相似理論與量綱分析.ppt

第九章 相似理論與 量綱分析,流體力學(xué)的研究方法中實驗研究既是理論分析的依據(jù)，同時也是檢驗理論的準(zhǔn)繩，具有很重要的作用。 本章將探討其理論基礎(chǔ)： 相似理論 量綱分析,9.1 相似理論基礎(chǔ),為使模型流動能表現(xiàn)出原型流動的主要現(xiàn)象和特性，并從模型流動上預(yù)測出原型流動的結(jié)果，就必須使兩者在流動上相似，即兩個流動的對應(yīng)時刻對應(yīng)點上同名物理量具有各自的比例關(guān)系。 具體來說，兩相似流動應(yīng)幾何相似 、運動相似、 動力相似 。,兩流動相似應(yīng)滿足的條件,一 幾何相似（空間相似）,定義： 兩流動流場的幾何形狀相似,即兩流動的對應(yīng)長度成比例，對應(yīng)角度相等。 引入尺度比例系數(shù) 進而，面積比例系數(shù) 體積比例系數(shù),模型流動用下標(biāo)m表示 原型流動用下標(biāo)p表示,二 運動相似（時間相似）,定義：兩流動的速度場相似,即兩個流動的對應(yīng)時刻對應(yīng)點的速度方向相同,大小成比例。 引入速度比例系數(shù) 由于 因此,運動相似需要建立在幾何相似基礎(chǔ)上.因此運動相似只需確定時間比例系數(shù) 就可以了。故運動相似也就被稱之為時間相似。,運動學(xué)物理量的比例系數(shù)都可以表示為長度比尺和時間比尺的不同組合形式。,如：,的單位是m2/s,Q的單位是m3/t,三 動力相似（受力相似）,定義：兩流動的對應(yīng)點上質(zhì)點所受F的方向相同,大小成比例。 引入力比例系數(shù) 也可寫成,力學(xué)物理量的比例系數(shù)可以表示為密度、尺度、速度比尺的不同組合形式，如： 力矩M 壓強p 功率N 動力粘度,綜上所述，要使模型流動和原型流動相 似，需要兩者在時空相似的條件下受力相 似。 動力相似（受力相似）用相似準(zhǔn)則（相 似準(zhǔn)數(shù)）的形式來表示，即：要使模型流 動和原型流動動力相似，需要這兩個流動 在時空相似的條件下各相似準(zhǔn)則都相等。,三種相似之間的聯(lián)系：,幾何相似是運動相似和動力相似的前提與依據(jù); 動力相似是決定兩個流動相似的主導(dǎo)因素; 運動相似是幾何相似和動力相似的表現(xiàn)。,9.2 相似準(zhǔn)則,相似準(zhǔn)則:幾何比尺、運動比尺和動力比尺之間由力學(xué)基本定律規(guī)定了的一定的約束關(guān)系。 一、牛頓相似準(zhǔn)則 兩流動動力相似要求對應(yīng)點處液體質(zhì)點所受各種力大小成比例。 粘性力、重力、動水壓力等是企圖改變流體運動狀態(tài)的力；而慣性力是企圖維持液體運動狀態(tài)的力，液體流動的變化是慣性力和其它各種力相互作用的結(jié)果。,慣性力 則慣性力之比： 另一企圖改變流體運動狀態(tài)的力為F，其比尺為CF。 由動力相似有如下關(guān)系：CF=CI,即： 式中： 是一個無量綱數(shù),因此，兩個流動相似的重要標(biāo)志是它們的牛頓準(zhǔn)則數(shù)相等：即,二、雷諾準(zhǔn)則 對于有壓流動，粘性力是主要作用力。 粘性力比尺,要滿足慣性力相似，必須滿足CT=CI，即 即,雷諾數(shù)的物理意義,雷諾數(shù)Re反映了慣性力與粘性力之比：,三、佛汝德準(zhǔn)則 對于具有自由表面的流動，重力是主要的作用力。 重力比尺,要滿足重力相似，必須滿足CG=CI，即 即,佛汝德數(shù)的物理意義,佛汝德數(shù)Fr反映了慣性力與重力之比：,四、歐拉準(zhǔn)則 作用在兩流動對應(yīng)點上的動水總壓力之比為：,要滿足動水總壓力相似，必須滿足CP=CI，即 即,歐拉數(shù)的物理意義,歐拉數(shù)Eu反映了動水總壓力與慣性力之比： 通常，對流動起作用的是液流中兩點壓強差p，而不是某點的壓強p。故歐拉數(shù)常寫為：,注意：壓力場的相似不是兩個流動相似的原因，而是兩個流動相似的結(jié)果。Eu準(zhǔn)則不是獨立的。只要主要的相似準(zhǔn)則（Re或Fr)得到滿足，則該準(zhǔn)則必定滿足。,綜上所述，動力相似可以用相似準(zhǔn)則數(shù)表示，若原型和模型流動動力相似，各同名相似準(zhǔn)數(shù)均相等。,9.3 模型實驗,什么是模型實驗： 通常指用簡化的可控制的方法再現(xiàn)實際發(fā)生的物理現(xiàn)象。實際發(fā)生的現(xiàn)象被稱為原型現(xiàn)象，模型實驗的側(cè)重點是再現(xiàn)流動現(xiàn)象的物理本質(zhì)；只有保證模型實驗和原型中流動現(xiàn)象的物理本質(zhì)相同，模型實驗才是有價值的。,為什么要進行模型實驗, 科學(xué)研究和生產(chǎn)設(shè)計需要做模型實驗 ； 并不是所有的流動現(xiàn)象都需要做模型實驗。做理論分析或數(shù)值模擬的流動現(xiàn)象都不必模擬實驗。 并不是所有的流動現(xiàn)象都能做模型實驗。只有對其流動現(xiàn)象有充分的認(rèn)識，并了解支配其現(xiàn)象的主要物理法則，但還不能對其作理論分析或數(shù)值模擬的原型最適合做模型實驗。,一、相似準(zhǔn)則的選擇,為了使兩流動完全相似，在滿足幾何相似的前提下，各獨立的相似準(zhǔn)則應(yīng)同時得到滿足。這在實際實驗中往往很難實現(xiàn)，甚至是不可能的。,例如：欲在某實驗中實現(xiàn)雷諾準(zhǔn)則和佛汝德準(zhǔn)則的同時滿足： 即要實現(xiàn)流動相似應(yīng)滿足兩個條件（1）模型流速原比型流速縮小 倍；（2）模型流體的粘度應(yīng)比原型粘度縮小 倍，這很難實現(xiàn)。,因此，要使兩者達到完全的動力相似，實際上辦不到，我們尋求的是起主要作用的力相似近似相似。 例如： 有壓管流粘性力起主要作用雷諾準(zhǔn)則 明渠流動重力起主要作用佛汝德準(zhǔn)則,二、模型的設(shè)計,1、首先根據(jù)實驗場地和模型制作的條件定出長度比尺Cl; 2、根據(jù)選定的長度比尺Cl確定出模型流動的幾何邊界； 3、根據(jù)所選用的相似準(zhǔn)則確定速度比尺和流量比尺，從而定出模型流動的流量。,例1 有一轎車，高h(yuǎn)p=1.5m，在公路上行駛，設(shè)計時速vp=108km/h，擬通過風(fēng)洞中模型實驗來確定此轎車在公路上以此速行駛時的空氣阻力。已知該風(fēng)洞系低速全尺寸風(fēng)洞(Cl=3/2)，并假定風(fēng)洞試驗段內(nèi)氣流溫度與轎車在公路上行駛時的溫度相同，試求：風(fēng)洞實驗時，風(fēng)洞實驗段內(nèi)的氣流速度應(yīng)安排多大？,解： 首先根據(jù)流動性質(zhì)確定決定性相似準(zhǔn)則數(shù)，這里選取Re作為決定性相似準(zhǔn)則數(shù)，Rem=Rep，即CvCl/C=1， 再根據(jù)決定型相似準(zhǔn)數(shù)相等，確定幾個比尺的相互約束關(guān)系，這里C=1，所以 Cv=Cl-1，由于Cl=lp/lm=3/2，那么Cv=vp/vm=1/Cl=2/3 最后得到風(fēng)洞實驗段內(nèi)的氣流速度應(yīng)該是 vm=vp/Cv=108/(2/3)=162km/h=45m/s,例2 在例1中，通過風(fēng)洞模型實驗，獲得模型轎車在風(fēng)洞實驗段中的風(fēng)速為45m/s時，空氣阻力為1000N，問：此轎車以108km/h的速度在公路上行駛時，所受的空氣阻力有多大？,解：在設(shè)計模型時，定下 C=1 Cl=3/2 Cv=2/3 在相同的流體和相同的溫度時，流體密度比例系數(shù)C=1，那么力比例系數(shù) CF= C Cl2 CV2 CF=1(3/2)2(2/3)2=1 因此，該轎車在公路上以108km/h的速度行駛所遇到的空氣阻力 Fp=FmCF=10001=1000N,9.4 量綱分析法,一 量綱的概念 二 量綱齊次性原理 三 量綱分析法,9.4.1量綱的概念,量綱的定義: 量綱是物理量的單位種類，又稱因次。 如長度、寬度、高度、深度、厚度等都可以米、英寸、公尺等不同單位來度量，但它們屬于同一單位，即屬于同一單位量綱（長度量綱），用 L 表示。 量綱的表示方法：物理量的代表符號外加上中括號。如 L ， M ， T 等。,用 表示物理量的量綱，用（ ）表示物理量的單位,量綱的分類：基本量綱 導(dǎo)出量綱 基本量綱是一組具有獨立性的量綱。在水力學(xué)領(lǐng)域中有三個基本量綱： L ， T ， M 。 導(dǎo)出量綱由基本量綱組合或推導(dǎo)出來的量綱。如加速度的量綱 a=LT-2 ；力的量綱 F=ma=MLT-2,9.4.2 有量綱量和無量綱量 水力學(xué)中任何物理量C的量綱可寫成 C= M L T 當(dāng)、不全為0時，C稱為有量綱量。 當(dāng)、全部為0時，C稱為無量綱量或無量綱數(shù)。,有量綱量 水力學(xué)中的有量綱量可分為三類： 1、幾何學(xué)的量，0，0； 2、運動學(xué)的量， 0， 0； 3、動力學(xué)的量， 0。,無量綱量,9.4.3 量綱齊次性原理,量綱齊次性原理又被稱為量綱一致性原理，也叫量綱和諧性原理，指凡是正確反映客觀規(guī)律的物理方程,其各項的量綱必須是一致的。 推論：凡是正確反映客觀規(guī)律的物理方程，必然可以寫成無量綱形式。,忽略重力的伯努利方程,物理方程的無量綱化,（沿流線）,（沿流線）,無量綱化伯努利方程, 在無粘性圓柱繞流中,前后駐點,上下側(cè)點,其他點, 以上結(jié)果對任何大小的來流速度，任何大小的圓柱都適用。,柱面上：,柱面外：,流場中 還與無量綱半徑 有關(guān),9.4.4量綱分析法,對于復(fù)雜的流動,常用量綱分析法和實驗相結(jié)合進行研究。 量綱分析法是根據(jù)量綱齊次性原理尋求物理量之間函數(shù)關(guān)系的一種方法，也可以得出相似準(zhǔn)則。 量綱分析法有兩種：雷利法和定理,雷利法,解題步驟：首先找出影響流動的物理量，并用它們寫出假擬的指數(shù)方程； 然后以對應(yīng)的量綱代替方程中的物理量本身，并根據(jù)量綱和諧性原理求出各物理量的指數(shù)，整理出最后形式。,例題a：自由落體運動的位移s與時間t、重力加速度g有關(guān)。試求位移s的表達式。 解：s=Kgatb L=LT-2aTb 根據(jù)量綱和諧原理，方程兩側(cè)的量綱應(yīng)一致，則 L a=1 T -2a+b=0 得出：a=1,b=2 s=Kgt2,例題b:液體在恒定水頭H作用下從面積為A的孔口流出，v與H、g和有關(guān)。試求v的表達式。 解：v=KHa b gc d LT-1= LaML-3bLT-2cML-1T-1d ,定理,對于某個物理現(xiàn)象或過程，如果存在有n個變量互為函數(shù)關(guān)系， f(a1,a2, an)=0 而這些變量含有m個基本量綱，可把這n個變量轉(zhuǎn)換成為有(n-m)=i個無量綱量的函數(shù)關(guān)系式 F(1,2, n-m)=0 這樣可以表達出物理方程的明確的量間關(guān)系，并把方程中的變量數(shù)減少了m個，更為概括集中表示物理過程或物理現(xiàn)象的內(nèi)在關(guān)系。,例 經(jīng)初步分析知道，在水平等直徑圓管道內(nèi)流體流動的壓降p與下列因素有關(guān)：管徑d、管長l、管壁粗糙度 、管內(nèi)流體密度、流體的動力粘度 ，以及斷面平均流速v有關(guān)。試用定理推出壓降p的表達形式。 解： 所求解問題的原隱函數(shù)關(guān)系式為 f(p, d, l, , , , v)=0 有量綱的物理量個數(shù)n=7，此問題的基本量綱有L、M 、T三個，m=3，按定理，這n個變量轉(zhuǎn)換成有n-m=4個無量綱量的函數(shù)關(guān)系式 F(1, 2, 3, 4)=0 從7個物理量中選出基本物理量3個，如取、d、v，而 其余物理量用基本物理量的冪次乘積形式表示,1=l1v1d1 2=2v2d2 3=3v3d3 4= p4v4d4,將上述表達式寫成量綱形式 1=L(ML-3)1(LT-1)1L1=M0L0T （1） 2=L(ML-3)2(LT-1)2L2=M0L0T0 （2） 3=ML-1T-1(ML-3)3(LT-1)3L3=M0L0T0 （3） 4=ML-1T-2 (ML-3)4(LT-1)4L4=M0L0T0 (4）,求解方程（1） M: 1=0 T: 1=0 L: -3 1+ 1+1+1=0 1= -1 所以 1=l/d 求解方程（2） M: 2=0 T: 2=0 L: 1-3 2+ 2+2=0 2= -1 所以 2= /d,求解方程（3） M: 1+3=0 3= -1 T: -1-3=0 3= -1 L: -1-3 3+ 3+3=0 3= -1 所以 3=/vd=1/Re 求解方程（4） M: 1+4=0 4= -1 T: -2-4=0 4= -2 L: -1-3 4+ 4+4=0 4= 0 所以 4= p / v2 因此，所解問題用無量綱數(shù)表示的方程為 F(l/d, /d, 1/Re, p / v2)=0,至此，問題求解結(jié)束，進一步對上式整理規(guī)范。由上式 可知p / v2與其余三個無量綱數(shù)有關(guān)，那么 p/v2=F1(l/d, /d, 1/Re)= (l/d)F2( /d, 1/Re) p/g= p/= (l/d)(v2