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第十節(jié),一、最值定理,二、介值定理,*三、一致連續(xù)性,閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),第一章,注意: 若函數(shù)在開區(qū)間上連續(xù),結(jié)論不一定成立 .,一、最值定理,定理1.在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù),即: 設(shè),則,使,值和最小值.,或在閉區(qū)間內(nèi)有間斷,在該區(qū)間上一定有最大,(證明略),點(diǎn) ,例如,無(wú)最大值和最小值,也無(wú)最大值和最小值,又如,二、介值定理,由定理 1 可知有,證: 設(shè),上有界 .,定理2. ( 零點(diǎn)定理 ),至少有一點(diǎn),且,使,( 證明略 ),推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界.,定理3. ( 介值定理 ),設(shè),且,則對(duì) A 與 B 之間的任一數(shù) C ,一點(diǎn),證: 作輔助函數(shù),則,且,故由零點(diǎn)定理知, 至少有一點(diǎn),使,即,推論: 在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),使,至少有,必取得介于最小值與,最大值之間的任何值 .,例. 證明方程,一個(gè)根 .,證: 顯然,又,故據(jù)零點(diǎn)定理, 至少存在一點(diǎn),使,即,說(shuō)明:,內(nèi)必有方程的根 ;,取,的中點(diǎn),內(nèi)必有方程的根 ;,可用此法求近似根.,二分法,在區(qū)間,內(nèi)至少有,則,則,例,至少有一個(gè)不超過(guò) 4 的,證：,證明,令,且,根據(jù)零點(diǎn)定理 ,原命題得證 .,內(nèi)至少存在一點(diǎn),在開區(qū)間,顯然,正根 .,內(nèi)容小結(jié),在,上達(dá)到最大值與最小值;,上可取最大與最小值之間的任何值;,4. 當(dāng),時(shí),使,必存在,上有界;,在,在,1. 任給一張面積為 A 的紙片(如圖),證明必可將它,思考與練習(xí),一刀剪為面積相等的兩片.,提示:,建立坐標(biāo)系如圖.,則面積函數(shù),因,故由介值定理可知:,證明至少存在,使,提示: 令,則,

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