高二數(shù)學(xué)選修3-1-2導(dǎo)數(shù)的幾何意義.ppt

1知識(shí)與技能 了解導(dǎo)函數(shù)的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義 2過(guò)程與方法 會(huì)求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求曲線上某點(diǎn)處的切線方程,本節(jié)重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義 本節(jié)難點(diǎn)：對(duì)導(dǎo)數(shù)幾何意義的理解 1正確理解曲線的切線的定義，即：過(guò)曲線yf(x)上一點(diǎn)P作曲線的割線PQ，當(dāng)Q點(diǎn)沿著曲線無(wú)限趨近于P時(shí)，若割線PQ趨近于某一確定的直線PT，則這一確定的直線PT稱(chēng)為曲線yf(x)在點(diǎn)P的切線 2“函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)”、“導(dǎo)函數(shù)”、“導(dǎo)數(shù)”三者之間的區(qū)別與聯(lián)系 (1)“函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)”，就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改變量與自變量的改變量的比的極限，它是一個(gè)數(shù)值，不是變數(shù),(3)導(dǎo)函數(shù)也簡(jiǎn)稱(chēng)導(dǎo)數(shù)，所以 (4)函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)就是導(dǎo)函數(shù)f(x)在點(diǎn)xx0處的函數(shù)值f(x0)f(x)|xx0.,1已知曲線的切點(diǎn)P(x0，y0)，求曲線的切線方程的步驟： (1)求出函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)； (2)根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，得切線方程為yy0f(x0)(xx0)； (3)若曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0，y0)處的導(dǎo)數(shù)不存在，就是切線與y軸平行或不存在；f(x0)0，切線與x軸正向夾角為銳角；f(x0)0，切線與x軸正向夾角為鈍角；f(x0)0，切線與x軸平行,注意：只有曲線方程可看成函數(shù)解析式時(shí)才能利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求切線方程，否則不能利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求，如求過(guò)圓上某點(diǎn)的切線方程就不能直接利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求,2過(guò)曲線外的點(diǎn)P(x1，y1)，求曲線的切線方程的步驟： (1)設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，求出切點(diǎn)坐標(biāo)； (2)求出函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)； (3)根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，得切線方程為yy0f(x0)(xx0),切線,導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0)處的切線的 也就是說(shuō)，曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0)處的切線的斜率是 相應(yīng)地，切線方程為 2函數(shù)的導(dǎo)數(shù),斜率,f(x0),yf(x0)f(x0)(xx0),例1 過(guò)曲線yf(x)x3上兩點(diǎn)P(1,1)和Q(1x,1y)作曲線的割線，求出當(dāng)x0.1時(shí)割線的斜率 解析 ff(1x)f(1)(1x)31 x33x23x，,(1)求曲線C上的橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)處的切線方程； (2)第(1)小題中的切線與曲線C是否還有其他的公共點(diǎn)？ 分析 解答本題可先求出切點(diǎn)坐標(biāo)及斜率，再利用直線方程的點(diǎn)斜式形式求切線方程,解析 (1)將x2代入曲線C的方程得y4， 切點(diǎn)P(2,4),解得x12，x24. 從而求得公共點(diǎn)為P(2,4)或M(4，20) 即切線與曲線C的公共點(diǎn)除了切點(diǎn)外，還有另外的公共點(diǎn) 點(diǎn)評(píng) 求曲線的切線要注意“過(guò)點(diǎn)P的切線”與“在P點(diǎn)處的切線”的差異：過(guò)點(diǎn)P的切線中，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，點(diǎn)P也不一定在曲線上；而在點(diǎn)P處的切線，點(diǎn)P必為切點(diǎn),已知曲線y2x3上一點(diǎn)A(1,2)，則點(diǎn)A處的切線斜率等于 ( ) A2 B4 C66x2 D6 答案 D 解析 y2x3，,例3 拋物線yx2在點(diǎn)P處的切線與直線2xy40平行，求P點(diǎn)的坐標(biāo)及切線方程 分析 解答本題可先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)再利用切線斜率及切點(diǎn)在拋物線上列方程組求解,得y|xx02x0. 又由切線與直線2xy40平行，得2x02，x01. P(1，y0)在yx2上，y01. 點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1)，切線方程為y12(x1)，即2xy10. 點(diǎn)評(píng) 解決切線問(wèn)題的關(guān)鍵是求出切點(diǎn)坐標(biāo)求切點(diǎn)坐標(biāo)往往利用切點(diǎn)既在曲線上又在切線上及切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，即為切線斜率這些條件來(lái)構(gòu)造方程組求解,若拋物線yx2與直線2xym0相切，求m. 解析 設(shè)切點(diǎn)為P(x0，y0)，由本例知，y|xx02x0.,例4 若拋物線y4x2上的點(diǎn)P到直線y4x5的距離最短，求點(diǎn)P的坐標(biāo) 分析 拋物線上到直線y4x5的距離最短的點(diǎn)，是平移該直線與拋物線相切時(shí)的切點(diǎn)解答本題可先求導(dǎo)函數(shù)，再求P點(diǎn)的坐標(biāo),解析 由點(diǎn)P到直線y4x5的距離最短知，過(guò)點(diǎn)P的切線方程與直線y4x5平行設(shè)P(x0，y0)，則,點(diǎn)評(píng) 求最值問(wèn)題的基本思路：(1)目標(biāo)函數(shù)法：通過(guò)設(shè)變量構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，利用函數(shù)求最值；(2)數(shù)形結(jié)合法：根據(jù)問(wèn)題的幾何意義，利用圖形的特殊位置求最值,求拋物線y4x2上的點(diǎn)到直線y4x5的距離的最小值 解析 解法一：由例題解析知最短距離為,例5 曲線yx3在x00處的切線是否存在，若存在，求出切線的斜率和切線方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由,點(diǎn)評(píng) (1)yx3在點(diǎn)(0,0)處的切線是x軸，符合切線定義這似乎與學(xué)過(guò)的切線知識(shí)有所不同，其實(shí)不然，直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，在其中一點(diǎn)也可能相切如圖所示,A4xy90或4xy250 B4xy10 C4xy90或4xy250 D以上都不對(duì) 答案 C,即直線l的斜率為4. 故經(jīng)過(guò)(1,4)的曲線的切線方程為 y44(x1)，即4xy80. 設(shè)直線l的方程為4xyc0.,例6 試求過(guò)點(diǎn)M(1,1)且與曲線yx31相切的直線方程,辨析 上述解法錯(cuò)在將點(diǎn)(1,1)當(dāng)成了曲線yx31上的點(diǎn)因此在求過(guò)某點(diǎn)的切線時(shí)，一定要先判斷點(diǎn)是否在曲線上，再據(jù)不同情況求解,一、選擇題 1曲線y2x21在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率是( ) A4 B0 C4 D不存在 答案 B,答案 B,3若曲線yh(x)在點(diǎn)P(a，h(a)處的切線方程為2xy10，那么 ( ) Ah(a)0 Bh(a)0 Dh(a)不確定 答案 B 解析 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得h(a)k20.,4