7.3 等差、等比數(shù)列的應(yīng)用(1)

七彩教育網(wǎng) 本資料來源于七彩教育網(wǎng)7.3 等差、等比數(shù)列的應(yīng)用(1)【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】 1、等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用；2、等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用； 3、由遞推數(shù)列求通項(xiàng)及前n項(xiàng)的和?！镜湫屠}】例1：（1）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若，且A、B、C三點(diǎn)共線（該直線不過原點(diǎn)O），則S200 （ ）A100 B. 101 C.200 D.201答案:A。解析：依題意，a1a2001，。 （2）某數(shù)列既成等差數(shù)列也成等比數(shù)列，那么該數(shù)列一定是 （ ）A公差不為0的等差數(shù)列 B公比為1的等比數(shù)列 C常數(shù)數(shù)列 D以上都不對(duì)答案：B。解析：既成等差也成等比數(shù)列，那么這個(gè)數(shù)列一定為通項(xiàng)不為0的常數(shù)列。（3）已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式anlog2，設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn，則使Sn5成立的正整數(shù)n （ ）A有最小值63 B有最大值63C有最小值31 D有最大值31答案：A。解析：。 （4）在數(shù)列an中，若a1=1,an+1=2an+3 (n1),則該數(shù)列的通項(xiàng)an=_.答案: 。解析：，即 （5）等差數(shù)列an中a1=70,公差為9，則這個(gè)數(shù)列中絕對(duì)值最小的一項(xiàng)是第 項(xiàng)。答案：9。解析：，即絕對(duì)值最小的項(xiàng)是第9項(xiàng)。例2：設(shè)an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，且a1=b1=1，a3+a5=b4，b2b3=a8分別求出an及bn的前10項(xiàng)的和S10及T10答案：解：設(shè)an的公差為d，bn的公比為q，則：解得例3： 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和， 求首項(xiàng)與通項(xiàng)。解析：（I），解得：所以數(shù)列是公比為4的等比數(shù)列所以：得： （其中n為正整數(shù)）例4：已知函數(shù)f(x)定義在區(qū)間（1，1）上，f()1，且當(dāng)x，y(1，1)時(shí)，恒有f(x)f(y)f()，又?jǐn)?shù)列an滿足a1，an+1，設(shè)bn證明：f(x)在（1，1）上為奇函數(shù)；求f(an)的表達(dá)式；是否存在正整數(shù)m，使得對(duì)任意nN，都有bn4又mN，存在m5，使得對(duì)任意nN，有 【課內(nèi)練習(xí)】1若a、b、c成等差數(shù)列，b、c、d成等比數(shù)列，成等差數(shù)列，則a、c、e成（ ）A等差數(shù)列 B等比數(shù)列 C既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列 D以上答案都不是答案：B。解析：由，由，由，即成等比數(shù)列。2在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列中，若則 （ ） A. 12 B. 10 C. 8 D.答案： B。解析：。3已知9，a1，a2，1四個(gè)實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，9，b1，b2，b3，1五個(gè)實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，則b2(a2a1) （ ）A8 B8 C8 D答案： B解析：。4若一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角成等差數(shù)列，且其中一角為，則其他兩個(gè)角的度數(shù)為 。答案：。解析：由三角形三內(nèi)角成等差數(shù)列，所以一個(gè)角必為60，即另一角為92。5已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則k = 答案： 3 。解析：由得，結(jié)合得，即。 6.在和之間插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則插入的三個(gè)數(shù)的乘積為_答案： 216。解析：令五個(gè)數(shù)為7已知數(shù)列滿足. （）求； （）證明：.解析：（）解：.（）證明：由已知， 故， .8已知成等差數(shù)列，求證：也成等差數(shù)列。解析：由成等差數(shù)列，則即成等差數(shù)列。9 數(shù)列an中，a1=8,a4=2且滿足an+2=2an+1an,(nN*) (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)Sn=a1+a2+an,求Sn; 解析 (1）由an+2=2an+1anan+2an+1=an+1an可知an成等差數(shù)列，d=2,an=102n (2)由an=102n0可得n5，當(dāng)n5時(shí)，Sn=n2+9n，當(dāng)n5時(shí)，Sn=n29n+40，故Sn=10數(shù)列an滿足a1=2，對(duì)于任意的nN*都有an0,且(n+1)an2+anan+1nan+12=0，又知數(shù)列bn的通項(xiàng)為bn=2n1+1 (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)an及它的前n項(xiàng)和Sn；(2)求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn； 解析： (1）可解得，從而an=2n，有Sn=n2+n，(2)。 【作業(yè)本】A組1若互不相等的實(shí)數(shù)、成等差數(shù)列，、成等比數(shù)列，且，則= （ ） A.4 B.2 C.-2 D.-4答案： D.解析：依題意有2數(shù)列1，的一個(gè)通項(xiàng)公式是Aan(1)n Ban(1)n Can(1)n Dan(1)n 答案：D。解析：可以代入通項(xiàng)驗(yàn)證。3首項(xiàng)為的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是 （ ） A、 B、3 C、3 D、3答案：D。解析：，又，即。4在等差數(shù)列中，則的值是 。答案： 0。解析：。5定義一種運(yùn)算*，對(duì)于正整數(shù)n滿足以下運(yùn)算性質(zhì)：|=1，則用含n的代數(shù)式表示為 。答案：。解析：，所以看作為一個(gè)等比數(shù)列，即。6已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和；答案：（I）解：是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。.7直線過（1，0）點(diǎn)，且關(guān)于直線y=x對(duì)稱的直線為，已知點(diǎn)在上，。當(dāng)n2時(shí)，有（1）求的方程；（2）求 an的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)求數(shù)列 bn的前n項(xiàng)和Sn答案：解：（1）由 設(shè) 設(shè)： 又（1，0）關(guān)于 對(duì)稱點(diǎn)為（0，1）在上，所以1=0+b，b=1 所以：（2）因?yàn)?所以（3）所以 8設(shè)An為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，An= (an1)，數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn=4n+3;(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)把數(shù)列an與bn的公共項(xiàng)按從小到大的順序排成一個(gè)新的數(shù)列，證明 數(shù)列dn的通項(xiàng)公式為dn=32n+1。答案：解 (1)由An=(an1)，可知An+1=(an+11)，an+1= (an+1an)，即=3，而a1=A1= (a11)，得a1=3，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=3n (2)32n+1=332n=3(41)2n=342n+C42n1(1)+C4(1)+(1)2n=4k+3，32n+1bn 而數(shù)32n=(41)2n=42n+C42n1(1)+C4(1)+(1)2n=4k+1，32nbn，而數(shù)列an=a2n+1a2n，dn=32n+1 B組1數(shù)列則是該數(shù)列的 （ ）A第6項(xiàng) B第7項(xiàng) C第10項(xiàng) D第11項(xiàng)答案：B。解析：，即。2設(shè)數(shù)列an是公比為a(a1)，首項(xiàng)為b的等比數(shù)列，Sn是前n項(xiàng)和，對(duì)任意的nN ，點(diǎn)(Sn ，Sn+1)在 （ ）A直線yaxb上 B直線ybxa上C直線ybxa上 D直線yaxb上答案：D。解析 故點(diǎn)在直線yaxb上3已知a1，a2，a3，a8為各項(xiàng)都大于零的數(shù)列，則“a1a8a4a5”是“a1，a2，a3，a8不是等比數(shù)列”的 （ ）A充分且必要條件 B充分但非必要條件 C必要但非充分條件 D既不充分也不必要條件答案：B。解析：若為等比數(shù)列，則。4將正整數(shù)排成下表： 12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16則數(shù)表中的2008出現(xiàn)在第行答案：45。解析：數(shù)表的規(guī)律為第1行1個(gè)，2行3個(gè)，3行5個(gè)即前n行共有個(gè)數(shù)，即前44行共有1936個(gè)數(shù)，所以2008在第45行。5在等差數(shù)列an中，若，則有等式成立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列bn中，若，則有等式 成立答案： 。解析：利用性質(zhì)。6已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，又 （1）求k的值； （2）求。解析：由得，當(dāng)時(shí)，即。7已知中，所對(duì)的邊分別是，且成等差數(shù)列，求的值。答案：由成等差數(shù)列，即。 8 數(shù)列的前n項(xiàng)為，N（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）數(shù)列中是否存在三項(xiàng)，它們可以構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，請(qǐng)求出一組適合條件的項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明