高等數(shù)學(xué)第二章極限與連續(xù).pptVIP

第 二 章,極限與連續(xù),1 數(shù)列的極限 2 函數(shù)的極限 3 無窮小量與無窮大量 4 極限的運(yùn)算法則 5 極限存在準(zhǔn)則和兩個(gè)重要極限 6 函數(shù)的連續(xù)性,基本要求,1、了解數(shù)列的概念及性質(zhì); 2、了解數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念及幾何意義; 2、掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則; 3、掌握極限存在準(zhǔn)則，并會利用它們求極限; 4、掌握利用重要極限求極限的方法; 5、理解無窮小量與無窮大量的概念; 6、了解函數(shù)的連續(xù)性概念,會判別函數(shù)的連續(xù)性; 7、掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).,1 數(shù)列的極限,1.1 數(shù)列的概念,定義1 無窮多個(gè)按照一定順序排列的數(shù),數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為,幾個(gè)數(shù)列的例子：,(2),數(shù)列的項(xiàng),第n項(xiàng),稱為數(shù)列的通項(xiàng)或一般項(xiàng).,(3),(5),(4),它依次取數(shù)軸上的點(diǎn),在幾何上, 數(shù)列,可看作數(shù)軸上的一個(gè)動點(diǎn),1.2數(shù)列的簡單性質(zhì),一、單調(diào)性,單調(diào)遞增和單調(diào)遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列.,那么稱數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列.,二、有界性 如果存在M0,對于任何正整數(shù)n ，恒有,那么稱數(shù)列,如果數(shù)列所有的項(xiàng)都不超過某一個(gè)常數(shù)，即,如果數(shù)列所有的項(xiàng)都不小于某一常數(shù)，即,為有界的；否則稱為無界的.,1.3 數(shù)列的極限,一、 數(shù)列極限的定義,由觀察可知,如果數(shù)列沒有極限,就稱該數(shù)列是發(fā)散的.,時(shí)收斂于a,觀察前面所舉數(shù)列的例子, 不難看出：,無限地趨近于某一個(gè)常數(shù)a ，就稱數(shù)列,當(dāng),記作,趨勢不定,收 斂,發(fā) 散,例如,例：求下列數(shù)列的極限,(2)原式 = 5.,極限的定義.,下面用精確的、定量化的數(shù)學(xué)語言來給出數(shù)列,接近程度,用,來表示n無限增大 .,先說明在數(shù)學(xué)上如何刻劃“無限接近”與“無限增大” ：,(不論它多么,定義,如果對于任意給定的正數(shù),e,小),存在正數(shù)N,不等式,都成立,那末就稱常數(shù)a是數(shù)列,的極限,記為,如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.,例1 用數(shù)列極限的定義證明,只要,從而可取正整數(shù),由極限的定義得,幾何解釋,面的點(diǎn)只有有限個(gè)(至多只有N個(gè)).,而在這區(qū)間外,設(shè),其幾何意義為:,1.4 收斂數(shù)列的性質(zhì),1.唯一性,2.有界性,由定理2可得無界數(shù)列必定發(fā)散.,注意有界性是數(shù)列收斂的必要條件,非充分條件.,2 函數(shù)的極限,2.1 自變量趨于無窮大時(shí),函數(shù) f (x) 的極限,趨于無窮大，實(shí)際上包括三種情形： 取正值無限增大； 取負(fù)值而 無限增大; 既可取正值,也可取負(fù)值,而 無限增大.,(1) x 時(shí),函數(shù) f (x) 的極限,例：觀察,當(dāng) x絕對值 無限增大時(shí)，容易看出， f (x) 無限接近于定數(shù) 0 .,的極限，記作,或,或,正無窮大時(shí)函數(shù)f(x) 的極限，記作,趨向于某一個(gè)常數(shù)A，那么我們就稱A為當(dāng)x趨向于,(2)自變量 x + 時(shí),函數(shù) f (x) 的極限的描述：,幾何意義：,(3),對于自變量無限減小時(shí)函數(shù)的變化趨勢，討論類似.,例如,由圖可見,y = 2x,例,2.2自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限,或,或,無限接近于常數(shù)A.,則稱函數(shù) 當(dāng) 時(shí)以A為極限,記作,或,恒有,得一帶形區(qū)域 ,則總可以,內(nèi)函數(shù)的圖形,完全位于這兩條直線之間。,例：求極限,解：,當(dāng)自變量 x 從 x0 的右側(cè)趨近于 x0 時(shí)，函數(shù) f (x) 無限趨近 常數(shù) A，則稱 A 為 x x0 時(shí)函數(shù) f (x) 的右極限。記為：,或 f ( x0 0 ) = A,或 f ( x0 + 0 ) = A,2.3 單側(cè)極限,當(dāng)自變量 x 從 x0 的左側(cè)趨近于 x0 時(shí)，函數(shù) f (x) 無限趨近常 數(shù) A，則稱 A 為 x x0 時(shí)函數(shù) f (x) 的左極限。記為：,左、右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限。,例：函數(shù),不存在。,例3 求函數(shù),由于,解當(dāng),同理,例：討論 在 x = 0 處的極限情況。,解：當(dāng) x 0時(shí)， f（x）= 1， 當(dāng) x 0 時(shí)， f（x） = 1. f（0 0）= 1， f（0 + 0）= 1 故 f（x）在 x = 0 處的極限不存在。,1.唯一性,2.4函數(shù)極限的性質(zhì),2.局部有界性,3.局部保號性,3 無窮小量與無窮大量,3.1 無窮小量與無窮大量,時(shí)的無窮小量,簡稱為無窮小。,即 以零為極限的變量,稱之為無窮小.,(1)無窮小量的定義,注1：無窮小量是就自變量的變化過程而言的。 它不是一個(gè)很小很小的數(shù)，而是極限為 0 的變量。 注2：數(shù) 0 是無窮小量。,定理：lim f (x) = A 的充分必要條件是函數(shù) f (x) 可以表示 為常數(shù) A 與無窮小量 之和.即有,(2)無窮小與函數(shù)極限之間的關(guān)系,(3) 無窮大量的定義,注：無窮大量是就自變量的變化過程而言的。 它不是一個(gè)很大很大的數(shù)，而是極限為 的變量。,在自變量的某一變化趨勢下，若函數(shù) f (x) 的絕對值無 限地增大，則稱 f (x) 為無窮大量。記為 lim f (x) = 或 f (x) .,在自變量的同一變化趨勢下，無窮大量的倒數(shù)是無窮小量； 無窮小量（0）的倒數(shù)是無窮大量。,(4) 無窮大量與無窮小量的關(guān)系,3.2 無窮小量的運(yùn)算性質(zhì),推論 (1) 常數(shù)與無窮小量的積仍為無窮小量。 (2) 有限個(gè)無窮小量的積仍為無窮小量。,解： 當(dāng) x 0 時(shí)，x 是無窮小量；,定理3 有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.,定理4 有界變量與無窮小的乘積是無窮小。,3.3無窮小的比較,為了比較兩