2018_2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.2雙曲線2.2.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)講義含解析新人教A版.docx

22.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)預(yù)習(xí)課本P4953，思考并完成以下問(wèn)題 1雙曲線有哪些幾何性質(zhì)？2雙曲線的頂點(diǎn)、實(shí)軸、虛軸分別是什么？3雙曲線的漸近線、等軸雙曲線的定義分別是什么？1雙曲線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a0，b0)1(a0，b0)性質(zhì)圖形焦點(diǎn)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|2c性質(zhì)范圍xa或 xa，yya或 ya，x對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)軸實(shí)軸：線段A1A2，長(zhǎng)：；虛軸：線段B1B2，長(zhǎng)：；半實(shí)軸長(zhǎng)：，半虛軸長(zhǎng)：離心率e(1，)漸近線yxyx2等軸雙曲線實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫等軸雙曲線，它的漸近線是yx，離心率為e.點(diǎn)睛對(duì)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)(1)雙曲線的焦點(diǎn)決定雙曲線的位置；(2)雙曲線的離心率和漸近線刻畫(huà)了雙曲線的開(kāi)口大小，離心率越大，雙曲線的開(kāi)口越大，反之亦然1判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)雙曲線1的焦點(diǎn)在y軸上()(2)雙曲線的離心率越大，雙曲線的開(kāi)口越開(kāi)闊()(3)以y2x為漸近線的雙曲線有2條()答案：(1)(2)(3)2雙曲線y21的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()A(4,0)，(0,1)B(4,0)，(4,0)C(0,1)，(0，1) D(4,0)，(0，1)答案：B3中心在原點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為10，虛軸長(zhǎng)為6的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.1B.1或1C.1D.1或1答案：B4(2017全國(guó)卷)雙曲線1(a0)的一條漸近線方程為yx，則a_.答案：5雙曲線的幾何性質(zhì)典例求雙曲線9y24x236的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、離心率和漸近線方程解雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是1，a29，b24，a3，b2，c.又雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，(3,0)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，(，0)，實(shí)軸長(zhǎng)2a6，虛軸長(zhǎng)2b4，離心率e，漸近線方程為yx.由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)的解題步驟(1)把雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是解決本題的關(guān)鍵；(2)由標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)位置，確定a，b的值；(3)由c2a2b2求出c值，從而寫出雙曲線的幾何性質(zhì)注意求性質(zhì)時(shí)一定要注意焦點(diǎn)的位置 活學(xué)活用1已知雙曲線1與1，下列說(shuō)法正確的是()A兩個(gè)雙曲線有公共頂點(diǎn)B兩個(gè)雙曲線有公共焦點(diǎn)C兩個(gè)雙曲線有公共漸近線D兩個(gè)雙曲線的離心率相等解析：選C雙曲線1的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)都在x軸上，而雙曲線1的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)都在y軸上，因此可排除選項(xiàng)A、B；雙曲線1的離心率e1，而雙曲線1的離心率e2，因此可排除選項(xiàng)D；易得C正確2(2017北京高考)若雙曲線x21的離心率為，則實(shí)數(shù)m_.解析：由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知a21，b2m，所以e，解得m2.答案：2由雙曲線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程典例(1)(2017天津高考)已知雙曲線1(a0，b0)的左焦點(diǎn)為F，離心率為.若經(jīng)過(guò)F和P(0,4)兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為()A.1B.1C.1 D.1(2)過(guò)點(diǎn)(2，2)且與y21有相同漸近線的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)解析(1)由e知，雙曲線為等軸雙曲線，則其漸近線方程為yx，故由P(0,4)，知左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(4,0)，所以c4，則a2b28.故雙曲線的方程為1.(2)法一：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，由于.故可設(shè)方程為1，代入點(diǎn)(2，2)得b22(舍去)；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，可知，故可設(shè)方程為1，代入點(diǎn)(2，2)得a22.所以所求雙曲線方程為1.法二：因?yàn)樗箅p曲線與已知雙曲線y21有相同的漸近線，故可設(shè)雙曲線方程為y2(0)，代入點(diǎn)(2，2)得2，所以所求雙曲線的方程為y22，即1.答案(1)B(2)1求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法與技巧(1)一般情況下，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程關(guān)鍵是確定a，b的值和焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，若給出雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或焦點(diǎn)坐標(biāo)，則焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸易得再結(jié)合c2a2b2及e列關(guān)于a，b的方程(組)，解方程(組)可得標(biāo)準(zhǔn)方程(2)如果已知雙曲線的漸近線方程為yx，那么此雙曲線方程可設(shè)為(0) 活學(xué)活用求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)虛軸長(zhǎng)為12，離心率為；(2)焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，且過(guò)點(diǎn)(5,3)；(3)頂點(diǎn)間距離為6，漸近線方程為yx.解：(1)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1(a0，b0)由題意知2b12，且c2a2b2，b6，c10，a8，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.(2)e，ca，b2c2a2a2.又焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a0)把點(diǎn)(5,3)代入方程，解得a216.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(3)設(shè)以yx為漸近線的雙曲線方程為(0)，當(dāng)0時(shí)，a24，2a26.當(dāng)0，b0)的右焦點(diǎn)作一條與其漸近線平行的直線，交C于點(diǎn)P.若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2a，則C的離心率為_(kāi)解析如圖所示，不妨設(shè)與漸近線平行的直線l的斜率為，又直線l過(guò)右焦點(diǎn)F(c,0)，則直線l的方程為y(xc)因?yàn)辄c(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2a，代入雙曲線方程得1，化簡(jiǎn)得yb或yb(點(diǎn)P在x軸下方，故舍去)，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2a，b)，代入直線方程得b(2ac)，化簡(jiǎn)可得離心率e2.答案2求雙曲線離心率的兩種方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e求解，若已知a，b，可利用e 求解(2)方程法：若無(wú)法求出a，b，c的具體值，但根據(jù)條件可確定a，b，c之間的關(guān)系，可通過(guò)b2c2a2，將關(guān)系式轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次方程，借助于e，轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的n次方程求解 活學(xué)活用1如果雙曲線1右支上總存在到雙曲線的中心與右焦點(diǎn)距離相等的兩個(gè)相異點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是_解析：如圖，因?yàn)锳OAF，F(xiàn)(c,0)，所以xA，因?yàn)锳在右支上且不在頂點(diǎn)處，所以a，所以e2.答案：(2，)2設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a0，b0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小內(nèi)角為30，則C的離心率為_(kāi)解析：不妨設(shè)|PF1|PF2|，則|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，得|PF1|4a，|PF2|2a，|F1F2|2c，則在PF1F2中，PF1F230，由余弦定理得(2a)2(4a)2(2c)22(4a)(2c)cos 30，整理得(e)20，所以e.答案：層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1雙曲線2x2y28的實(shí)軸長(zhǎng)是()A2B2C4 D4解析：選C雙曲線方程可變形為1，所以a24，a2，從而2a4，故選C.2已知雙曲線的實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)，且過(guò)點(diǎn)(5,3)，則雙曲線方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析：選D由題意知，所求雙曲線是等軸雙曲線，設(shè)其方程為x2y2(0)，將點(diǎn)(5,3)代入方程，可得523216，所以雙曲線方程為x2y216，即1.3(2017全國(guó)卷)若a1，則雙曲線y21的離心率的取值范圍是()A(，) B(，2)C(1，) D(1,2)解析：選C由題意得雙曲線的離心率e.即e21.a1，01，112，1e.4若一雙曲線與橢圓4x2y264有公共的焦點(diǎn)，且它們的離心率互為倒數(shù)，則該雙曲線的方程為()Ay23x236 Bx23y236C3y2x236 D3x2y236解析：選A橢圓4x2y264可變形為1，a264，c2641648，焦點(diǎn)為(0,4)，(0，4)，離心率e，則雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，c4，e，從而a6，b212，故所求雙曲線的方程為y23x236.5已知雙曲線y21(a0)的實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、焦距長(zhǎng)成等差數(shù)列，則雙曲線的漸近線方程為()Ayx ByxCyx Dyx解析：選D由雙曲線方程為y21，知b21，c2a21，2b2,2c2.實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、焦距長(zhǎng)成等差數(shù)列，2a2c4b4，2a24，解得a.雙曲線的漸近線方程為yx.6已知點(diǎn)(2,3)在雙曲線C：1(a0，b0)上，C的焦距為4，則它的離心率為_(kāi)解析：由題意知1，c2a2b24，解得a1，所以e2.答案：27已知雙曲線1(a0，b0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(2，0)，且離心率為e，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)解析：由焦點(diǎn)坐標(biāo)，知c2，由e，可得a4，所以b2，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.答案：18已知雙曲線過(guò)點(diǎn)(4，)，且漸近線方程為yx，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)解析：法一：雙曲線的漸近線方程為yx，可設(shè)雙曲線的方程為x24y2(0)雙曲線過(guò)點(diǎn)(4，)，164()24，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.法二：漸近線yx過(guò)點(diǎn)(4,2)，而0，b0)由已知條件可得解得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.答案：y219求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)與雙曲線1具有相同的漸近線，且過(guò)點(diǎn)M(3，2)；(2)過(guò)點(diǎn)(2,0)，與雙曲線1離心率相等；(3)與橢圓1有公共焦點(diǎn)，離心率為.解：(1)設(shè)所求雙曲線方程為(0)由點(diǎn)M(3，2)在雙曲線上得，得2.故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)當(dāng)所求雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，可設(shè)其方程為(0)，將點(diǎn)(2,0)的坐標(biāo)代入方程得，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21；當(dāng)所求雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，可設(shè)其方程為(0)，將點(diǎn)(2,0)的坐標(biāo)代入方程得0，b0)因?yàn)閑，所以a2，則b2c2a25，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.法二：因?yàn)闄E圓焦點(diǎn)在x軸上，所以可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(1625)因?yàn)閑，所以1，解得21.故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.10設(shè)雙曲線1(0aa，所以e212，則e2.于是雙曲線的離心率為2.層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1若雙曲線與橢圓1有相同的焦點(diǎn)，它的一條漸近線方程為yx，則雙曲線的方程為()Ay2x296By2x2160Cy2x280 Dy2x224解析：選D設(shè)雙曲線方程為x2y2(0)，因?yàn)殡p曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且焦點(diǎn)為(0，4)，所以0，b0)由題意，知過(guò)點(diǎn)(4，2)的漸近線方程為yx，所以24，即a2b.設(shè)bk(k0)，則a2k，ck，所以e.故選D.3已知雙曲線E的中心為原點(diǎn)，F(xiàn)(3,0)是E的焦點(diǎn)，過(guò)F的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為N(12，15)，則E的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析：選B設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a0，b0)，由題意知c3，a2b29，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)則有兩式作差得，又AB的斜率是1，所以4b25a2，代入a2b29得a24，b25，所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是1.4已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，ABM為等腰三角形，且頂角為120，則E的離心率為()A. B2C. D.解析：選D不妨取點(diǎn)M在第一象限，如圖所示，設(shè)雙曲線方程為1(a0，b0)，則|BM|AB|2a，MBx18012060，M點(diǎn)的坐標(biāo)為.M點(diǎn)在雙曲線上，1，ab，ca，e.故選D.5已知雙曲線1(a0，b0)的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60的直線l與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是_解析：由題意，知，則3，所以c2a23a2，即c24a2，所以e24，所以e2.答案：2，)6雙曲線1的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點(diǎn)B，則AFB的面積為_(kāi)解析：雙曲線1的右頂點(diǎn)A(3,0)，右焦點(diǎn)F(5,0)，漸近線方程為yx.不妨設(shè)直線FB的方程為y(x5)，代入雙曲線方程整理，得x2(x5)29，解得x，y，所以B.所以SAFB|AF|yB|(ca)|yB|(53).答案：7已知雙曲線C：1(a0，b0)的一個(gè)焦點(diǎn)是F2(2,0)，離心率e2.(1)求雙曲線C的方程；(2)若斜率為1的直線l與雙曲線C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，線段MN的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4，求直線l的方程解：(1)由已知得c2，e2，所以a1，b.所以所求的雙曲線方程為x21.(2)設(shè)直線l的方程為yxm，點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)聯(lián)立整理得2x22mxm230.(*)設(shè)MN的中點(diǎn)為(x0，y0)，則x0，y0x0m，所以線段MN垂直平分線的方程為y，即xy2m0，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為(0,2m)，(2m,0)，可得|2m|2m|4，得m22，m，此時(shí)(*)的判別式0，故直線l的方程為yx.8已知雙曲線C：x2y21及直線l：ykx1.(1)若直線l與雙曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)若直線l與