浙江專用高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)三角函數(shù)解三角形5.4簡單的三角恒等變換第2課時簡單的三角恒等變換講義含解析.docx

第2課時簡單的三角恒等變換題型一三角函數(shù)式的化簡1化簡：.答案2cos解析原式2cos.2化簡：.答案cos2x解析原式cos2x.3化簡：2cos()解原式.思維升華 (1)三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則：一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征(2)三角函數(shù)式的化簡要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系(和、差、倍、互余、互補等)，尋找式子和三角函數(shù)公式之間的共同點題型二三角函數(shù)的求值命題點1給角求值與給值求值例1(1)2sin50sin10(1tan10).答案解析原式sin80cos102sin 50cos 10sin 10cos(6010)2sin(5010)2.(2)已知cos，則sin.答案解析由題意可得cos2，cossin2，即sin2.因為cos0，所以0，2，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，可得cos2，由兩角差的正弦公式，可得sinsin2coscos2sin.(3)已知cos，則的值為答案解析sin2sin2tan.由，得0.又(，2)，.(2)已知，(0，)，且tan()，tan，則2的值為答案解析tantan()0，00，02，tan(2)1.tan0，20，2.引申探究本例(1)中，若，為銳角，sin，cos，則.答案解析，為銳角，cos，sin，cos()coscossinsin.又00，2sin3cos，又sin2cos21，cos，sin，.(2)已知sin，sin()，均為銳角，則.答案解析因為，均為銳角，所以.又sin()，所以cos().又sin，所以cos，所以sinsin()sincos()cossin().所以.題型三三角恒等變換的應(yīng)用例3(2017浙江)已知函數(shù)f(x)sin2xcos2x2sinxcosx(xR)(1)求f的值；(2)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間解(1)由sin，cos，得f2222.(2)由cos2xcos2xsin2x與sin2x2sinxcosx，得f(x)cos2xsin2x2sin.所以f(x)的最小正周期是.由正弦函數(shù)的性質(zhì)，得2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ)思維升華三角恒等變換的應(yīng)用策略(1)進行三角恒等變換要抓住：變角、變函數(shù)名稱、變結(jié)構(gòu)，尤其是角之間的關(guān)系；注意公式的逆用和變形使用(2)把形如yasinxbcosx化為ysin(x)，可進一步研究函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值與對稱性跟蹤訓(xùn)練2(2018浙江紹興六校質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)mcosxsin的圖象經(jīng)過點P.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若f()，求sin的值解(1)由題意可知f，即，解得m1.所以f(x)cosxsincosxsinxsin，由正弦函數(shù)的性質(zhì)得，2kx2k，kZ，即2kx2k，kZ，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 (kZ)(2)由f()，得sin，所以sin.又，所以，sin，所以，所以cos.所以sinsin.化歸思想和整體代換思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用討論形如yasinxbcosx型函數(shù)的性質(zhì)，一律化成ysin(x)型的函數(shù)；研究yAsin(x)型函數(shù)的最值、單調(diào)性，可將x視為一個整體，換元后結(jié)合ysinx的圖象解決例已知函數(shù)f(x)4tanxsincos.(1)求f(x)的定義域與最小正周期；(2)討論f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性解(1)f(x)的定義域為.f(x)4tanxcosxcos4sinxcos4sinx2sinxcosx2sin2xsin2x(1cos2x)sin2xcos2x2sin.所以f(x)的最小正周期T.(2)因為x，所以2x，由ysinx的圖象可知，當2x，即x時，f(x)單調(diào)遞減；當2x，即x時，f(x)單調(diào)遞增所以當x時，f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減1若sin，則cos等于()ABC.D.答案A解析coscoscos.24cos50tan40等于()A.B.C.D21答案C解析原式4sin40.3已知sin2，tan()，則tan()等于()A2B1CD.答案A解析由題意，可得cos2，則tan2，tan()tan2()2.4在斜三角形ABC中，sinAcosBcosC，且tanBtanC1，則角A的值為()A.B.C.D.答案A解析由題意知，sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinCcosBcosC，在等式cosBcosCsinBcosCcosBsinC兩邊同除以cosBcosC，得tanBtanC，又tan(BC)1tanA，即tanA1，因為0A，所以A.5函數(shù)f(x)3sincos4cos2(xR)的最大值等于()A5B.C.D2答案B解析由題意知f(x)sinx4sinx2cosx2sin(x)2，其中cos，sin，xR，f(x)max2，故選B.6若函數(shù)f(x)5cosx12sinx在x時取得最小值，則cos等于()A.BC.D答案B解析f(x)5cosx12sinx1313sin(x)，其中sin，cos，由題意知2k(kZ)，得2k(kZ )，所以coscoscossin.7若cos，則sin2.答案解析由cos，可得cossin，兩邊平方得(12sincos)，sin2.8已知cos4sin4，且，則cos.答案解析cos4sin4(sin2cos2)(cos2sin2)cos2，又，2(0，)，sin2，coscos2sin2.9(2019寧波調(diào)研)定義運算adbc.若cos，0，則.答案解析由題意有sincoscossinsin()，又0，0，故cos()，而cos，sin，于是sinsin()sincos()cossin().又0，故.10函數(shù)f(x)sinx2sin2x的最小值是答案1解析f(x)sinx2sin1，又x，x，f(x)min2sin11.11已知tan，cos，求tan()的值，并求出的值解由cos，得sin，tan2.tan()1.，.12(2018浙江)已知角的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊過點P.(1)求sin()的值；(2)若角滿足sin()，求cos的值解(1)由角的終邊過點P，得sin.所以sin()sin.(2)由角的終邊過點P，得cos.由sin()，得cos().由()，得coscos()cossin()sin，所以cos或cos.13(2018浙江鎮(zhèn)海中學(xué)期中)圓x2y21上任意一點P，過點P作兩條直線分別交圓于A，B兩點，且APB，則|PA|2|PB|2的取值范圍為答案(3,6解析在ABP中，由正弦定理得2r2，r為ABP的外接圓半徑設(shè)PBA，又APB，所以PABPBA，PA2sin，PB2sin.|PA|2|PB|24sin24sin232sin22sincos4sin2cos242sin，因為，所以2，所以|PA|2|PB|2的取值范圍為(3,614在ABC中，A，B，C是ABC的內(nèi)角，設(shè)函數(shù)f(A)2sinsinsin2cos2，則f(A)的最大值為答案解析f(A)2cossinsin2cos2sinAcosAsin，因為0A，所以A0，cos，又(0，)，.將代入得cos，又(0，)，.16已知函數(shù)f(x)2sinxcosx2cos2x1(xR)(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值；(2)若f(x0)，x0，求cos2x0的值解(1)由f(x)2sinxcosx2cos2x1，得f(x