一元二次方程式以及幾種主要解法.ppt

一元二次方程及其解法,已知 ，求 的值,答案：,小結(jié)：,都可轉(zhuǎn)化為a=b=0,已知 ，求 的值,3,3,2,想一想,一、復(fù)習(xí)提問、,1、一元二次方程的一般形式是什么？,2、一元二次方程分類,探究交流,（1）判斷方程X（X10）=X23是否是一元二次方程？ （2）方程3 X22X=1的常數(shù)項(xiàng)是1，方程 3 X22X6=0的一次項(xiàng)系數(shù)是2，這種說法對嗎？,答案：（1）化簡后為10X3=0,所以它是一元一次方程。,（2）要將一元二次方程化為一般形式，且系數(shù)包括它前面的性質(zhì)符號。,練習(xí)：,（1）方程（m2）X|m|3mx1=0是關(guān)于X的一元二次方程，求m的值。,答案：m=2,（2）當(dāng)m= 時(shí)，方程（m21）x2（m1）x1=0是關(guān)于x的一元一次方程。,答案：m=1,（3）已知關(guān)于x的一元二次方程（m1） x23x1=0有一個(gè)解是0，求m的值。,答案：m=1,（4）m為何值時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程 mx2m2x1= x2x 沒有一次項(xiàng)？,答案：m=1,活動1,如圖，有一塊矩形鐵皮，長100 cm，寬50 cm 在它的四個(gè)角分別切去一個(gè)正方形，然后將四周突出 的部分折起，就能制作一個(gè)無蓋方盒如果要制作的 無蓋方盒的底面積是3 600 cm2，那么鐵皮各角應(yīng)切去 多大的正方形？(課件：制作盒子),問題1,活動1,要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個(gè)隊(duì)之間 都要比賽一場根據(jù)場地和時(shí)間等條件，賽程計(jì)劃 安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應(yīng)該邀請 多少個(gè)隊(duì)參賽？（課件：探索比賽場次）,問題2,例 已知：關(guān)于x的方程 (2m-1)x2-(m-1)x=5m 是一元二次方程, 求：m的取值范圍.,解： 原方程是一元二次方程， 2m-10， m .,方程的解的定義,使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做這個(gè)方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。如：X=3,X=2都是一元二次方程 X25X6=0 的根。 注意：一元二次方程可以無解，若有解，就一定有兩個(gè)解。,活動2,3猜測下列方程的根是什么？,方程的根：使一元二次方程等號兩邊相等 的未知數(shù)的取值叫作一元二次方程的解（又叫 做根）.,4.（1）下列哪些數(shù)是方程,的根？從中你能體會根的作用嗎？ 4，3，2，1，0，1，2，3，4,活動2,（2）若x2是方程 的一個(gè),根，你能求出a的值嗎？,根的作用： 可以使等號成立.,活動3,鞏固練習(xí),1你能根據(jù)所學(xué)過的知識解出下列方程的解嗎？ （1） ； （2） .,一元二次方程的解法(1) -開平方法,問題1：,一桶某種油漆可刷的面的為1500dm2，李林用這桶油漆恰好刷好完10個(gè)同樣的正方體形狀的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱長嗎？,設(shè)正方體的棱長為X，則一個(gè)正方體的表面積為6X2.根據(jù)一桶油漆可刷的面積，列出方程,解,由此可得,根據(jù)平方根的意義，得,即,因?yàn)槔忾L不能是負(fù)值，所以正方體的棱長為5dm.,思考,對照上面解方程的過程，你認(rèn)為應(yīng)怎樣解方程 及方程,由方程,得：,即,方程的兩根為,解,方程,可化為,得,方程的兩根為,當(dāng)ac0時(shí) ，,形如 （a0，c 0）的一元二次方程的解法：,當(dāng)ac0時(shí) ，此方程無實(shí)數(shù)解.,-3x2+7=0.,解：,例題講解,解：系數(shù)化1，得,開平方，得,解這兩個(gè)一元一次方程，得,或,小結(jié),如何解形如 的一元二次方程?,小結(jié)與思考,方程可化為一邊是 _,另一邊是_,那么就可以用直接開平方法來求解.,1、怎樣的一元二次方程可以用直接開平方法 來求解?,含未知數(shù)的完全平方式,一個(gè)常數(shù),2、直接開平方法的理論依據(jù)是什么?,平方根的定義及性質(zhì),例題講解,拓展與提高：,一元二次方程的解法(2) -配方法,復(fù)習(xí),填空,x2-2x+ ( ) = x+ ( )2 x2+6x+ ( ) = x- ( )2,3) x2+ + ( ) = x+ ( )2 4) y2-y+ ( ) = y- ( )2,1,-1,9,-3,(1)x28x =(x4)2 (2)x23x =(x )2 (3)x212x =(x )2,填空,配方時(shí),若二次項(xiàng)系數(shù)為1，則配上的 常數(shù)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.,請同學(xué)解下列方程 （1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9,上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p0）的形式，,那么可得,如：4x2+16x+16=（2x+4）2,x=,（p0）,或mx+n=,二、探索新知 列出下面二個(gè)問題的方程并回答： （1）列出的經(jīng)化簡為一般形式的方程與剛才解題的方程有什么不同呢？ （2）能否直接用上面三個(gè)方程的解法呢？,問題1：印度古算中有這樣一首詩：“一群猴子分兩隊(duì)，高高興興在游戲，八分之一再平方，蹦蹦跳跳樹林里；其余十二嘰喳喳，伶俐活潑又調(diào)皮，告我總數(shù)共多少，兩隊(duì)猴子在一起”,大意是說：一群猴子分成兩隊(duì)，一隊(duì)猴子數(shù)是猴子總數(shù)的 的平方，另一隊(duì)猴子數(shù)是12，那么猴子總數(shù)是多少？你能解決這個(gè)問題嗎？,問題1：設(shè)總共有x只猴子，根據(jù)題意，得：,整理得：x2-64x+768=0,問題2：如圖，在寬為20m，長為32m的矩形地面上，修筑同樣寬的兩條平行且與另一條相互垂直的道路，余下的六個(gè)相同的部分作為耕地，要使得耕地的面積為5000m2，道路的寬為多少？,問題2：設(shè)道路的寬為x，則可列方程：,（20-x）（32-2x）=5000,整理，得：x2-36x-2180=0,（1）列出的經(jīng)化簡為一般形式的方程與前面講的三道題不同之處是：前三個(gè)左邊是含有x的完全平方式而后二個(gè)不具有 （2）不能 既然不能直接降次解方程，那么，我們就應(yīng)該設(shè)法把它轉(zhuǎn)化為可直接降次解方程的方程，下面，我們就來講如何轉(zhuǎn)化：,x2-64x+768=0,移項(xiàng),x2-64x=-768,兩邊加（,）2使左邊配成,x2+2bx+b2,的形式,x2-64x+322=-768+1024,左邊寫成平方形式 ,（x-32）2=256,降次,x-32=16,即 x-32=16或x-32=-16,解一次方程x1=48，x2=16,可以驗(yàn)證：x1=48，x2=16都是方程的根，所以共有16只或48只猴子,用配方法解一元二次方程的步驟:,移項(xiàng):把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊; 配方:方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù) 一半的平方; 開方:根據(jù)平方根意義,方程兩邊開平方; 求解:解一元一次方程; 定解:寫出原方程的解.,活動1,1要使一塊矩形場地的長比寬多6 cm，并且面積為16 cm2，場地的長和寬分別是多少？,歸納：通過配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是為了降次，把一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程.,先把方程的常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，再把左邊配成一個(gè)完全平方式，如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法來求出它的解.,配方法,練習(xí)：,綠苑小區(qū)住宅設(shè)計(jì)，準(zhǔn)備在每兩幢樓房 之間，開辟面積為900平方米的一塊長方形綠 地，并且長比寬多10米，那么綠地的長應(yīng)是 多少米？,活動2,做一做,用配方法解下列方程: (1)x26x=1 (2)x2=65x (3) x24x3=0,用配方法解方程,x212x=9,你能總結(jié)出配方法的步驟嗎?,鞏固練習(xí),1.在用配方法解 時(shí),方程的兩邊應(yīng)同時(shí)加上( ),2.解方程:,3、說明多項(xiàng)式 的值恒大于0,4、先用配方法說明：不論x取何值，代數(shù)式 值總大于0，再求出當(dāng)x取何值時(shí)，代數(shù)式 的值最小？最小值是多少？,你能行嗎,用配方法解下列方程. 1.x2 2 = 0; 2.x2 -3x- =0 ; 3.x24x2； 4.x26x10 ；,5.3x2 +8x 3=0 ;,這個(gè)方程與前4個(gè)方程不一樣的是二次項(xiàng)系數(shù)不是1,而是3.,基本思想是: 如果能轉(zhuǎn)化為前4個(gè)方程的形式,則問題即可解決.,你想到了什么辦法?,配方法,例2 解方程 3x2+8x-3=0.,1.化1:把二次項(xiàng)系數(shù)化為1;,3.配方:方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)絕對值一半的平方;,4.變形:方程左分解因式,右邊合并同類;,5.開方:根據(jù)平方根意義,方程兩邊開平方;,6.求解:解一元一次方程;,7.定解:寫出原方程的解.,2.移項(xiàng):把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊;,成功者是你嗎,用配方法解下列方程. 6. 4x2 - 12x - 1 = 0 ; 7. 3x2 + 2x 3 = 0 ; 8. 2x2 + x 6 = 0 ; 9.4x2+4x+10 =1-8x .,10. 3x2 - 9x +2 = 0 ; 11. 2x2 +6=7x ; 12. x2 _x +56 = 0 ; 13. -3x2+22x-24=0.,你能行嗎,做一做 一小球以15m/s的初速度豎直向上彈出,它在空中的高度h(m)與時(shí)間t(s)滿足關(guān)系: h=15t-5t2 . 小球何時(shí)能達(dá)到10m的高度?,回味無窮,本節(jié)課復(fù)習(xí)了哪些舊知識呢？ 繼續(xù)請兩個(gè)“老朋友”助陣和加深對“配方法”的理解運(yùn)用: 平方根的意義: 完全平方式:式子a22ab+b2叫完全平方式,且a22ab+b2 =(ab)2. 本節(jié)課你又學(xué)會了哪些新知識呢？ 用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)不是1的一元二次方程的步驟: 1.化1:把二次項(xiàng)系數(shù)化為1(方程兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù)); 2.移項(xiàng):把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊; 3.配方:方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)絕對值一半的平方; 4.變形:方程左分解因式,右邊合并同類; 5.開方:根據(jù)平方根意義,方程兩邊開平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:寫出原方程的解. 用一元二次方程這個(gè)模型來解答或解決生活中的一些問題(即列一元二次方程解應(yīng)用題).,如果x2=a,那么x=,設(shè)a0，a,b,c 都是已知數(shù)，并且 b2-4ac0，試用配方法解方程： ax2 +bx+c = 0.,?,b2-4ac0,因?yàn)?解,一元二次方程的解法(3) -求根公式法,一元二次方程ax2+bx+c=0( a0)的 求根公式 x= （b2-4ac0）,活動2,利用公式法解下列方程，從中你能發(fā)現(xiàn)什么？,解,活動2,歸納： （1）一元二次方程 的根是由一元二次方程的系數(shù) 確定的； （2）在解一元二次方程時(shí)，可先把方程化為一般形式，然后在 的前提下，把 各個(gè) 系數(shù)的值代入求根公式，可求得方程的兩個(gè)根 ； （3）由求根公式可以知道一元二次方程最多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 .,1用公式法解下列方程，根據(jù)方程根的 情況你有什么結(jié)論？,活動3,活動3,結(jié)論,（1）當(dāng) 時(shí)，一元二次方程 有實(shí)數(shù)根,活動3,結(jié)論,（2）當(dāng) 時(shí)，一元二次方程 有實(shí)數(shù)根,活動4,結(jié)論,（3）當(dāng) 時(shí)，一元二次方程 無實(shí)數(shù)根.,活動5,2某養(yǎng)雞廠的矩形雞舍長靠墻，現(xiàn)在有材料可以制作竹籬笆13米，若欲圍成20平方米的雞舍，雞舍的長和寬應(yīng)是多少？能圍成22平方米的雞舍嗎，若可以求出長和寬，若不能說明理由。 （課件：圍矩形場地）,例： 解方程 ( 1 ) 3y2-2y=1,一般步驟： （1）先把方程化為一般形式 （2）確定a,b,c （3）判定=b2-4ac的值 （4）代入求根公式,（2）,復(fù)習(xí)引入:,1、已學(xué)過的一元二次方程解 法有哪些？ 2、請用已學(xué)過的方法解方程 x2 4=0,一元二次方程的解法(4) -因式分解法,自學(xué)檢測題,1、 什么樣的一元二次方程可以用因式分解法來解？,2、用因式分解法解一元二次方程，其關(guān)鍵是什么？,3、用因式分解法解一元二次方程的理論依據(jù)是什么?,4、用因式分解法解一元二方程，必須要先化成一般形式嗎？,例：解方程：x2=3x,解：移項(xiàng)，得x2-3x=0,將方程左邊分解因式，得x(x-3)=0,x=0 或x-3=0,原方程的解為：x1=0 x2=-3,這種解一元二次方程的方法叫因式分解法。,特點(diǎn)：在一元二次方程的一邊是0， 而另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式時(shí)，就可以用因式 分解法來解。,例1、解下列方程 1、x23x10=0 2、(x+3)(x-1)=5,解：原方程可變形為 解：原方程可變形為 (x5)(x+2)=0 x2+2x8=0 (x2)(x+4)=0 x5=0或x+2=0 x2=0或x+4=0 x1=5 ,x2=-2 x1=2 ,x2=-4,用因式分解法解一元二次方程的步驟,1o方程右邊化為 。 2o將方程左邊分解成兩個(gè) 的乘積。 3o至少 因式為零，得到兩個(gè)一元一次方程。 4o兩個(gè) 就是原方程的解。,零,一次因式,有一個(gè),一元一次方程的解,快速回答：下列各方程的根分別是多少？,例2 解下列方程：,（1） x2-3x-10=0,（2） （x+3）（x-1）=5,填空題練習(xí)：,（1）方程x（x+1）=0的根是_.,（2）已知x=0是關(guān)于x的一元二次方程 （m+1）x2+3x+m2-3m-4=0的一個(gè)根， 則m=_.,（3）若方程ax2+bx+c=0的各項(xiàng)系數(shù)之和 滿足a-b+c=0，則此方程必有一根是_.,選擇題訓(xùn)練 1.對于方程(x-a)(x-b)=0,下列結(jié)論正確的是( ) （A） x-a=0 （B）x-a=0或x-b=0 （C） x-b=0 （D）x-a=0且x-b=0 2、方程x(x-2)=2(2-x)的根為( ) （A）-2 （B）2 （C） 2 （D）2、2 3、方程(x-1)=(1-x)的根是( ) （A）0 （B）1 （C）-1和0 （D）1和0,B,C,D,用因式分解法解下列方程：,y2=3y,(2a3)2=(a2)(3a4),x2+7x+12=0,(x5)(x+2)=18,t(t+3)=28,(4x3)2=(x+3)2,我最棒 ,用分解因式法解下列方程,參考答案：,1. ;,2. ；,4. ;,2.解一元二次方程的方法： 直接開平方法 配方法 公式法 因式分解法,小 結(jié)：,1o方程右邊化為 。 2o將方程左邊分解成兩個(gè) 的乘積。 3o至少 因式為零，得到兩個(gè)一元一次方程。 4o兩個(gè) 就是原方程的解,零,一次因式,有一個(gè),一元一次方程的解,1.用因式分解法解一元二次方程的步驟：,右化零 左分解 兩因式 各求解,簡記歌訣：,一元二次方程應(yīng)用,例1.某鋼鐵廠去年1月某種鋼的產(chǎn)量為5000噸，3月上升到7200噸,這兩個(gè)月平均每個(gè)月增長的百分率是多少?,分析:2月份比一月份增產(chǎn) 噸. 2月份的產(chǎn)量是 噸 3月份比2月份增產(chǎn) 噸 3月份的產(chǎn)量是 噸,5000(1+x),5000x,5000(1+x)x,5000(1+x)2,解:平均每個(gè)月增長的百分率為x 列方程 5000(1+x)2 =7200 化簡 (1+ x)2 =1.44 x1=0.2 x2=-2.2 檢驗(yàn): x2= -2.2(不合題意), x1=0.2 =20% 答:平均每個(gè)月增長的百分率是20%.,例2:某月餅原來每盒售價(jià)96元,由于賣不出去，結(jié)果兩次降價(jià),現(xiàn)在每盒售價(jià)54元,平均每次降價(jià)百分之幾?,總結(jié):1.兩次增長后的量=原來的量(1+增長率)2 若原來量為a,平均增長率是x,增長后的量為A 則 第1次增長后的量是A=a(1+x) 第2次增長后的量是A=a(1+x)2 第n次增長后的量是A=a(1+x)n 這就是重要的增長率公式.,2.兩次降價(jià)后價(jià)格=原價(jià)格(1-降價(jià)率)2 公式表示：A=a(1-x)2,一.復(fù)習(xí)填空: 1、某工廠一月份生產(chǎn)零件1000個(gè)，二月份生產(chǎn)零件1200個(gè)，那么二月份比一月份增產(chǎn) 個(gè)？ 增長率是多少 。 2、銀行的某種儲蓄的年利率為6%，小民存 1000元，存滿一年，利息= 。 存滿一年連本帶利的錢數(shù)是 。,200,20%,1060元,利息= 本金利率,增長量=原產(chǎn)量 增長率,60元,4.康佳生產(chǎn)一種新彩霸,第一個(gè)月生產(chǎn)了5000臺,第二個(gè)月增產(chǎn)了50%,則:第二個(gè)月比第一個(gè)月增加了 _ 臺,第二個(gè)月生產(chǎn)了 _ 臺;,500050%,5000(1+50%),3.某產(chǎn)品，原來每件的成本價(jià)是500元，若每件售價(jià)625元，則每件利潤是 .每件利潤率是 .,利潤=成本價(jià)利潤率,125元,25%,例3, 某科技公司研制成功一種產(chǎn)品,決定向銀行貸款200萬元資金用于這種產(chǎn)品,簽定的合同上約定兩年到期一次性還本付息,利息為本金的8%,該產(chǎn)品投放市場后,由于產(chǎn)銷對路,使公司在兩年到期時(shí)除還清貸款的本金和利息外,還盈余72萬元.該公司在生產(chǎn)期間每年比上一年資金增長的百分?jǐn)?shù)相同,求這個(gè)百分?jǐn)?shù)？,解：設(shè)這個(gè)百分?jǐn)?shù)為x，依題意得： 200(1 + x)2 = 72 + 200(1 + 8%) (1 + x)2 = 1.44 1 + x = 1.2 , 則 x1 = 0.2 , x2 = - 2.2 (不合題意，舍去.）,利息為本金的8%,四川省中考題,甲、乙兩人做某種機(jī)器零件，已知甲每小時(shí)比乙多做6個(gè)，甲做90個(gè)零件所用的時(shí)間和乙做60個(gè)零件所用時(shí)間相等，求甲、乙每小時(shí)各做多少個(gè)零件？,解：設(shè)甲每小時(shí)做x個(gè)零件則乙每小時(shí)做（ x 6）個(gè)零件， 依題意,得,經(jīng)檢驗(yàn)X=15是原方程的根。,答：甲每小時(shí)做18個(gè)，乙每小時(shí)12個(gè),請審題分析題意 設(shè)元,我們所列的是一個(gè)分式方程，這是分式方程的應(yīng)用,由x18得x6=12,等量關(guān)系：甲用時(shí)間=乙用時(shí)間,解這個(gè)方程,得,1、 甲、乙兩人練習(xí)騎自行車，已知甲每小時(shí)比乙多走6千米，甲騎90千米所用的時(shí)間和乙起騎60千米所用時(shí)間相等，求甲、乙每小時(shí)各騎多少千米？,2、甲、乙兩種商品，已知甲的價(jià)格每件比乙多6元，買甲90件所用的錢和買乙60件所用錢相等，求甲、乙每件商品的價(jià)格各多少元