x的 方差 的無(wú)偏估計(jì)量； 是y的均方MSy，它是y的 方差 的無(wú)偏估計(jì)量；,稱(chēng)為x與y的平均的離均差的乘積和，簡(jiǎn)稱(chēng)均積，記為MPxy，即,與 均 積 相 應(yīng) 的 總 體參 數(shù) 叫 協(xié) 方 差（covariance），記為COV(x,y)或 。統(tǒng)計(jì)學(xué)證明了，均積MPxy是總體協(xié)方差COV(x,y)的無(wú)偏估計(jì)量，即 EMPxy= COV(x,y)。 于是，樣本相關(guān)系數(shù)r可用均方MSx、MSy，均積MPxy表示為：,相應(yīng)的總體相關(guān)系數(shù)可用x與y的總體標(biāo)準(zhǔn)差 、 ，總體協(xié)方差COV(x,y)或 表示如下：,均積與均方具有相似的形式 ， 也有相似的性質(zhì)。在方差分析中，一個(gè)變量的總平方和與自由度可按變異來(lái)源進(jìn)行剖分，從而求得相應(yīng)的均方。統(tǒng)計(jì)學(xué)已證明：兩個(gè)變量的總乘積和與自由度也可按變異來(lái)源進(jìn)行剖分而獲得相應(yīng)的均積。這種把兩個(gè)變量的總乘積和與自由度按變異來(lái)源進(jìn)行剖分并獲得獲得相應(yīng)均積的方法亦稱(chēng)為協(xié)方差分析。,在隨機(jī)模型的方差分析中，根據(jù)均方MS 和期望均方 EMS的關(guān)系， 可以得到不同變異來(lái)源的方差組分的估計(jì)值。同樣，在隨機(jī)模型的協(xié)方差分析中，根據(jù)均積 MP 和期望均積 EMP 的關(guān)系，可 得 到 不同變異來(lái)源的協(xié)方差組分的估計(jì)值。有了這些估計(jì)值，就可進(jìn)行相應(yīng)的總體相關(guān)分析。,協(xié)方差分析的計(jì)算步驟如下： (一)求x變量的各項(xiàng)平方和與自由度 1、總平方和與自由度 dfT（x）=kn-1=412-1=47,2、處理間平方和與自由度,=k-1=4-1=3,3、處理內(nèi)平方和與自由度 (二)求y變量各項(xiàng)平方和與自由度 1、總平方和與自由度,2、處理間平方和與自由度 3、處理內(nèi)平方和與自由度 (三) 求x和y兩變量的各項(xiàng)離均差乘積和與自由度 1、總乘積和與自由度,=kn-1=412-1=47 2、處理間乘積和與自由度 =1.64,=k-1=4-1=3 3、處理內(nèi)乘積和與自由度 平方和、乘積和與自由度的計(jì)算結(jié)果列于表103。 表103 x與y的平方和與乘積和表,(四) 對(duì)x和y各作方差分析 協(xié)方差分析表,(五) 協(xié)方差分析 1、誤差項(xiàng)回歸關(guān)系的分析 誤差項(xiàng)回歸關(guān)系分析的意義是要從剔除處理間差異的影響的誤差變異中找出y與x之間是否存在線(xiàn)性回歸關(guān)系。計(jì)算出誤差項(xiàng)的回歸系數(shù)并對(duì)線(xiàn)性回歸關(guān)系進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，若顯著則說(shuō)明兩者間存在回歸關(guān)系。這時(shí)就可應(yīng)用線(xiàn)性回歸關(guān)系來(lái)校正y值以消去x不同對(duì)它的影響。然后根據(jù)校正后的y值來(lái)進(jìn)行方差分析。如線(xiàn)性回歸關(guān)系不顯著，則無(wú)需繼續(xù)進(jìn)行分析。,回歸分析的步驟如下： (1) 計(jì)算誤差項(xiàng)回歸系數(shù)，回歸平方和，離回歸平方和與相應(yīng)的自由度 從誤差項(xiàng)的平方和與乘積和求誤差項(xiàng)回歸系數(shù)： 誤差項(xiàng)回歸平方和與自由度 dfR(e)=1,誤差項(xiàng)離回歸平方和與自由度 =85.08-47.49=37.59 (2) 檢驗(yàn)回歸關(guān)系的顯著性 表 回歸關(guān)系顯著性檢驗(yàn)表,F檢驗(yàn)表明，誤差項(xiàng)回歸關(guān)系極顯著，因此，可以利用線(xiàn)性回歸關(guān)系來(lái)校正y，并對(duì)校正后的y進(jìn)行方差分析。 2、對(duì)校正后的y作方差分析 (1)求校正后的y的各項(xiàng)平方和及自由度 利用線(xiàn)性回歸關(guān)系對(duì)y作校正 ，并由校正后的y計(jì)算各項(xiàng)平方和是相當(dāng) 麻煩的，統(tǒng)計(jì)學(xué)已證明，校正后的總平方和、誤差平方和及自由度等于其相應(yīng)變異項(xiàng)的離回歸平方和及自由度，因此，其各項(xiàng)平方和及自由度可直接由下述公式計(jì)算。, 校正y的總平方和與自由度，即總離回歸平方和與自由度 = - =47-1=46 校正y的誤差項(xiàng)平方和與自由度，即誤差離回歸平方和與自由度 = - =44-1=43 上述回歸自由度均為1，因僅有一個(gè)自變量x。, 校正y的處理間平方和與自由度 =57.87-37.59=20.28 (10-15) =k-1=4-1=3 (2) 列出協(xié)方差分析表，對(duì)校正后的y進(jìn)行方差分析 查F值： =4.275(由線(xiàn)性?xún)?nèi)插法計(jì)算)，由于F=7.63 ，P0.01，表明對(duì)于校正后的y不同處理間存在極顯著的差異。故須進(jìn)一步檢驗(yàn)不同處理間的差異顯著性，即進(jìn)行多重比較。,表 協(xié)方差分析表,第二節(jié) 線(xiàn)性代數(shù)基礎(chǔ),1.矩陣的定義,定義1 由mn個(gè)數(shù),(I=1,2, ,m ; j=1,2, ,n),排成的m行n列數(shù)表,稱(chēng)為m行n列矩陣，,簡(jiǎn)稱(chēng)為mn矩陣.記為,矩陣通常用大寫(xiě)的英文字母A，B，C等表示。,稱(chēng),為矩陣A的第i行第j列元素。,（1）當(dāng)m=1時(shí)，矩陣只有一行，稱(chēng)為行矩陣，即,（2）當(dāng)n=1時(shí)，矩陣只有一列，稱(chēng)為列矩陣，即,（3）當(dāng)m=n時(shí)，稱(chēng)A為n階矩陣或n階方陣。,例1.,設(shè),則A是一個(gè)23矩陣，B是一個(gè)2階方陣，,A的（2，3）元是1。,下面介紹幾種常用的特殊矩陣：,（1） 元素全為零的矩陣稱(chēng)為零矩陣，記作O；,以外元素全為零的方陣，即形如,（2）主對(duì)角線(xiàn)上的元素不全為零，而主對(duì)角線(xiàn),的矩陣稱(chēng)為,對(duì)角矩陣,記為,例如,（3）對(duì)角線(xiàn)上元素全為1的n階對(duì)角矩陣:,稱(chēng)為n階單位矩陣。,記為I,（4）形如,的方陣,稱(chēng)為上三角陣.,(5)形如,的方陣，,稱(chēng)為下三角矩陣。,(6)逆矩陣(或反矩陣)：當(dāng)矩陣AB的積為單位矩陣時(shí)，B稱(chēng)為A的逆矩陣，記做A-1 A可逆的條件是：A為方陣；A的行列式非0；,（7）矩陣的轉(zhuǎn)置,把矩陣A的行相應(yīng)轉(zhuǎn)換為列，即xij轉(zhuǎn)置為xji，得到的矩陣稱(chēng)之為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為A。 在實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中，模型矩陣X，則XX稱(chēng)之為信息矩陣（information matrix）。為方陣，對(duì)主對(duì)角線(xiàn)對(duì)稱(chēng)。,（8）矩陣的行列式(Determinant),矩陣的行列式只是當(dāng)矩陣為方陣時(shí)存在，是一個(gè)數(shù)，通常記做 ，對(duì)于22和33矩陣的行列式：,（9）正交矩陣：當(dāng)矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣與逆矩陣相等時(shí)，稱(chēng)為正交矩陣。 A=A-1,2.兩個(gè)矩陣相等,定義2.若矩陣 A與矩陣B的所有對(duì)應(yīng)的元素相等，則A=B。,3.矩陣的初等變換,定義3 下列三種變換稱(chēng)為矩陣的初等變換,1.對(duì)調(diào)矩陣的任意兩行元素，記作,2.用數(shù)k,乘矩陣的某行所有元素，記作,3.用數(shù)k,乘矩陣中某行的每個(gè)元素后加到,另一行的對(duì)應(yīng)元素上去,記作,將定義中的,“行”換成“列”,就得到矩陣的初等列變,換的定義,將“r”換成“c”,就得到列變換的表示方法.,矩陣的初等行變換與初等列變換,統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的初等變換.,如果矩陣A經(jīng)過(guò)有限次初等變換變成矩陣B,則稱(chēng),矩陣A與B等價(jià),記作,上述兩個(gè)矩陣具有如下特點(diǎn)：,（1）每個(gè)臺(tái)階上只有一行；,（2）每個(gè)臺(tái)階的第一個(gè)數(shù)不等于零；,（3）臺(tái)階左下方的元素全為零。,具有以上三個(gè)特點(diǎn)的矩陣稱(chēng)為行階梯形矩陣。,再觀察以下兩個(gè)階梯形矩陣：,這兩個(gè)階梯形矩陣都具有如下特點(diǎn)：,（4）每個(gè)臺(tái)階上的第一個(gè)數(shù)都是1，,并且這些1,所在列的其它元素全為零。,具有特點(diǎn)（4）的行階梯形矩陣稱(chēng)為行最簡(jiǎn)階梯形矩陣。,定理 1.1.1,每個(gè)矩陣都可以經(jīng)過(guò)有限次初等行變,換化為行階梯形矩陣,進(jìn)而化為行最簡(jiǎn)階梯形矩陣。,例 2試用初等行變換將,化為行階梯形，,進(jìn)而化為行最,簡(jiǎn)階梯形矩陣。,解,繼續(xù)使用初等行變換，將B化為行最簡(jiǎn)階梯形矩陣：,注：矩陣的初等變換是可逆的,4、矩陣的運(yùn)算,加法和減法：行、列一致的矩陣可以進(jìn)行加、減運(yùn)算。 矩陣的乘法：AB兩個(gè)矩陣相乘的條件是前者的列數(shù)與后者的行數(shù)相等，得到矩陣AB的行數(shù)為A的行數(shù)，列數(shù)為B的列數(shù)。其中新矩陣中的元素cij為A矩陣中第i行與B矩陣中第j列相應(yīng)的元素的乘積之和： 矩陣的乘法有結(jié)合律，無(wú)交換律： （AB）C=A（BC） ABBA,第三節(jié) 回歸分析,一、回歸分析簡(jiǎn)介 二、線(xiàn)性回歸 三、多元回歸,一、回歸分析簡(jiǎn)介,解析實(shí)驗(yàn)結(jié)果 RSM分析：通常是多項(xiàng)式 通常采用最小二乘法（Least squares regression）,例1 表面活性劑對(duì)藥物溶解度的影響,膽酸鹽如膽酸鈉、脫氧膽酸鈉、甘膽酸鈉等?？梢栽谌芤褐行纬赡z束，用于增溶。長(zhǎng)鏈磷脂酰膽堿盡管不能自身形成膠束，但可以嵌合于膽酸鹽膠束中形成混合膠束，這種混合膠束可以用于靜脈注射，耐受性好。為了考察膽酸鹽和卵磷脂對(duì)安定溶解度的影響，有人設(shè)計(jì)了一個(gè)析因設(shè)計(jì)。 表1 因素-