D114對面積曲面積分(9).ppt

,第四節(jié),一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì),二、對面積的曲面積分的計(jì)算法,對面積的曲面積分,第十一章,一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì),引例: 設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度,類似求平面薄板質(zhì)量的思想, 采用,可得,求質(zhì),“大化小, 常代變, 近似和, 求極限”,的方法,量 M.,其中, 表示 n 小塊曲面的直徑的,(曲面的直徑為其上任意兩點(diǎn)間距離的最大者).,最大值,定義:,設(shè) 為光滑曲面,“乘積和式極限”,都存在,的曲面積分,其中 f (x, y, z) 叫做被積,據(jù)此定義, 曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為,曲面面積為,f (x, y, z) 是定義在 上的一,個有界函數(shù),或第一類曲面積分.,若對 做任意分割和局部區(qū)域任意取點(diǎn),則稱此極限為函數(shù) f (x, y, z) 在曲面 上對面積,函數(shù), 叫做積分曲面.,則對面積的曲面積分存在., 對積分域的可加性.,則有, 線性性質(zhì).,在光滑曲面 上連續(xù),對面積的曲面積分與對弧長的曲線積分性質(zhì)類似., 積分的存在性.,若 是分片光滑的,例如分成兩,片光滑曲面,定理: 設(shè)有光滑曲面,f (x, y, z) 在 上連續(xù),存在, 且有,二、對面積的曲面積分的計(jì)算法,則曲面積分,證明: 由定義知,而,( 光滑),說明:,可有類似的公式.,1) 如果曲面方程為,2) 若曲面為參數(shù)方程,只要求出在參數(shù)意義下dS,的表達(dá)式 ,也可將對面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為對參數(shù)的,二重積分.,例1. 計(jì)算曲面積分,其中 是球面,被平面,截出的頂部.,解:,思考:,若 是球面,被平行平面 z =h 截,出的上下兩部分,則,例2. 計(jì)算,其中 是由平面,坐標(biāo)面所圍成的四面體的表面.,解: 設(shè),上的部分, 則,與,原式 =,分別表示 在平面,例3. 計(jì)算,其中 是球面,利用對稱性可知,解: 顯然球心為,半徑為,利用重心公式,例4. 計(jì)算,其中 是介于平面,之間的圓柱面,分析: 若將曲面分為前后(或左右),則,解: 取曲面面積元素,兩片,則計(jì)算較繁.,例5. 求橢圓柱面,位于 xOy 面上方及平面,z = y 下方那部分柱面 的側(cè)面積 S .,解:,取,內(nèi)容小結(jié),1. 定義:,2. 計(jì)算: 設(shè),則,(曲面的其他兩種情況類似),注意利用柱面坐標(biāo)、對稱性、球面坐標(biāo)*、質(zhì)心公式,簡化計(jì)算的技巧.,思考與練習(xí),P219-220 題3；4 (1) ;,解答提示:,P219 題3.,設(shè),則,P246 題2,P217 題4 (1)., 在 xOy 面上的投影域?yàn)?這是 的面積 !,P220 題7.,如圖所示, 有,P246 題2.,限中的部分, 則有( ).,( 2000 考研 ),作業(yè),P219 4(3); 5(2); 6 (2), (4);,第五節(jié),備用題