2018版高中數(shù)學(xué)第2章圓錐曲線與方程2.4.2拋物線的幾何性質(zhì)學(xué)案蘇教版.doc

2.4.2拋物線的幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).2.能運(yùn)用拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)解決與拋物線有關(guān)的問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)一拋物線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)圖形性質(zhì)范圍x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0對(duì)稱軸x軸x軸y軸y軸頂點(diǎn)(0,0)離心率e1知識(shí)點(diǎn)二焦點(diǎn)弦直線過(guò)拋物線y22px (p0)的焦點(diǎn)F，與拋物線交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點(diǎn)，由拋物線的定義知，AFx1，BFx2，故ABx1x2p.知識(shí)點(diǎn)三直線與拋物線的位置關(guān)系直線ykxb與拋物線y22px(p0)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)決定于關(guān)于x的方程k2x22(kbp)xb20的解的個(gè)數(shù)當(dāng)k0時(shí)，若0，則直線與拋物線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；當(dāng)0時(shí)，直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)0)有幾條對(duì)稱軸？是不是中心對(duì)稱圖形？(2)影響拋物線開(kāi)口大小的量是什么？是如何影響的？答案(1)有一條對(duì)稱軸即y軸，不是中心對(duì)稱圖形(2)影響拋物線開(kāi)口大小的量是參數(shù)p.p值越大，拋物線的開(kāi)口越大，反之，開(kāi)口越小題型一拋物線的幾何性質(zhì)例1已知雙曲線方程是1，求以雙曲線的右頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及拋物線的準(zhǔn)線方程解因?yàn)殡p曲線1的右頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，所以2，且拋物線的焦點(diǎn)在x軸正半軸上，所以，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y28x，其準(zhǔn)線方程為x2.反思與感悟(1)注意拋物線各元素間的關(guān)系：拋物線的焦點(diǎn)始終在對(duì)稱軸上，拋物線的頂點(diǎn)就是拋物線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線始終與對(duì)稱軸垂直，拋物線的準(zhǔn)線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)和焦點(diǎn)關(guān)于拋物線的頂點(diǎn)對(duì)稱(2)解決拋物線問(wèn)題要始終把定義的應(yīng)用貫徹其中，通過(guò)定義的運(yùn)用，實(shí)現(xiàn)兩個(gè)距離之間的轉(zhuǎn)化，簡(jiǎn)化解題過(guò)程跟蹤訓(xùn)練1已知拋物線的對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上，以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1，2)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程解(1)當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為y2mx(m0)將點(diǎn)M(1，2)代入，得m4.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y24x；(2)當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2ny(n0)將點(diǎn)M(1，2)代入，得n.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y.故所求的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y24x或x2y.準(zhǔn)線方程為x1或y.題型二拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題例2已知拋物線方程為y22px(p0)，過(guò)此拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且ABp，求AB所在的直線方程解由題意知焦點(diǎn)F，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，若ABx軸，則AB2p0，即k1且k0時(shí)，直線l與拋物線C有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)直線l與拋物線C相交；當(dāng)0，即k1時(shí)，直線l與拋物線C有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)直線l與拋物線C相切；當(dāng)1時(shí)，直線l與拋物線C沒(méi)有公共點(diǎn)，此時(shí)直線l與拋物線C相離綜上所述，(1)當(dāng)k1或k0時(shí)，直線l與拋物線C有一個(gè)公共點(diǎn)；(2)當(dāng)k1時(shí)，直線l與拋物線C沒(méi)有公共點(diǎn)反思與感悟直線與拋物線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，等價(jià)于直線方程與拋物線方程聯(lián)立得到的方程組解的個(gè)數(shù)注意直線斜率不存在和得到的方程二次項(xiàng)系數(shù)為0的情況 跟蹤訓(xùn)練3 如圖，過(guò)拋物線y2x上一點(diǎn)A(4,2)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線AB，AC交拋物線于B，C兩點(diǎn)，求證：直線BC的斜率是定值證明設(shè)kABk(k0)，直線AB，AC的傾斜角互補(bǔ)，kACk(k0)，直線AB的方程是yk(x4)2.由方程組消去y后，整理得k2x2(8k24k1)x16k216k40.A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程組的解4xB，即xB.以k代換xB中的k，得xC，kBC.所以直線BC的斜率為定值1以x軸為對(duì)稱軸的拋物線的通徑(過(guò)焦點(diǎn)且與對(duì)稱軸垂直的弦)長(zhǎng)為8，若拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，則其方程為_(kāi)答案y28x或y28x解析設(shè)拋物線y22px或y22px(p0)，依題意得x，代入y22px或y22px得|y|p，2|y|2p8，p4.2若拋物線y2x上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點(diǎn)的距離，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)答案(，)解析由題意知，點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于它到頂點(diǎn)O的距離，因此點(diǎn)P在線段OF的垂直平分線上，而F(，0)，所以的P的橫坐標(biāo)為，代入拋物線方程得y，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)3拋物線y4x2上一點(diǎn)到直線y4x5的距離最短，則該點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)答案(，1)解析因?yàn)閥4x2與y4x5不相交，設(shè)與y4x5平行的直線方程為y4xm.則4x24xm0.設(shè)此直線與拋物線相切，此時(shí)有0，即1616m0，m1.將m1代入式，x，y1，故所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(，1)4經(jīng)過(guò)拋物線y22x的焦點(diǎn)且平行于直線3x2y50的直線l的方程是_答案6x4y30解析設(shè)直線l的方程為3x2yc0，拋物線y22x的焦點(diǎn)F(，0)，所以320c0，所以c，故直線l的方程是6x4y30.5已知直線xy10與拋物線yax2相切，則a_.答案解析由消去y得ax2x10，直線與拋物線相切，a0且14a0.a.1.討論拋物線的幾何性質(zhì)，一定要利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；利用幾何性質(zhì)，也可以根據(jù)待定系數(shù)法求拋物線的方程2直線與拋物線的相交弦問(wèn)題共有兩類，一類是過(guò)焦點(diǎn)的弦，一類是不過(guò)焦點(diǎn)的弦解決弦的問(wèn)題，大多涉及到拋物線的弦長(zhǎng)、弦的中點(diǎn)、弦的斜率常用的辦法是將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系，這樣避免求交點(diǎn)尤其是弦的中點(diǎn)問(wèn)題，還應(yīng)注意“點(diǎn)差法”的運(yùn)用3判斷直線與拋物線位置關(guān)系的兩種方法(1)幾何法：利用圖象，數(shù)形結(jié)合，判斷直線與拋物線的位置關(guān)系，但有誤差影響判斷的結(jié)果(2)代數(shù)法：設(shè)直線l的方程為ykxm，拋物線的方程為y22px(p0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關(guān)于x