恒定電流的電場和磁場.ppt

第三章 恒定電流的電場和磁場, 3.1 恒定電流的電場,分類：傳導電流與運流電流,傳導電流是導體中的自由電子（或空穴）或者是電解液中的離子運動形成的電流。,運流電流是電子、離子或其它帶電粒子在真空或氣體中運動形成的電流。,一、 電流分布,1、（ 體）電流密度,設垂直通過S 的電流為I，則該點處的電流密度 為,載流導體內每一點都有一個電流密度，構成一個矢量場，稱這一矢量場為電流場。電流場的矢量線叫做電流線。,通過面積 S 的電流等于電流密度在 S 上的通量,電流密度 與流過任意面積S的電流強度 I 的關系：,2、（ 面）電流密度,設垂直通過L 的電流為I，則該點處的電流密度 為,二、 電流連續(xù)性方程,在電流場中有一閉合曲面S，由電荷守恒定律,電流連續(xù)性方程,要該積分對任意的體積V均成立，必須有被積函數(shù)為零,電流連續(xù)性方程微分形式,電流連續(xù)性方程積分形式,恒定電場的電流連續(xù)性方程,三、 歐姆定律的微分形式 電功率密度,一段載流I導體，端電壓為U，電阻為R，由歐姆定律,歐姆定律微分形式,電導率為無限大的導體稱為理想導電體。在理想導電體中，無需電場推動即可形成電流，所以在理想導電體中是不可能存在恒定電場的，否則，將會產生無限大的電流，從而產生無限大的能量。但是，任何能量總是有限的。,電導率為零的媒質，不具有導電能力，這種媒質稱為理想介質。理想介質內無電流存在。,電導率不為零的媒質，具有導電能力，這種媒質稱為導電介質。,表 常用材料的電導率,按電導率 對介質的分類,理想導體 理想介質（絕緣介質） 導電媒質,與介質的極化特性一樣，媒質的導電性能也表現(xiàn)出均勻與非均勻，線性與非線性以及各向同性與各同異性等特點，這些特性的含義與前相同。上述公式僅適用于各向同性的線性媒質。,運流電流的電流密度并不與電場強度成正比，而且電流密度的方向與電場強度的方向也可能不同?？梢宰C明運流電流的電流密度 與運動速度 的關系為,式中 為電荷密度。,焦耳定律 電功率密度,當導體兩端的電壓為U，流過的電流為I時，則在單位時間內電場力對電荷所作的功電功率,在導體中，沿電流線方向取一長度為L、截面為S的體積元，該體積元內消耗的功率為,載流導體內任一點的熱功率密度為,焦耳定律不適應于運流電流。因為對于運流電流而言，電場力對電荷所作的功轉變?yōu)殡姾傻膭幽?，而不是轉變?yōu)殡姾膳c晶格碰撞的熱能。,焦耳定律的微分形式,四、 恒定電流場的基本方程 電位方程,載流導電媒質中恒定電場的基本方程（不包括電源）,積分形式,微分形式,本構關系,電位及電位方程,對于均勻的導電媒質,恒定電場的電位滿足拉普拉斯方程,例 設一段環(huán)形導電媒質，其形狀及尺寸如圖示。計算兩個端面之間的電阻。,解 選用圓柱坐標系。設兩個端面之間的電位差為U，且令,當角度 時，電位 。,當角度 時，電位 。,由于導電媒質中的電位 僅與角度 有關，電位滿足的方程式為,此式的通解為,利用給定的邊界條件，求得,導電媒質中的電流密度 J 為,由 的端面流進該導電媒質的電流 I 為,該導電塊的兩個端面之間的電阻 R 為,五、 恒定電流場的邊界條件,由積分形式,可得恒定電流場中不同導電媒質分界面的邊界條件,即,恒定電流場的邊界條件為,恒定電流場中不同導電媒質分界面兩側的電場強度切向分量連續(xù)，但其法向分量不連續(xù)；而電流密度的法向分量連續(xù)，但其切向分量不連續(xù)。,在恒定電場中， 分界面處用電位表示的邊界條件為,應用邊界條件，可得分界面處的折射定理,討論：,兩種導電媒質,當一種導電媒質為不良導體 ，另一種導電媒質為良導體，若電導率 ，如同軸線的內外導體通常由電導率很高(107 數(shù)量級)的銅或鋁制,成，填充在兩導體間的材料不可能是理想的絕緣電介質, 總有很小的漏電導存在，如 聚乙烯的電導率為 10 -10 數(shù)量級，由,當12，第一種媒質為良導體時，第二種媒質為不良導體時， 只要1/2, 20，即在不良導體中， 電力線近似地與界面垂直，這時可將良導體的表面近似地看作等位面。,2）理想介質與良導體,可知E2不垂直導體表面, 導體表面不是等位面, 導體也不是等位體, 這是由于1有限, 導體中沿電流方向存在電場。而在靜電場中, 導體內電場強度為零, 介質中的場強總是垂直導體表面, 導體是等位體, 其表面是等位面。在這一點, 恒定電場與靜電場有根本的區(qū)別。 由上知，在均勻導體內電流沿平行于導體表面流動。,4）載恒定電流的均勻導電媒質內部無（體）電荷存在,即，載恒定電流的均勻導電媒質內部無（體）電荷存在，電荷分布在載流導體的表面。,4）有電流流過兩種導電媒質分界面時界面的電荷,當恒定電流通過電導率不同的兩導電媒質時,其電流密度和電場強度要發(fā)生突變。故分界面上必有電荷分布。,分界面上的面電荷密度,當 時， 分界面上的面電荷密度為零。,可見,在兩種導電媒質分界面上一般有一層自由電荷分布。如果導電媒質不均勻, 在媒質中還會有體電荷的存在。,六、 恒定電流場與靜電場的比擬,物理量的對偶關系,靜電場 恒定電場,因此，當恒定電流場與靜電場的邊界條件相同時，電流密度的分布與電場強度的分布特性完全相同。根據(jù)這種類似性，可以利用已經獲得的靜電場的結果直接求解恒定電流場。或者由于在某些情況下，恒定電流場容易實現(xiàn)且便于測量時，可用邊界條件與靜電場相同的電流場來研究靜電場的特性，這種方法稱為靜電比擬法。,靜電比擬法的理論依據(jù)：解的唯一性定理,可利用已經獲得的靜電場結果可以求解恒定電流場。,利用兩種場方程，可求兩個電極間的電阻及電導與電容的關系為,若已知兩電極之間的電容，由上述兩式可求得兩電極間的電阻及電導。,例如，已知面積為 S ，間距為 d 的平板電容器的電容 ，若填充的非理想介質的電導率為 ，則極板間的漏電導為,又如單位長度內同軸線的電容 ； 若同軸線填充介質具有的電導率為 ，則單位長度內同軸線的漏電導,1、真空中恒定磁場的基本方程 2、矢量磁位 3、磁偶極子 4、磁介質中的基本方程 5、 不同磁介質分界面的邊界條件 6、標量磁位 7、互感和自感 8、磁場能量 9、虛位移法求磁場力,第三章 恒定電流的電場和磁場, 3.2 3.3 恒定磁場的基本方程,安培力的實驗定律指出：在真空中載有電流I 1的回路C1上任一線元 對另一載有電流I2的回路C2上任一線元 的作用力為,1、電流產生磁場的規(guī)律,電流元 受的作用實際是電流元 產生的磁場對它的作用,即電流元 在電流元 處產生的磁場 為,上式就是熟知的畢薩定律,對于整個線電流產生的磁感應強度為,若電流是具有體分布的電流 ，則為,若電流是具有面分布的電流 ，則為,疊加原理,積分公式,積分公式,磁感應強度可用一系列有向曲線來表示。曲線上某點的切線方向為磁感應強度矢量的方向，這些曲線稱為磁感線（磁力線） 。磁場線的矢量方程為,2、磁場的幾何描述磁感線,3、恒定磁場的基本方程,1） 磁通連續(xù)性原理 （磁場的高斯定理）,以線電流的磁場為例，求一閉合曲面的磁通量,故上式可寫為,由矢量恒定式,磁通連續(xù)性原理（磁場的高斯定理）,由于上式中積分區(qū)域V是任意的， 所以對空間的各點， 有,上式是磁通連續(xù)性原理的微分形式，它表明磁感應強度 是一個無源(指散度源)場。,2）安培環(huán)路定理,其中的電流I為穿過以閉合曲線C為邊界的曲面上電流的代數(shù)和，即電流與閉合曲線相交鏈。,因上式的積分區(qū)域S是任意的， 因而有,上式是安培環(huán)路定理的微分形式，它說明磁場的渦旋源是電流。,真空中恒定磁場的基本方程,微分形式,積分形式,1、定義, 3.4 矢 量 磁 位 ,定義：,為矢量磁位(簡稱磁矢位)，其單位是Tm(特斯拉米)或Wb/m(韋伯/米)。矢量磁位是一個輔助量。,某點磁感應強度 B 等于該點矢量磁位 A 的旋度。,關于矢量磁位說明：,1）對于磁矢位散度的規(guī)定,因為 僅僅規(guī)定了磁矢位 的旋度，由亥姆霍茲定理知：還必須規(guī)定其散度，否則 不唯一，如：,、 具有相同的旋度，說明 不唯一，應規(guī)定其散度。,若有一矢量 滿足 ，另一矢量 （ 是一個任意標量函數(shù)）， 和 是兩個不同的矢量函數(shù)。,規(guī)定,2）磁通的計算可通過矢量磁位計算,（ 庫侖規(guī)定 ）,C是曲面S的邊界線。,使用矢量恒等式,2、矢量磁位方程,由關于 散度的規(guī)定,磁矢位的泊松方程,對于無電流分布的區(qū)域( )，磁矢位滿足矢量拉普拉斯方程,其分量方程為,在直角坐標系中,關于磁矢位積分表達式,與靜電場的電位方程比較，可得在直角坐標系中對于（體）電流分布，關于磁矢位的積分表達式,將其寫成矢量形式為,若磁場由面電流 JS 產生，其磁矢位為,線電流產生的磁矢位為,例1 求長度為l 的載流直導線的磁矢位。,解 : 用矢量磁位的疊加計算,取一電流元 ，在場點的矢量磁位 為,當l z 時有,若考慮l r, 即是無限長的載流導線，則有,當電流分布在無限區(qū)域時，一般應指定一個磁矢位的參考點， 可以使磁矢位不為無窮大。若指定 r = r0 處為磁矢位的零點時，有,對上式， 用圓柱坐標的旋度公式，可求出,例2 求一對載相同電流、但流向相反的的載流直導線的磁場。,解 :,在圓柱坐標中,例3 用磁矢位重新計算半徑為a、載流為I的長直圓柱導線的磁場。,解：,r a,r a,從電流分布可以知道磁矢位僅有z分量，而且它只是坐標r的函數(shù)，即,設在導線內磁位是 , 導線外磁位是,r a,r a,因為 ，A1必須有限，有C1 =0,（r a）,（ r a ）,可求出導線內、 外的磁場分別為,導體外部的磁感應強度為,常數(shù)C3 的確定可根據(jù)在圓柱面上的邊界條件計算為,3.5 磁 偶 極 子,利用矢量磁位的積分公式求解,利用矢量公式,因為求的是磁偶極子產生的遠區(qū)磁場， ，故有,因為上式積分是對圓面積進行的，即積分與r無關，且,矢量磁位 位于平行xy平面內， 將其在球坐標中表示，則知僅有 分量存在,磁偶極子產生的遠區(qū)磁場,與電偶極子產生的遠區(qū)電場比較,其場在空間的分布相同,位于外磁場中的磁偶極子，會受到外磁場的作用力及其力矩，其作用力和力矩的公式分別為, 3.6 磁介質中的場方程,1）磁化強度定義,式中 是體積元V內的任一分子磁矩。如在磁化介質中的體積元V內，每一個分子磁矩的大小和方向全相同(都為 )， 單位體積內分子數(shù)是N， 則磁化強度為,1、介質的磁化,2 ）磁化電流,設磁化介質的體積為V，表面積是S，磁化強度 ，計算在介質外部任一點的矢量磁位。,取體積元dV ， 將其中的介質當成一磁偶極子，其磁矩為 ，它在 處產生的磁位是,全部磁介質在 處產生的磁矢位為,將上式改寫為,利用矢量恒等式,將磁矢位的表示式變形為,磁化（體）電流密度 磁化（面）電流密度,左為磁化電流示意圖。磁介質磁化后將有磁化電流存在，它是由磁介質內分子電流的有序取向形成的。磁化電流也要產生磁場，從而影響原外磁場。,2、 磁場強度,在外磁場的作用下，磁介質內部有磁化電流，磁化電流和外傳導電流 都產生磁場，應將真空中的安培環(huán)路定律修改為：,關于 安培環(huán)路定律,3、 磁導率,對于線性的均勻磁介質，有關系為,式中 是一個無量綱常數(shù)，稱為磁化率，順磁介質的 ， 抗磁介質的 ，且這兩類介質的 量級。,式中 是介質的相對磁導率，是一個無量綱數(shù)。而 ，是介質的磁導率，單位和真空磁導率相同，為H/m(亨/米)。 鐵磁材料的 和 的關系是非線性的，且不是的單值函數(shù)， 會出現(xiàn)磁滯現(xiàn)象，其磁化率 的變化范圍很大，可以達到106量級。,磁導率為無限大的媒質稱為理想導磁體。在理想導磁體中不可能存在磁場強度，因為由式 可見，將有無限大的磁感應強度。產生無限大的磁感應強度需要無限大的電流，因而需要無限大的能量，顯然這是不可能的。,邊界上磁場強度的切向分量是連續(xù)的，因此，在理想導磁體表面上不可能存在磁場強度的切向分量，即磁場強度必須垂直于理想導磁體表面。,例、 在具有氣隙的環(huán)形磁芯上緊密繞制N 匝線圈，如圖示。當線圈中的恒定電流為 I 時，若忽略散逸在線圈外的漏磁通，試求磁芯及氣隙中的磁感應強度及磁場強度。,解 忽略漏磁通，磁感應強度的方向沿環(huán)形圓周。由邊界條件知，氣隙中磁感應強度Bg等于磁芯中的磁感應強度Bf ，即,圍繞半徑為r0的圓周，利用媒質中的安培環(huán)路定律，且考慮到 r0 a ， 可以認為線圈中磁場均勻分布，則由安培環(huán)路定理有,氣隙中的磁場強度Hg 為,磁芯中的磁場強度 Hf 為,4、 磁介質中恒定磁場基本方程,微分形式,積分形式：,各向同性的均勻磁介質,對于均勻介質( 為常數(shù))， 滿足矢量泊松方程,例 半徑為a、高為L的磁化介質柱(如圖所示)，磁化強度為M0(M0為常矢量，且與圓柱的軸線平行)，求磁化電流Jm和磁化面電流JmS。,解：取圓柱坐標系的z軸和磁介質柱的中軸線重合， 磁介質的下底面位于z=0處，上底面位于z=L處。,在界面z=0上，,在界面z=L上，,在界面r=a上，, 3.5 磁場的邊界條件,1、 法向分量邊界條件,磁感應強度矢量的法向分量的矢量形式的邊界條件為,由 有,2、 切向分量邊界條件,因為 h0，如果分界面的薄層內有自由電流， 則為面電流，在回路所圍的面積上,如果分界面處沒有自由面電流，則,即,若兩種介質分界面不存在電流，則在分界面處的邊界條件為,相應的標量形式為,分界面處的折射定理,折射定理表明，磁力線在分界面上通常要改變方向。 若介質1為鐵磁材料，介質2為空氣，此時2 1, 有 2 1，及 B2 B1 假如1=10000, 2=0，在這種情況下，當=87時，2=1.09，B2 / B1=0.052。由此可見，鐵磁材料內部的磁感應強度遠大于外部的磁感應強度，同時外部的磁力線幾乎與鐵磁材料表面垂直。, 3.8 標 量 磁 位,由恒定磁場的基本方程，在無自由電流(J=0)的區(qū)域里有,稱為磁場的標量磁位（磁標位)， 單位為A(安培)。 ,磁場強度 是無旋的，磁場強度可表為一個標量函數(shù)的負梯度,1、標量磁位的定義,1）、在均勻磁介質中,2、標量磁位滿足的方程,在均勻磁介質中，若所研究的區(qū)域內無傳導電流存在，穩(wěn)恒磁場的求解問題可歸結為求解標量磁位的拉普拉斯方程的邊值問題。,用微分方程求磁標位時，也同靜電位一樣，是求拉普拉斯方程的解。分界面處的邊界條件用磁標位表示時，為,磁標位在求解永磁體的磁場問題時比較方便(因其內無傳導電流)。永磁體的磁導率遠大于空氣的磁導率，因而永磁體表面是一個等位(磁標位)面，這時可以用靜電比擬法來計算永磁體的磁場。,對于非均勻介質，在無源區(qū)(J=0),令 ，稱其為“ 磁荷 ”,2）、非均勻磁介質,引入磁荷的概念后，磁標位滿足泊松方程，即, 3.9 互 感 和 自 感,在線性磁介質中，任一回路在空間產生的磁場與回路電流成正比，因而穿過任意的固定回路的磁通量是與電流成正比。 如果回路由細導線繞成N匝，則總磁通量是各匝的磁通之和。稱總磁通為磁鏈，用表示。對于密繞線圈，可近似認為各匝的磁通相等， 有=N。,一個回路的自感定義為回路的磁鏈與回路電流之比， 即,自感的單位是H(亨利)。 自感的大小僅決定于回路的尺寸、形狀以及介質的磁導率。 自感與回路是否載流無關。,1、自感 L,同樣，載流回路C2的磁場在回路C1上產生的磁鏈12與電流I2的比來定義互感M12,2、互感 M,兩相鄰回路，載流回路C1的磁場在回路C2上產生的磁鏈21與電流I1的比來定義互感 M 21,互感的單位與自感相同。 可以證明：M12=M21=M。 互感的大小僅取決于回路的尺寸、形狀、介質的磁導率、回路的匝數(shù)以及相互位置。 互感與回路是否載流無關。,證明：設兩個回路均只有一匝。當回路C1載有電流I1時，C2上的磁鏈為,以兩線形回路為例（當導線的直徑遠小于回路的尺寸，且也遠小于兩個回路之間的相互距離時，兩回路都可以用軸線的幾何回路代替，即線形回路），證明M12=M21=M。,同理，可得,因為以上兩積分式與計算次序無關，得,諾伊曼公式,例、 求無限長平行雙導線(如圖 所示)單位長外自感。,解：設導線中電流為I，由無限長導線的磁場公式，兩導線之間軸線所在的平面上的磁感應強度為,磁場的方向與導線回路平面垂直。單位長度上的外磁鏈為,單位長外自感為, 3.10 磁場能量,對磁場能量，有兩種觀點：載流系統(tǒng)具有的磁能； 磁能存在于磁場所在的空間，即磁場具有磁能。 本節(jié)的目的要建立磁場能量表達式。,1、載流系統(tǒng)具有的磁能,載流系統(tǒng)具有的磁能來自在建立電流系統(tǒng)的過程中，外源反抗電路中的感應電動勢所作的功。 先以兩個分別載流 和 的電流回路系統(tǒng)所儲存的磁場能量為例計算。,1）計算兩個分別載流I1和I2的電流回路系統(tǒng)所儲存的磁能 假定回路的形狀、相對位置不變，同時忽略焦耳熱損耗。在電流建立的過程中，t時刻兩回路的電流分別為i1(t)和i2(t)，t=0時 i1=0、i2=0，電流建立后i1=I1、 i2=I2。 在這一過程中，電源反抗電路中的感應電動勢所作的功轉變成磁場能量。 首先求僅出回路1中的電流i1從零增加到I1時，電源作的功A1；再計算當回路1中的電流I1不變時，回路2中的電流從零增加到I2時電源作的功A2。在這一過程中，電源對整個回路系統(tǒng)作的總功A=A1+A2。,當回路1中的電流i1在dt時間內有一個增量di1, 周圍空間的磁場將發(fā)生改變，回路1的磁通有增量d11，在回路1中要產生自感電勢 自感電勢的方向總是阻止電流增加。因而，為使回路1中的電流得到增量, 外電源必須反抗回路1中的自感電勢作功，在dt時間里，電源作功為,當回路1的電流從零到I1的過程中，電源作功為,計算當回路1的電流I1保持不變時，使回路2的電流從零增到I2