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,第四節(jié),一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì),二、對面積的曲面積分的計算法,對面積的曲面積分,第十一章,一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì),引例:,類似求平面薄板質(zhì)量的思想, 采用,可得,求質(zhì),“大化小, 常代變, 近似和, 求極限”,的方法,量 M.,其中, 表示 n 小塊曲面的直徑的,(曲面的直徑為其上任意兩點間距離的最大者).,最大值,設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度,定義,設(shè) 為光滑曲面,“乘積和式極限”,都存在,的曲面積分,其中 f (x, y, z) 叫做被積,據(jù)此定義, 曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為,曲面面積為,f (x, y, z) 是定義在 上的一,個有界函數(shù),若對 做任意分割和局部區(qū)域任意取點,則稱此極限為函數(shù) f (x, y, z) 在曲面 上,函數(shù), 叫做積分曲面.,對面積,則對面積的曲面積分存在., 對積分域的可加性.,則有, 線性性質(zhì).,在光滑曲面 上連續(xù),對面積的曲面積分與對弧長的曲線積分性質(zhì)類似., 積分的存在性.,若 是分片光滑的,例如分成兩,片光滑曲面,定理,f (x, y, z) 在 上連續(xù),存在, 且有,二、對面積的曲面積分的計算法,則曲面積分,證明,設(shè)有光滑曲面,由定義知,而,( 光滑),說明:,可有類似的公式：,如果曲面方程為,例1,其中 是球面,被平面,截出的頂部.,解,計算曲面積分,思考:,若 是球面,被平行平面 z =h 截,出的上下兩部分,則,例2,其中 是由平面,坐標面所圍成的四面體的表面.,解,上的部分, 則,與,原式 =,分別表示 在平面,設(shè),計算,例3,設(shè),計算,解,與上半球面,交線為,為上半球面夾于錐面間的部分,它在 xOy 面上的,投影域為,則,錐面,計算結(jié)果如何 ?,例4,解,利用對稱性可知重心的坐標,而,用球面坐標,思考題:,求半徑為R 的均勻半球殼 的重心.,設(shè) 的方程為,例 3 是否可用球面坐標計算 ?,例5,其中 是球面,利用對稱性可知,解,半徑為,利用重心公式,計算,顯然球心為,例6,求此曲面殼在平面 z =1以上部分 的,的面密度,質(zhì)量 M .,解,故,已知曲面殼, 在 xOy 面上的投影為,內(nèi)容小結(jié),1. 定義:,2. 計算: 設(shè),則,(曲面的其他兩種情況類似),注意利用球面坐標、柱面坐標、對稱性、質(zhì)心公式,簡化計算的技巧.,思考與練習,P219 題1；3；4 (1) ; 7,解答提示:,P219 題1.,P219 題3.,設(shè),則,P246 題2,P219 題4 (1)., 在 xOy 面上的投影域為,這是 的面積

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