有感于顧沛教授主講“數(shù)學(xué)文化”

探索數(shù)學(xué)之美有感于顧沛教授主講“數(shù)學(xué)文化”2015年10月1516日，我有幸在重慶市大渡口區(qū)實驗小學(xué)參加了“2015年全國數(shù)學(xué)文化在小學(xué)素質(zhì)教育中的時間探索研討會”在會上顧沛教授雖然已年過六旬，但依然精神抖擻，談笑風(fēng)生；他是一名學(xué)者，潛心治學(xué)數(shù)十載，勇于創(chuàng)新，開數(shù)學(xué)文化之先河，倡導(dǎo)數(shù)學(xué)式理性思維，使原本晦澀艱深的理論知識變得妙趣橫生，耐人尋味；他是首屆國家級教學(xué)名師，南開大學(xué)“數(shù)學(xué)文化”課程的創(chuàng)始者和主講人。在會上，顧教授帶著他慣有的謙和與從容走上講壇，與大家漫談數(shù)學(xué)文化，分享數(shù)學(xué)之美。第一講到：走近“數(shù)學(xué)文化” 解密雙層內(nèi)涵他說：可能對很多人而言，“數(shù)學(xué)文化”一詞還是陌生的。在2003年教育部頒布的“數(shù)學(xué)課程標準”中，它首次作為官方用語出現(xiàn)，這之后便廣泛地流傳開來，時至今日，已有越來越多的人們更愿意從文化這一角度去關(guān)注數(shù)學(xué)，強調(diào)其文化價值。不同于物理、化學(xué)這些自然學(xué)科，數(shù)學(xué)是對事物高度抽象的結(jié)果，是人腦的產(chǎn)物，它為人們提供的是靈活的思考方式和解決問題的方法。而作為一種特殊的文化形態(tài)，“數(shù)學(xué)文化”又包含著狹義和廣義兩層內(nèi)涵，從狹義上說，它僅僅指的是數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點、語言，以及它們的形成和發(fā)展；而從更深層面上說，數(shù)學(xué)文化還涵蓋著數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文成分、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系。第二講到：提高數(shù)學(xué)素養(yǎng) 養(yǎng)成數(shù)學(xué)式思維一位數(shù)學(xué)教育家曾說過，不管人們從事什么工作，深深銘刻在頭腦中的數(shù)學(xué)的思想精神、數(shù)學(xué)的思維方法和看問題的著眼點等，都會隨時隨地發(fā)生作用，使人們終生受益。這種從數(shù)學(xué)角度出發(fā)看問題和解決問題的思維方式也正是顧教授所一直強調(diào)和提倡的“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”。通俗地說，也就是把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識都排除或忘掉之后所剩下的東西，這就要求我們要跳出公式和定理的本身，去探索更為本質(zhì)的東西。而面對中國現(xiàn)行的教育模式，顧教授又不無擔憂地指出，由于教學(xué)方式和內(nèi)容的局限，盡管一個人經(jīng)歷了至少長達十三年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，但卻往往只得皮毛，對數(shù)學(xué)的精髓毫無概念，在宏觀上把握數(shù)學(xué)的能力較差，也就是所謂的數(shù)學(xué)素養(yǎng)太差，甚至誤以為學(xué)數(shù)學(xué)就是為了解題、考試，而不了解數(shù)學(xué)在實際生活中的廣泛的應(yīng)用，這不得不說是教育的一大怪圈，為了解決這樣的弊端，同時也是本著教授數(shù)學(xué)的思想、精神和方法；提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)的初衷，由顧教授首創(chuàng)的南開大學(xué)“數(shù)學(xué)文化”公選課程便應(yīng)運而生了。那么，數(shù)學(xué)素養(yǎng)在我們的日常生活中又有哪些運用和體現(xiàn)呢？緊接著，顧教授便給大家看了一道關(guān)于“病狗”的題目，這道微軟公司招聘員工的考題，乍一看上去，似乎是簡單的腦筋急轉(zhuǎn)彎，仔細推敲，卻是一道設(shè)計巧妙的數(shù)學(xué)應(yīng)用題，正確的解答需結(jié)合運用反證法和數(shù)學(xué)歸納法，當謎底揭曉時，在座的每一位都為這其中所蘊涵的數(shù)學(xué)思維驚嘆不已。題目是：村子里有50個人，每人有一條狗。在這50條狗中有病狗(這種病不會傳染)。于是人們就要找出病狗。每個人可以觀察其他的49條狗，以判斷它們是否生病，只有自己的狗不能看。觀察后得到的結(jié)果不得交流，也不能通知病狗的主人。主人一旦推算出自己家的是病狗就要槍斃自己的狗，而且每個人只有權(quán)利槍斃自己的狗，沒有權(quán)利打死其他人的狗。第一天，第二天都沒有槍響。一直到第十天傳來一陣槍聲，問有幾條病狗，如何推算得出？他給了我們兩點：1、病狗肯定不止一條；2、數(shù)學(xué)歸納法。第三講到：從三次危機著手 了解數(shù)學(xué)歷史歷史告訴我們，科學(xué)的道路從不平坦，在數(shù)學(xué)的發(fā)展軌跡中，就曾發(fā)生過三次重大的危機，講座中，顧教授著重給為我們介紹了由牛頓的“無窮小”而引發(fā)的第二次數(shù)學(xué)危機。眾所周知，牛頓是20世紀最偉大的科學(xué)家之一，他的微積分理論更堪稱是一項劃時代的科學(xué)成就，蘊含著巨大的智慧和創(chuàng)新，然而這套運算方法卻因為存在邏輯上的問題而被英國大主教貝克萊猛烈攻擊，在接下來的兩百多年里，盡管數(shù)學(xué)家們不懈探索，嘗試各種各樣的方法，但都未能徹底反駁貝克萊的責難。直至柯西創(chuàng)立極限理論，才較好地解決了這一難題，而魏爾斯特拉斯數(shù)學(xué)語言的問世更是為這個困擾數(shù)學(xué)界長達兩個多世紀的爭論畫上了圓滿的句號。我們不得不感慨，知識的邏輯順序與歷史順序有時是不同的，書本上的知識往往是按部就班，從簡到繁，然而這些公式、定理的確立都是歷經(jīng)了無數(shù)次被懷疑，被否定，被考驗的過程，這其中數(shù)學(xué)家們付出的艱辛可想而知，站在前人的肩膀上的我們，要真正理解數(shù)學(xué)，學(xué)好數(shù)學(xué)，就應(yīng)該懂得發(fā)掘歷史，銘記這些背后的故事。第四講了十個例子 多重角度展現(xiàn)數(shù)學(xué)之美這十個例子是：例一：芝諾悖論與無限從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)很多人都聽過芝諾悖論中的“阿基里斯永遠追不上烏龜”的問題，顧沛在分析這個問題時，指出這一悖論的癥結(jié)在于混淆了有限與無限的問題。芝諾認為阿基里斯在追趕烏龜?shù)倪^程中，首先要到達烏龜原先的位置A，而這時烏龜已經(jīng)到了位置B，阿基里斯繼續(xù)追趕則要先到達B，這時烏龜又到達了位置C，以此類推，阿基里斯似乎永遠也追不上烏龜了，可是芝諾卻忽視了一個問題，無限長度或時間的和，可能是有限的。另一個與無限有關(guān)的是“有無限個房間的旅館”問題，一個有無限個房間的旅館客滿后來了一個客人，應(yīng)該怎樣安排他？答案很簡單，讓原先住在1號房的客人搬進2號房，原先住在2號房的客人住進3號房，以此類推，讓原先住在K號房的客人住進K+1號房，這樣就空出了1號房給新來的客人。同理，來了一個團的無窮個旅客，一萬個團的無窮個旅客甚至無窮個團的無窮個旅客也應(yīng)對自如了。在場的許多同學(xué)都有所領(lǐng)悟，給出了精彩的解答。奇妙的數(shù)學(xué)，從有限到無限，不可能的也成了可能。例二：海岸線的長度問題分形與混沌首先是分形問題。BBMandelbrot發(fā)現(xiàn)英國的海岸線永遠也無法測量，為什么呢？柯赫曲線的幾何現(xiàn)象說明了這個問題。（組圖略）這樣的一組圖具有自相似性，在測量海岸線時，如果尺子的長度精確度不同，那么海岸線的形狀就可以無限分形，當然無法準確測量了。正是這樣一個問題，發(fā)展成了數(shù)學(xué)界一個非常重要的分支?；煦鐔栴}。這個問題是ENLorenz在做天氣預(yù)報中發(fā)現(xiàn)的。大家都知道的“蝴蝶效應(yīng)”，也是一種混沌現(xiàn)象，由此可見，數(shù)學(xué)問題無處不在。例三：歷史上的數(shù)學(xué)危機數(shù)學(xué)的思想大解放顧沛講到，我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，卻不知道數(shù)學(xué)背后的歷史。牛頓為了計算瞬時速度，創(chuàng)立了微積分學(xué)，可是貝克萊卻對牛頓發(fā)難：無窮小作為一個量，究竟是否為0？在算式s/ t=gt+1/2 g( t)中，貝克萊質(zhì)疑道：如果無窮小量等于0，則等號左端無意義，若不等于0，則右邊的后一項不能隨意取掉，因此，反駁貝克萊成了一個棘手的問題。直到數(shù)百年后，柯西的極限理論的出現(xiàn)，“-”語言的出現(xiàn)。才消除了這一危機。由此可見，在數(shù)學(xué)中，知識的邏輯順序與歷史順序有時是不同的。例四：周髀算經(jīng)與勾股定理中國和世界數(shù)學(xué)的驕傲顧沛講到，很多人都知道北京2008年舉行奧運會，可是卻很少有人知道2002年在北京舉行的“國際數(shù)學(xué)家大會”，這是我國許多世界頂尖數(shù)學(xué)大師和政府爭取來的榮譽。這次大會的會徽就選擇了周髀算經(jīng)中勾股定理證明的圖形。美國宇航局的一次尋找外星人的行動中，也帶去了一個證明勾股圖形的黃金制品，可見勾股定理的證明是世界的驕傲。至今勾股定理的證明已經(jīng)多達380種了，而很多人，仍在探尋新的方法。例五：蒲豐投針問題什么是創(chuàng)新1777年，法國科學(xué)家蒲豐在宴請客人時，在地上鋪了一張白紙，上面畫著一條條等距離的平行線，而他給每個客人發(fā)許多等質(zhì)量的，長度等于平行線距離的一半的針，讓他們隨意投放。事后，蒲豐對針落地的位置進行統(tǒng)計，共投針2212枚，與直線相交的704枚，兩者相處，正好等于圓周率。求圓周率是一個幾何問題，而蒲豐卻用概率的方法解決了，完全不相同的兩個領(lǐng)域被神奇地聯(lián)系起來，這就是某種意義上的創(chuàng)新。例六：變換的方法化繁為簡來看一道很常見的數(shù)學(xué)題“小王先快后慢，以不規(guī)則的速度用100秒沿直線從A點走到B點，有先慢后快以相反的方式從B返回A，問什么情況下，在A，B間存在C使小王從A到B的時間等于從B到A的時間。為什么？”當然答案非常簡單，只需將第二次的小王換成大王。兩者同時出發(fā)，問題就變成了解決一個相遇問題了。而題目中大部分條件都是起迷惑作用的。顧沛在講完這道題后，告誡大家，現(xiàn)實的問題紛繁復(fù)雜，要學(xué)會用這些數(shù)學(xué)素養(yǎng)簡化條件，解決問題。例七：類比的方法舉一反三4個平面最多把空間分成多少個部分？答案是15個，但絕對不是由“4*4-1”得出的。方法是這樣的，四個平面的情況中最復(fù)雜的是這四個平面組成了一個四面體，然后將四面體平展成一個平面，于是主要問題就集中在四面體的棱把這個平面分成幾份了。將陌生的復(fù)雜的問題用熟悉的簡單的問題來類比，同樣也是生活中的數(shù)學(xué)應(yīng)用。例八：哥尼斯堡七橋問題抽象的觀點如何將哥尼斯堡的一條小河上的7座橋一次性走完呢？居民在多次嘗試無果后，來請教大數(shù)學(xué)家歐拉。于是聰明的歐拉將居民的問題抽象為一筆畫問題，在他的圖紙上，線條的交點被分為奇界點和偶界點，并得出了一筆畫問題能成功的充要條件：奇界點2個。這就是抽象的觀點的精髓：抓住問題本質(zhì)，突出問題本質(zhì)。例九：“變中有不變”的觀點數(shù)學(xué)的生命力數(shù)學(xué)大師陳省身先生，曾指出“三角形內(nèi)角和為108度”這個命題不好，而認為“n邊形的外角和為360度”是個好命題，因為它的變中有不變。例十：數(shù)學(xué)中的審美的思想數(shù)學(xué)的藝術(shù)數(shù)學(xué)中有很多種類的美，簡潔美、對稱美、統(tǒng)一美、奇異美顧教授給在座的展示了埃爾蘭根綱領(lǐng)，歐拉公式，黃金比，斐波那契數(shù)列等許多讓人匪夷所思的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，著實讓在座的每一位傾倒于數(shù)學(xué)的無限魅力。 最后一部分，顧教授由周髀算經(jīng)和勾股定理入手，運用十個具體形象的例子從不同的角度講述了數(shù)學(xué)文化和素養(yǎng)的魅力“蒲豐投針”告訴大家什么是創(chuàng)新；“變換的方法”教會同學(xué)們?nèi)绾位睘楹啠脭?shù)學(xué)素養(yǎng)簡化條件，解決問題；“類比