2018版高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.4.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)學(xué)案新人教A版.doc

2.4.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解拋物線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等幾何性質(zhì).2.會(huì)利用拋物線的性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的拋物線問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)一拋物線的范圍思考觀察下列圖形，思考以下問(wèn)題：(1)觀察焦點(diǎn)在x軸的拋物線與雙曲線及橢圓的圖形，分析其幾何圖形存在哪些區(qū)別？(2)根據(jù)圖形及拋物線方程y22px(p0)如何確定橫坐標(biāo)x的范圍？答案(1)拋物線與另兩種曲線相比較，有明顯的不同，橢圓是封閉曲線，有四個(gè)頂點(diǎn)，有兩個(gè)焦點(diǎn)，有中心；雙曲線雖然不是封閉曲線，但是有兩支，有兩個(gè)頂點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)，有中心；拋物線只有一條曲線，一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，無(wú)中心.(2)由拋物線y22px(p0)有所以x0.所以拋物線x的范圍為x0.拋物線在y軸的右側(cè)，當(dāng)x的值增大時(shí)，y也增大，這說(shuō)明拋物線向右上方和右下方無(wú)限延伸.梳理拋物線y22px(p0)中，x0，)，y(，).拋物線y22px(p0)中，x(，0，y(，).拋物線x22py(p0)中，x(，)，y0，).拋物線x22py(p0)中，x(，)，y(，0.知識(shí)點(diǎn)二四種形式的拋物線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)圖形范圍x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR對(duì)稱軸x軸x軸y軸y軸焦點(diǎn)F(，0)F(，0)F(0，)F(0，)準(zhǔn)線方程xxyy頂點(diǎn)坐標(biāo)O(0，0)離心率e1通徑長(zhǎng)2p知識(shí)點(diǎn)三直線與拋物線的位置關(guān)系直線ykxb與拋物線y22px(p0)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)決定于關(guān)于x的方程組解的個(gè)數(shù)，即二次方程k2x22(kbp)xb20解的個(gè)數(shù). 當(dāng)k0時(shí)，若0，則直線與拋物線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；若0時(shí)，直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)；若0).拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3，即3，p6.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y212x或y212x，其準(zhǔn)線方程分別為x3或x3.引申探究將本例改為“若拋物線的焦點(diǎn)F在x軸上，直線l過(guò)F且垂直于x軸，l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OAB的面積等于4”，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.解由題意，設(shè)拋物線方程為y22mx(m0)，焦點(diǎn)F(，0)，直線l：x，所以A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)為(，m)，(，m)，所以|AB|2|m|.因?yàn)镺AB的面積為4，所以|2|m|4，所以m2.所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y24x.反思與感悟用待定系數(shù)法求拋物線方程的步驟跟蹤訓(xùn)練1已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，且與圓x2y24相交于A，B兩點(diǎn)，|AB|2，求拋物線方程.解由已知，拋物線的焦點(diǎn)可能在x軸正半軸上，也可能在負(fù)半軸上.故可設(shè)拋物線方程為y2ax(a0).設(shè)拋物線與圓x2y24的交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2).拋物線y2ax(a0)與圓x2y24都關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)A與B關(guān)于x軸對(duì)稱，|y1|y2|且|y1|y2|2，|y1|y2|，代入圓x2y24，得x234，x1，A(1，)或A(1，)，代入拋物線方程，得()2a，a3.所求拋物線方程是y23x或y23x.類型二拋物線的焦半徑和焦點(diǎn)弦問(wèn)題例2(1)過(guò)拋物線y28x的焦點(diǎn)，傾斜角為45的直線被拋物線截得的弦長(zhǎng)為_(kāi).(2) 直線l過(guò)拋物線y24x的焦點(diǎn)，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|8，則直線l的方程為_(kāi).(3)過(guò)拋物線y24x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|7，則AB的中點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離為_(kāi).答案(1)16(2)xy10或xy10(3)解析(1)由拋物線y28x的焦點(diǎn)為(2，0)，得直線的方程為yx2，代入y28x得(x2)28x即x212x40.所以x1x212，弦長(zhǎng)為x1x2p12416.(2)拋物線y24x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，若l與x軸垂直，則|AB|4，不符合題意，可設(shè)所求直線l的方程為yk(x1).由得k2x2(2k24)xk20，則由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x2.又AB過(guò)焦點(diǎn)，由拋物線的定義可知|AB|x1x2p28，6，解得k1.所求直線l的方程為xy10或xy10.(3)拋物線的焦點(diǎn)為F(1，0)，準(zhǔn)線方程為x1.由拋物線定義知|AB|AF|BF|x1x2p，即x1x227，得x1x25，于是弦AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，又準(zhǔn)線方程為x1，因此點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離為 1.反思與感悟(1)拋物線上任一點(diǎn)P(x0，y0)與焦點(diǎn)F的連線得到的線段叫做拋物線的焦半徑，對(duì)于四種形式的拋物線來(lái)說(shuō)其焦半徑的長(zhǎng)分別為：拋物線y22px(p0)，|PF|x0|x0；拋物線y22px(p0)，|PF|x0|x0；拋物線x22py(p0)，|PF|y0|y0；拋物線x22py(p0)，|PF|y0|y0.(2)已知AB是過(guò)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)的弦，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：y1y2p2，x1x2；|AB|x1x2p(為直線AB的傾斜角)；SABO(為直線AB的傾斜角)；以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.(3)當(dāng)直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線的對(duì)稱軸垂直時(shí)，直線被拋物線截得的線段稱為拋物線的通徑，顯然通徑長(zhǎng)等于2p.跟蹤訓(xùn)練2已知直線l經(jīng)過(guò)拋物線y26x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn).(1)若直線l的傾斜角為60，求|AB|的值；(2)若|AB|9，求線段AB的中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離.解(1)因?yàn)橹本€l的傾斜角為60，所以其斜率ktan 60.又F，所以直線l的方程為y. 聯(lián)立消去y得x25x0.若設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x25，而|AB|AF|BF|x1x2x1x2p，所以|AB|538.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線定義知|AB|AF|BF|x1x2x1x2px1x23，所以x1x26.于是線段AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3，又準(zhǔn)線方程是x，所以M到準(zhǔn)線的距離等于3.類型三拋物線綜合問(wèn)題命題角度1與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題例3拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P(x，y)為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)A(1，0)，求的最小值.解拋物線y24x的準(zhǔn)線方程為x1，如圖，過(guò)點(diǎn)P作PN垂直x1于點(diǎn)N，由拋物線的定義可知|PF|PN|，連接PA，在RtPAN中，sinPAN，當(dāng)最小時(shí)，sinPAN最小，即PAN最小，即PAF最大，此時(shí)，PA為拋物線的切線，設(shè)PA的方程為yk(x1)，聯(lián)立得k2x2(2k24)xk20，所以(2k24)24k40，解得k1，所以PAFNPA45，cosNPA.反思與感悟(1)若曲線和直線相離，在曲線上求一點(diǎn)到直線的距離最小問(wèn)題，可找到與已知直線平行的直線，使其與曲線相切，則切點(diǎn)為所要求的點(diǎn).(2)以上問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間線段最短”或“點(diǎn)到直線的垂線段最短”來(lái)解決.跟蹤訓(xùn)練3已知直線l1：4x3y60和直線l2：x1，拋物線y24x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是()A.2 B.3 C. D.答案A解析由題意知，直線l2：x1為拋物線y24x的準(zhǔn)線.由拋物線的定義知，點(diǎn)P到直線l2的距離等于點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)F(1，0)的距離.故所求最值可轉(zhuǎn)化為在拋物線y24x上找一個(gè)點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到點(diǎn)F(1，0)和到直線l1的距離之和最小，最小值為F(1，0)到直線 l1：4x3y60的距離，即d2.命題角度2定值或定點(diǎn)問(wèn)題例4拋物線y22px(p0)上有兩動(dòng)點(diǎn)A，B及一個(gè)定點(diǎn)M，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，若|AF|，|MF|，|BF|成等差數(shù)列.(1)求證：線段AB的垂直平分線過(guò)定點(diǎn)Q.(2)若|MF|4，|OQ|6(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求拋物線的方程.(1)證明設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，則|AF|x1，|BF|x2，|MF|x0，x0為已知值.由題意得x0，線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)為(x0，t)，其中t0(否則|AF|MF|BF|p0).而kAB，故線段AB的垂直平分線的方程為yt(xx0)，即t(xx0p)yp0，可知線段AB的垂直平分線過(guò)定點(diǎn)Q(x0p，0).(2)解由(1)知|MF|4，|OQ|6，得x04，x0p6，聯(lián)立解得p4，x02.拋物線方程為y28x.反思與感悟在拋物線的綜合性問(wèn)題中，存在著許多定值問(wèn)題，我們不需要記憶關(guān)于這些定值的結(jié)論，但必須牢牢掌握研究這些定值問(wèn)題的基本方法，如設(shè)直線的點(diǎn)斜式方程、根與系數(shù)關(guān)系的利用、焦半徑的轉(zhuǎn)化等.跟蹤訓(xùn)練4在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l與拋物線y24x相交于不同的A，B兩點(diǎn)，4，求證：直線l必過(guò)一定點(diǎn).證明設(shè)l：xtyb，代入拋物線y24x，消去x得y24ty4b0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y24t，y1y24b.又x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2t2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b，又4，b24b4，解得b2，故直線過(guò)定點(diǎn)(2，0).1.已知點(diǎn)A(2，3)在拋物線C：y22px的準(zhǔn)線上，記C的焦點(diǎn)為F，則直線AF的斜率為()A. B.1 C. D.答案C解析因?yàn)閽佄锞€C：y22px的準(zhǔn)線為x，且點(diǎn)A(2，3)在準(zhǔn)線上，故2，解得p4，所以y28x，所以焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2，0)，這時(shí)直線AF的斜率kAF.2.已知點(diǎn)P是拋物線y22x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)(0，2)的距離與點(diǎn)P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為()A. B.3 C. D.答案A解析拋物線y22x的焦點(diǎn)為F(，0)，準(zhǔn)線是l，由拋物線的定義知點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于它到準(zhǔn)線l的距離，因此要求點(diǎn)P到點(diǎn)(0，2)的距離與點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值，可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)P到點(diǎn)(0，2)的距離與點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離之和的最小值，結(jié)合圖形(圖略)不難得出相應(yīng)的最小值等于焦點(diǎn)F到點(diǎn)(0，2)的距離，因此所求距離之和的最小值為.3.過(guò)拋物線y24x的焦點(diǎn)作直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則|AB|_.答案8解析易知拋物線的準(zhǔn)線方程為x1，則線段AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3(1)4.由拋物線的定義易得|AB|8.4.已知過(guò)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為45的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的長(zhǎng)為8，則p_.答案2解析設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，易知過(guò)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)F，且傾斜角為45的直線的方程為yx，把xy代入y22px，得y22pyp20，y1y22p，y1y2p2.|AB|8，|y1y2|4，(y1y2)24y1y2(4)2，即(2p)24(p2)32.又p0，p2.5.已知拋物線C：y28x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K，點(diǎn)A在拋物線C上，且|AK|AF|，則AFK的面積為_(kāi).答案8解析易知F(2，0)，K(2，0)，過(guò)點(diǎn)A作AM垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)M，則|AM|AF|，|AK|AM|，AMK為等腰直角三角形.設(shè)A(m2，2m)(m0)，則AFK的面積S42m4m.又由|AK|AM|，得(m22)28m22(m22)2，解得m，AFK的面積S4m8. 1.拋物線的中點(diǎn)弦問(wèn)題用點(diǎn)差法較簡(jiǎn)便.2.軸對(duì)稱問(wèn)題，一是抓住對(duì)稱兩點(diǎn)的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上，二是抓住兩點(diǎn)連線的斜率與對(duì)稱軸所在直線斜率的關(guān)系.3.在直線和拋物線的綜合問(wèn)題中，經(jīng)常遇到求定值、過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題.解決這類問(wèn)題的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、參數(shù)法等.解決這些問(wèn)題的關(guān)鍵是代換和轉(zhuǎn)化.40分鐘課時(shí)作業(yè)一、選擇題1.已知拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線與曲線x2y24x50相切，則p的值為()A.2 B.1 C. D.答案A解析曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2y29，其表示圓心為(2，0)，半徑為3的圓，又拋物線的準(zhǔn)線方程為x，由拋物線的準(zhǔn)線與圓相切得23，解得p2.2.拋物線C：y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，M是拋物線C上的點(diǎn)，若OFM的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，且該圓的面積為36，則p的值為()A.2 B.4 C.6 D.8答案D解析OFM的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，OFM的外接圓的圓心到準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑.圓的面積為36，圓的半徑為6.又圓心在OF的垂直平分線上，|OF|，6，p8.3.拋物線yx2上的點(diǎn)到直線4x3y80的距離的最小值是()A. B. C. D.3答案A解析設(shè)拋物線yx2上一點(diǎn)為(m，m2)，該點(diǎn)到直線4x3y80的距離為，當(dāng)m時(shí)，取得最小值為.4.已知拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，其上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C的橫坐標(biāo)之比為345，則以|FA|，|FB|，|FC|為邊長(zhǎng)的三角形()A.不存在 B.必是銳角三角形C.必是鈍角三角形 D.必是直角三角形答案B解析設(shè)A，B，C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，x3，x13k，x24k，x35k(k0)，由拋物線定義得|FA|3k，|FB|4k，|FC|5k，易知三者能構(gòu)成三角形，|FC|所對(duì)角為最大角，由余弦定理可證該角的余弦值為正數(shù)，故該三角形必是銳角三角形.5.等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線y22px(p0)，O為拋物線的頂點(diǎn)，OAOB，則AOB的面積是()A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2答案B解析因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸為x軸，內(nèi)接AOB為等腰直角三角形，所以由拋物線的對(duì)稱性知，直線AB與拋物線的對(duì)稱軸垂直，從而直線OA與x軸的夾角為45.由方程組得或所以易得A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2p，2p)和(2p，2p).所以|AB|4p，所以SAOB4p2p4p2.6.已知點(diǎn)(x，y)在拋物線y24x上，則zx2y23的最小值是()A.2 B.3 C.4 D.0答案B解析因?yàn)辄c(diǎn)(x，y)在拋物線y24x上，所以x0，因?yàn)閦x2y23x22x3(x1)22，所以當(dāng)x0時(shí)，z最小，其值為3.二、填空題7.當(dāng)x1時(shí)，直線yaxa恒在拋物線yx2的下方，則a的取值范圍是_.答案(，4)解析由題可知，聯(lián)立整理可得x2axa0，當(dāng)a24a0時(shí)，解得a0或a4，此時(shí)直線與拋物線相切.因?yàn)橹本€恒過(guò)定點(diǎn)(1，0)，所以結(jié)合圖形(圖略)可知a(，4).8.已知拋物線y28x，過(guò)動(dòng)點(diǎn)M(a，0)，且斜率為1的直線l與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A，B，若|AB|8，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.答案(2，1解析將l的方程yxa代入y28x，得x22(a4)xa20，則4(a4)24a20，a2.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x22(a4)，x1x2a2，|AB|8，即1.又|AB|0，20)的焦點(diǎn)且與拋物線相交，其中一交點(diǎn)為(2p，2p)，則其焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)度為_(kāi).答案解析由題意知直線l過(guò)(，0)和(2p，2p)，所以l：y(x).聯(lián)立整理得8x217px2p20.由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x2，所以焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)度為x1x2p.10.已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，直線yx與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若P(2，2)為AB的中點(diǎn)，則拋物線C的方程為_(kāi).答案y24x解析設(shè)拋物線方程為y2kx，與yx聯(lián)立方程組，消去y，得x2kx0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， x1x2k.又P(2，2)為AB的中點(diǎn)，2.k4.y24x.三、解答題11.已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的拋物線截直線x2y10所得的弦長(zhǎng)為，求此拋物線的方程.解設(shè)拋物線方程為x2ay(a0)，由方程組消去y，得2x2axa0.直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，(a)242a0，即a8.設(shè)兩交點(diǎn)分別為A(x1，y1)