《重積分計(jì)算》PPT課件.ppt

第二節(jié) 重積分的計(jì)算,直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分 舉例 小結(jié),A(x),dV=A(x)dx,x,定積分中已知截面面積為 A(x)的立體-元素法/微元法,.,a,V,b,二重積分的計(jì)算1 (D是矩形區(qū)域),y,a,b,c,d,D,D是矩形區(qū)域 a,b ; c,d,z=f (x,y),y,a,b,c,d,D,D是矩形區(qū)域 a,b ; c,d,z=f (x,y),問題：Q( y)是什么圖形？,Q( y ) =,是曲邊梯形。,.,二重積分的計(jì)算1 (D是矩形區(qū)域),.,I,y,a,b,c,d,D,.,Q( y ) =,I,同理，也可以先對 y 積分,.,.,z=f (x,y),D是矩形區(qū)域 a,b ; c,d,二重積分的計(jì)算1 (D是矩形區(qū)域),二次積分,二次積分,如果積分區(qū)域?yàn)椋?其中函數(shù) 、 在區(qū)間 上連續(xù).,X型,積分區(qū)域的類型：,如果積分區(qū)域?yàn)椋?Y型,c,d,D,z=f (x,y),x=(y),x=(y),y,D: (y) x (y) c y d,二重積分的計(jì)算2（D是曲線梯形區(qū)域）,c,d,D,z=f (x,y),x=(y),x=(y),.,y,問題：Q( y)是什么圖形？,D: (y) x (y) c y d,也是曲邊梯形 !,.,Q( y ) =,I =,二重積分的計(jì)算2（D是曲線梯形區(qū)域）,.,x=(y),y,c,d,D,.,D: (y) x (y) c y d,.,Q( y ) =,I =,二重積分的計(jì)算2（D是曲線梯形區(qū)域）,x=(y),z=f (x,y),D: x1(y) x x2(y) c y d,I =,x2(y),x1 (y),c,d,y,二重積分計(jì)算的兩種積分順序,D,Y型,c,d,y,D,x2(y),x1 (y),I =,二重積分計(jì)算的兩種積分順序,.,D: x1(y) x x2(y) c y d,Y型,c,d,y,D,D: y1(x) y y2(x) a x b,I =,a,b,y1(x),y2(x),D,x2(y),x1 (y),x,I =,二重積分計(jì)算的兩種積分順序,.,D: x1(y) x x2(y) c y d,Y型,X型,c,d,y,D,I =,a,b,y1(x),y2(x),D,x2(y),x1 (y),x,二重積分計(jì)算的兩種積分順序,.,I =,D: x1(y) x x2(y) c y d,D: y1(x) y y2(x) a x b,Y型,X型,c,d,y,D,I =,a,b,y1(x),y2(x),D,x2(y),x1 (y),x,二重積分計(jì)算的兩種積分順序,.,I =,D: x1(y) x x2(y) c y d,D: y1(x) y y2(x) a x b,Y型,X型,X型區(qū)域的特點(diǎn)： 穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn). 積分次序：先Y后X。,Y型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn). 積分次序：先X后Y。,若區(qū)域如圖，,在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式,則須進(jìn)行分割.,解：,積分區(qū)域如圖,如果積分區(qū)域即是X-型又是Y-型的 ，則重積分既可以轉(zhuǎn)化為先對x后對y的 ，也可以轉(zhuǎn)化為先y后x的二次積分（累次積分）,解：,積分區(qū)域如圖,解：,原式,2a,2a,a,D:,解：,0 x 2a,D1,D2,.,.,.,.,另： 將積分換序,.,注：這種方法要求 f (x, y) 在D2上有定義甚至連續(xù),解：,1,1,3,y = x,x = y 2,D,.,.,.,例5、計(jì)算,解：,解：,1,1,y = x2,D,2 先對 y 積分（從下到上）,1 畫出區(qū)域 D 圖形,3 先對 x 積分（從左到右）,.,.,.,y = x,.,.,.,用兩種順序計(jì)算,a,b,1,D1,（定積分三角代換）,.,.,瓦里斯公式,=,附：,瓦里斯公式,二重積分在直角坐標(biāo)下的計(jì)算公式,在積分中要正確選擇積分次序與正確給出積分限，且定積分中的各種技巧在這里仍然適用。,本節(jié)小結(jié),Y型,X型,D: 由四條直線 : x=3，x=5, 3x 2y+4 = 0, 3x 2y+1 = 0 共同圍成的區(qū)域 .,3,5,5,8,3x 2y+4 = 0,3x 2y+1 = 0,D,.,D1,D2,D3,先對y積分【X-型】,先對x積分【Y-型】（需分塊）,.,.,.,.,練習(xí)一：將二重積分化成二次積分,如果先對 y 積分,無法進(jìn)行,因此先對 x 積分,二次積分中的第一次積分要易于計(jì)算， 且最終形成只是關(guān)于第二個(gè)變量的函數(shù)。,一