競賽考題分類匯編(一)數(shù)與式.docx

競賽考題分類匯編（一）數(shù)與式1.設(shè)r4，a，b，c，則下列各式一定成立的是。A、abc B、bcaC、cabD、cba2.設(shè)a,b是不相等的任意正數(shù),又,則有x,y這兩個數(shù)一定( )A.都不大于2B.都小于2C.至少有一個大于2D.至少有一個小于23.設(shè)的平均數(shù)為M，的平均數(shù)為N，N，的平均數(shù)為P，若，則M與P的大小關(guān)系是（ ）。（A）MP；（B）MP；（C）MP；（D）不確定。4.不超過100的自然數(shù)中，將凡是3或5的倍數(shù)的數(shù)相加，其和為。5.若x1，x2，x3，x4，x5為互不相等的正奇數(shù)，滿足(2005x1)(2005x2)(2005x3)(2005x4)(2005x5)242，則的未位數(shù)字是。6. a、b、c為正整數(shù)，且a2b3c4，求c的最小值。7. 已知：，那么_。8. 若，則=_9.已知a，b，c為整數(shù)，且ab=2006，ca=2005若ab，則abc的最大值為 10.已知0a1，且滿足，則的值等于 (表示不超過x的最大整數(shù))11已知，為互質(zhì)的正整數(shù)（即，是正整數(shù)，且它們的最大公約數(shù)為1），且8，（1） 試寫出一個滿足條件的x；（2） 求所有滿足條件的x12.小明家電話號碼原為六位數(shù)，第一次升位是在首位號碼和第二位號碼之間加上數(shù)字8，成為一個七位數(shù)的電話號碼；第二次升位是在首位號碼前加上數(shù)字2，成為一個八位數(shù)的電話號碼小明發(fā)現(xiàn)，他家兩次升位后的電話號碼的八位數(shù)，恰是原來電話號碼的六位數(shù)的81倍，則小明家原來的電話號碼是 13設(shè)，為互不相等的實數(shù)，且滿足關(guān)系式 求a的取值范圍14.已知abc0，且a+b+c=0, 則代數(shù)式的值是（ ）(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 015. 計算= .16.實數(shù)a,b滿足a3+b3+3ab=1,，則a+b= .17.設(shè)m是不能表示為三個合數(shù)之和的最大整數(shù)，則m= . 答案1718.已知正整數(shù)a、b之差為120，它們的最小公倍數(shù)是其最大公約數(shù)的105倍，那么a、b中較大的數(shù)是。19.a，b，c為有理數(shù)，且等式成立，則2a+999b+1001c的值是（ ）（A） 1999（B）2000（C）2001（D）不能確定20. 已知是正整數(shù)，并且，則= 。21. 一個正整數(shù)，若分別加上100和168，則可得到兩個完全平方數(shù)，這個正整數(shù)為 。22. 已知且，則_。23 .已知為整數(shù)，且滿足，則_。24設(shè)N=23x+92y為完全平方數(shù)，且不超過2392，則滿足上述條件的一切正整數(shù)對（x，y）共有 對。2725. 若4x3y6z=0，x+2y7z=0(xyz0)，則的值等于 ( ).(A) (B) (C) (D) 26. 已知，那么 .27. 若實數(shù)x，y，z滿足，則xyz的值為 .28. 已知實數(shù)a，b，c滿足：a+b+c=2，abc=4.（1）求a，b，c中的最大者的最小值；（2）求的最小值.29. 設(shè)，則與A最接近的正整數(shù)是( )A.18 B.20 C.24 D.2530. 若M=3x28xy9y24x6y13(x，y是實數(shù))，則M的值一定是( )A.正數(shù) B.負數(shù) C.零 D.整數(shù)31. 已知x1,x2,x3,x19都是正整數(shù)，且x1+x2+x3+x19=59，x12+x22+x32+x192的最大值為A，最小值為B，則A+B的值等于_。32. 從1，2.，205個共205 個正整數(shù)中，最多能取出多少個數(shù)。使得對于取出來的數(shù)中的任意三個數(shù)a,b,c (a,bba，選D解法2：a，bc解法3：r41cabc，選D3.M，N，P，MP，即MP0，即MP。4.不超過100的自然數(shù)中，將凡是3或5的倍數(shù)的數(shù)相加，其和為。解：(3132333)(5152520)(151152156)1683105031524185.解：因為x1，x2，x3，x4，x5為互不相等的正奇數(shù)，所以(2005x1)、(2005x2)、(2005x3)、(2005x4)、(2005x5)為互不相等的偶數(shù)而將242分解為5個互不相等的偶數(shù)之積，只有唯一的形式：2422(-2)46(-6)所以(2005x1)、(2005x2)、(2005x3)、(2005x4)、(2005x5)分別等于2、(-2)、4、6、(-6)所以(2005x1)2(2005x2)2(2005x3) 2(2005x4) 2(2005x5) 222(-2) 24262(-6) 296展開得：6.設(shè)a、b、c為正整數(shù)，且a2b3c4，求c的最小值。解：顯然c1.由題設(shè)得：(c2-a)(c2+a)=b3 若取由大到小考察b，使為完全平方數(shù)，易知當(dāng)b8時，c236，則c=6，從而a=28。下面說明c沒有比6更小的正整數(shù)解，列表如下：cc4x3(x3c4)c4-x32161,817,83811,8,27,6480,73,54,1742561,8,27,64,125,216255,248,229,192,131,4056251,8,27,64,125,216,343,512624,617,598,561,500,409,282,113顯然，表中c4-x3的值均不是完全平方數(shù)。故c的最小值為67.答：，即。10.解：因為01當(dāng)a1時， =10分又當(dāng)時，由，得 ， 將兩邊平方，結(jié)合得化簡得 ， 故 ，解得，或 所以，a的取值范圍為a1且，15分解法二：因為，所以，所以 又，所以，為一元二次方程 的兩個不相等實數(shù)根，故，所以a1當(dāng)a1時， =10分 另外，當(dāng)時，由式有 ，即 或 ，解得，或當(dāng)時，同理可得或所以，a的取值范圍為a1且，15分18.225；設(shè)()，且，其中，與互質(zhì)。于是的最小公倍數(shù)為。依題意有，即又，據(jù)式(2)可得根據(jù)式(1)，只能取，可求得故兩個數(shù)中較大的數(shù)是。22解：，即，。23解：左邊，即，而為整數(shù)，且不相等，只可能取值或。不妨設(shè)，則，或，（2）無整數(shù)解，由（1）得，。25. D由 解得 代入即得.26. .。27. 1.因為，所以，解得.從而，.于是.28. 解：（1）不妨設(shè)a是a，b，c中的最大者，即ab，ac，由題設(shè)知a0，且b+c=2-a，.于是b，c是一元二次方程的兩實根，0，0，0. 所以a4. （8分）又當(dāng)a=4，b=c=-1時，滿足題意. 故a，b，c中最大者的最小值為4.（10分）（2）因為abc0，所以a，b，c為全大于0或一正二負.1） 若a，b，c均大于0，則由（1）知，a，b，c中的最大者不小于4，這與a+b+c=2矛盾.2）若a，b，c為或一正二負，設(shè)a0，b0，c0，則，由（1）知a4，故2a-26，當(dāng)a=4，b=c=-1時，滿足題設(shè)條件且使得不等式等號成立。故的最小值為6. （15分）29. 31. 32. 35. 解：（1）滿足條件 5分（2）因為，為互質(zhì)的正整數(shù)，且8，所以， 即 當(dāng)a=1時，這樣的正整數(shù)不存在當(dāng)a=2時，故=1，此時當(dāng)a=3時，故=2，此時當(dāng)a=4時，與互質(zhì)的正整數(shù)不存在當(dāng)a=5時，故=3，此時當(dāng)a=6時，與互質(zhì)的正整數(shù)不存在當(dāng)a=7時，故=3，4，5此時，當(dāng)a=8時，故=5，此時所以，滿足條件的所有分數(shù)為，15分36. 解：設(shè)這5個自然數(shù)從小到大排列依次為x1，x2，x3，x4，x5，則x3=17當(dāng)這5個自然數(shù)中最大一個x5的可能值最大時，其他3個自然數(shù)必取最小的可能值，x1=0，x2=1，x4=18，此時x5=2437. 答案：15解： ， ，38. 解：設(shè)中有r個1、s個1、t個2，則 5分兩式相加，得s3t1103，故 2分 2分= 2分 2006367+200=2402當(dāng)時，取最小值200，2分當(dāng)時，取最大值24022分39.解：（1）能到達點（3，5）和點（200，6） 2分從（1，1）出發(fā)到（3，5）的路徑為：（1，1）（2，1）（4，1）（3，1）（3，2）（3，4）（3，8）（3，5） 3分從（1，1）出發(fā)到（200，6）的路徑為：（1，1）（1，2）（1，4）（1，3）（1，6）（2，6）（4，6）（8，6）（16，6）（10，6）（20，6）（40，6）（80，6）（160，6）（320，6）（前面的數(shù)反復(fù)減20次6）（200，6）3分（2）不能到達點（12，60）和（200，5） 2分理由如下： a和b的公共奇約數(shù)=a和2b的公共奇約數(shù)=2a和b的公共奇約數(shù)， 由規(guī)則知，跳躍不改變前后兩數(shù)的公共奇約數(shù) 如