《信號和系統(tǒng)》PPT課件.ppt

第1章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng),1.1 引言 1.2 時域離散信號 1.3 時域離散系統(tǒng) 1.4 輸入輸出描述法 1.5 模擬信號的DSP方法,1.1 引言,信號是由一般活動產生的結果。電子學中指電波，化學中指物質成分， 地理學中指高低，經濟學中指貨幣，人口學中指人數。數字表示bit的 數字，或二進制的位。數字信號指用二進制數表示的信號。處理指為了 某種目的而從事的一系列操作。 數字信號處理是指用計算機對用二進制表示的、具有一定意義的數據信 息進行一系列的操作，實現人們的要求。 信號處理的過去:電子電路，簡單、快速，不精確、功能少、規(guī)模?。?后來：邏輯電路，性能穩(wěn)定，功能變化不靈活；現在:計算機，功能 多、性能高，復雜、成本高。 本課教大家：什么是DSP？它有什么用？怎么用？,DSP的應用主要有： （1）信號處理如數字濾波、自適應濾波、快速傅里葉變換、相關運算、譜分析、卷積、模式匹配、加窗、波形產生等； （2）通信如調制解調器、自適應均衡、數據加密、數據壓縮、回波抵消、多路復用、傳真、擴頻通信、糾錯編碼、可視電話等； （3）語音如語音編碼、語音合成、語音識別、語音增強、說話人辨認、說話人確認、語音郵件、語音存儲等； （4）圖形/圖像如二維和三維圖形處理、圖像壓縮與傳輸、圖像增強、動畫、機器人視覺等； （5）軍事如保密通信、雷達處理、聲納處理、導航、導彈制導等； （6）儀器儀表如頻譜分析、函數發(fā)生、鎖相環(huán)、地震處理等； （7）自動控制如引擎控制、聲控、自動駕駛、機器人控制、磁盤控制等； （8）醫(yī)療如助聽、超聲設備、診斷工具、病人監(jiān)護等； （9）家用電器如高保真音響、音樂合成、音調控制、玩具與游戲、數字電話/電視等。,Digital Representation of Information The key advantage of digital representation lies in the universality of representation. Since any medium, be it a text, an image, or a sound, is coded in unique form which ultimately results in a sequence of bits, all kinds of information can be handled in the same way and by the same type of equipment. Furthermore, transformations of digital information are error free, while analog transformations introduce distortions and noise. Digital representation permits the storage of different information types on the same device. Information may also be transmitted over a single digital network. Likewise, when digitized, all forms of information may be treated by computer programs, for editing, quality improvement, or recognition of the meaning of the information. The major drawback of the digital representation of information lies in coding distortion.The digitization process introduces a distortion of the information. Reducing this distortion may be achieved by increasing the sampling rate and the number of bits to code each sample. Images, sound, and motion video require a large amount of digital storage capacity.,1.2 時域離散信號,時域連續(xù)信號的自變量連續(xù)和函數連續(xù) 自變量連續(xù)和函數離散 模擬信號 時域離散信號的自變量離散和函數連續(xù) 序列 自變量離散和函數離散 數字信號,時域離散信號從模擬信號來 xa(nT)= xa(t)|t=nT 時域離散信號從觀測來 x(n)= ，1，1/13， 集合 實際信號處理中，這些數字序列值按順序放在存貯器中此時nT代表的是前后順序。為簡化，采樣間隔可以不寫，形成x(n)信號。對于具體信號，x(n) 代表第n個序列值。需要說明的是，這里n取整數，非整數時無定義，另外，在數值上它等于信號的采樣值，,序列的表示方法有兩種：公式，圖形。 常用的典型序列 1. 單位采樣序列 1， n=0 (n) = 0， n0 單位采樣序列和單位沖激信號如圖1.2.1所示。,2. 單位階躍序列 u(n) = 1, n0 0, n0 單位階躍序列如圖1.2.2所示。 (n)與u(n)之間的關系如下式所示： (n)=u(n)-u(n-1),3. 矩形序列RN(n) RN(n)= 1, 0nN-1 0， 其它n 上式中N稱為矩形序列的長度。當N=4時，R4(n)的波形如圖1.2.3所示。 矩形序列可用單位階躍序列表示，如下式： RN(n)=u(n)-u(n-N),4. 實指數序列 x(n)=anu(n)， a為實數 如果|a|1，則稱為發(fā)散序列。其波形如圖1.2.4所示。,5. 正弦序列 x(n)=sin(n) 式中稱為正弦序列的數字角頻率，單位是弧度，它表示單位序號正弦波轉過的相角。如果正弦序列是由模擬信號xa(t)采樣得到的，那么 xa(t)=sin(t) xa (t)|t=nT=sin(nT) x(n)=sin(n),因為在數值上，序列值與采樣信號值相等，因此得到數字角頻率與模擬角頻率之間的關系為 =T (1.2.10) (1.2.10)式具有普遍意義，它表示凡是由模擬信號采樣得到的序列，模擬角頻率與序列的數字域頻率成線性關系。由于采樣頻率fs與采樣周期T互為倒數，也可以表示成下式：,6. 復指數序列 x(n)=e(+j0)n 式中0為數字域頻率，設=0，用極坐標和實部虛部表示如下式： x(n)=e j0n x(n)=cos(0n)+jsin(0n) 由于n取整數，下面等式成立： e j(0+2M)n= e j0n, M=0,1,2,7. 周期序列 如果對所有n存在一個最小的正整數N，使下面等式成立： x(n)=x(n+N), -n (1.2.12) 則稱序列x(n)為周期性序列，周期為N，注意N要取整數。例如： 上式中，數字頻率是/4，由于n取整數，可以寫成下式： 上式表明 是周期為8的周期序列，其圖形如下。,下面討論一般正弦序列的周期性。 設 x(n)=Asin(0n+) 那么 x(n+N) =Asin(0(n+N)+) =Asin(0n+0N+) 如果 x(n+N)=x(n) 則要求0N=2k，或N=(2/0)k，式中k與N均取整數（？），且k的取值要保證N是最小的正整數（？） ，滿足這些條件，正弦序列才是以N為周期的周期序列。,具體正弦序列有以下三種情況： (1) 當2/ 0為整數時，k=1，正弦序列是以2/ 0為周期的周期序列。例如sin(/8)n， 0 =/8，2/ 0 =16,該正弦序列周期為16。 (2) 當2/ 0不是整數，是一個有理數時，設2/ 0 =P/Q，式中P、Q是互為素數的整數，取k=Q,那么N=P，則正弦序列是以P為周期的周期序列。例如sin(4/5)n， 0 =(4/5)，2/ 0 =5/2，k=2，該正弦序列是以5為周期的周期序列。 (3) 當2/ 0是無理數時，任何整數k都不能使N為正整數，因此，此時的正弦序列不是周期序列。例如， 0 =1/4,sin(0 n)即不是周期序列。 對于復指數序列ej0n的周期性也有同樣的分析結果?。 ,以上介紹了幾種常用的典型序列，對于任意序列，常用單位采樣序列的移位加權和表示，即,式中,(n-m)=,1, n=m 0，nm,這種任意序列的表示方法，在信號分析中是一個很有用的公式。例如：x(n)的波形如圖1.2.6所示，可以用(1.2.13)式表示成： x(n)=-2(n+2)+0.5(n+1)+2(n)+(n-1) +1.5(n-2)-(n-4)+2(n-5)+(n-6),圖1.2.6 用單位采樣序列移位加權和表示序列,1.2.2 序列的運算 在數字信號處理中，序列有下面幾種運算，它們是乘法、加法、移位、翻轉及尺度變換。 1.乘法和加法 序列之間的乘法和加法，是指它的同序號的序列值逐項對應相乘和相加，如圖1.2.7所示。,圖1.2.7 序列的加法和乘法,2. 移位、翻轉及尺度變換 設序列x(n)用圖1.2.8(a)表示，其移位序列x(n-n0)(當n0 =2時)用圖1.2.8(b)表示；當n0 0時稱為x(n)的延時序列；當n0 0時，稱為x(n)的超前序列。x(-n)則是x(n)的翻轉序列，用圖1.2.8(c)表示。x(mn)是x(n)序列每隔m點取一點形成的，相當于時間軸n壓縮了m倍。當m=2時，其波形如圖1.2.8(d)所示。,圖1.2.8 序列的移位、翻轉和尺度變換,1.3 時域離散系統(tǒng),設時域離散系統(tǒng)的輸入為x(n)，經過規(guī)定的運算，系統(tǒng)輸出序列用y(n)表示。設運算關系用T表示，輸出與輸入之間關系用下式表示： y(n)=Tx(n) (1.3.1) 其框圖如圖1.3.1所示。,圖1.3.1 時域離散系統(tǒng),1 線性系統(tǒng) 滿足疊加原理的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。設x1(n)和x2(n)分別作為系統(tǒng)的輸入序列，其輸 出分別用y1(n)和y2(n)表示，即 y1(n)=Tx1(n)，y2(n)=Tx2(n) 那么線性系統(tǒng)一定滿足下面兩個公式： T x1(n)+x2(n)= y1(n)+y2(n) (1.3.2) Ta x1(n)=a y1(n) (1.3.3) 滿足(1.3.2)式稱為線性系統(tǒng)的可加性；滿足(1.3.3)式稱為線性系統(tǒng)的比列性或齊次性，式中a是常數。將以上兩個公式結合起來，可表示成： y(n)=Tax1(n)+bx2(n) =ay1(n)+by2(n) =aTx1(n)+bTx2(n) (1.3.4) 上式中，a和b均是常數。,例1.3.1 證明y(n)=ax(n)+b(a和b是常數)，所代表的系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。 證明 y1(n)=Tx1(n)=ax1(n)+b y2(n)=Tx2(n)=ax2(n)+b y(n)=Tx1(n)+x2(n)=ax1(n)+ax2(n)+b y(n)y1(n)+y2(n) 因此，該系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。用同樣方法可以證明 所代表的系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。 ,2 時不變系統(tǒng) 如果系統(tǒng)對輸入信號的運算關系T在整個運算過程中不隨時間變化，或者說系統(tǒng)對于輸入信號的響應與信號加于系統(tǒng)的時間無關，則這種系統(tǒng)稱為時不變系統(tǒng)，用公式表示如下： y(n)=Tx(n) y(n-n0)=Tx(n-n0) (1.3.5) 例1.3.2檢查y(n)=ax(n)+b代表的系統(tǒng)是否是時不變系統(tǒng)，上式中a和b是常數。 解 已知 y(n)=ax(n)+b 響應 y(n-n0)=ax(n- n0)+b, 運算Tx(n- n0)=ax(n-n0)+b y(n- n0)=Tx(n- n0) 因此該系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。,例1.3.3檢查y(n)=nx(n)所代表的系統(tǒng)是否是時不變系統(tǒng)。解 已知y(n)=nx(n) y(n-n0)=(n- n0)x(n- n0) Tx(n- n0)=nx(n- n0) y(n- n0)Tx(n- n0) 因此該系統(tǒng)不是時不變系統(tǒng)。同樣方法可以證明 所代表的系統(tǒng)不是時不變系統(tǒng)。,3單位取樣響應 當線性時不變系統(tǒng)的輸入x(n)=(n)，輸出y(n)的初始狀態(tài)為零，系統(tǒng)的輸出，用h(n)表示。用公式表示為 h(n)=T(n) (1.3.6) 設系統(tǒng)的輸入用x(n)表示，按照(1.2.13)式表示成單位采樣序列移位加權和為 根據線性系統(tǒng)的疊加性質 又根據時不變性質 卷積 對于非線性系統(tǒng)，卷積關系成立嗎？,卷積中主要運算是翻轉、移位、相乘和相加，這類卷積稱為序列的線性卷積。設兩序列x(n)和h(n)分別的長度是N和M，線性卷積后的序列長度為(N+M-1)？。 線性卷積服從交換律、結合律和分配律。它們分別用公式表示如下： x(n)*h(n)=h(n)*x(n) (1.3.8) x(n)*h1(n)*h2(n)=(x(n)*h1(n)*h2(n) (1.3.9) x(n)*h1(n)+h2(n)=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n) (1.3.10),4 因果系統(tǒng)和穩(wěn)定系統(tǒng) 因果系統(tǒng)是 h(n)=0， n0 (1.3.13)滿足(1.3.13)式的序列稱為因果序列，因此因果系統(tǒng)的單位取樣響應必然是因果序列。 穩(wěn)定系統(tǒng)是輸入有界輸出也是有界的系統(tǒng)。,1.4 輸入輸出描述法,不管系統(tǒng)內部的結構如何，只描述或者研究系統(tǒng)輸出和輸入之間的關系，這種方法稱為輸入輸出描述法。對于模擬系統(tǒng)，用微分方程描述系統(tǒng)輸出輸入之間的關系。對于時域離散系統(tǒng)，用差分方程描述或研究輸出輸入之間的關系。對于線性時不變系統(tǒng)，經常用的是線性常系數差分方程。差分方程均指線性常系數差分方程。,1 線性常系數差分方程 一個N階線性常系數差分方程用下式表示： 2 線性常系數差分方程的求解 已知系統(tǒng)的輸入序列，通過求解差分方程可以求出輸出序列。求解差分方程的基本方法有以下三種： (1)經典解法。 (2)遞推解法。 (3)變換域方法。,(1.4.1),(1.4.2),或者,(1.4.1)式表明，已知輸入序列和N個初始條件，則可以求出n時刻的輸出；因此(1.4.1)式表示的差分方程本身就是一個適合遞推法求解的方程。 例1.4.1 設系統(tǒng)用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，輸入序列x(n)=(n)，求輸出序列y(n)。 解 該系統(tǒng)差分方程是一階差分方程，需要一個初始條件。 (1) 設初始條件 y(-1)=0，根據 y(n)=ay(n-1)+x(n)遞推： n=0時， y(0)=ay(-1)+(0)=1 n=1時， y(1)=ay(0)+(1)=a n=2時， y(2)=ay(1)+(2)=a2 n=n時， y(n)=an 所以y(n)=anu(n) ,1.5 模擬信號的DSP方法,模擬信號的數字信號處理方法是：采樣，量化編碼，數字信號處理，低通濾波。,圖1.5.1 模擬信號數字處理框圖,1 A/D變換器 對模擬信號進行采樣可以看作一個模擬信號通過一個電子開關S。設電子開關每隔周期T合上一次，每次合上的時間為T，在電子開關輸出端得到其采樣信號。,上式中(t)是單位沖激信號，在上式中只有當t=nT時，才可能有非零值，因此寫成下式： 想一想，兩信號在時域相乘的傅里葉變換等于兩個信號的傅里葉變換的卷積，按照(1.5.2)式，推導如下： 式中，s=2/T，稱為采樣角頻率，單位是弧度/秒。,(1.5.1),(1.5.2),上式表明采樣信號的頻譜是原模擬信號的頻譜沿頻率軸，每間隔一個采樣角頻率s重復出現一次。,圖1.5.3 采樣信號的頻譜,在圖1.5.3中，設xa(t)是帶限信號，最高截止頻率為c，其頻譜Xa(j)如圖1.5.3(a)所示。,需要說明：一般頻譜函數是復函數，相加應是復數相加，圖1.5.3和圖1.5.4僅是示意圖。一般稱fs/2為折疊頻率，只有當信號最高頻率不超過該頻率時，才不會產生頻率混疊現象，否則超過fs /2的頻譜會折疊回來形成混疊現象，因此頻率混疊均產生在fs /2附近。,圖1.5.4 采樣恢復,2 采樣定理 (1)對連續(xù)信號進行等間隔采樣形成的采樣信號，其頻譜是原連續(xù)信號的頻譜的周期延拓，周期為采樣頻率。 (2)設連續(xù)信號的最高頻率為c，如果采樣角頻率s2c，可以從采樣信號恢復原連續(xù)信號。,圖1.5.5 A/DC原理框圖,將模擬信號轉換成數字信號由A/DC(Analog/Digital Converter)完成，A/DC的原理框圖如圖1.5.5所示。通過按等間隔T對模擬信號進行采樣，得到一串采樣點上的樣本數據，這一串樣本數據可看作時域離散信號(序列)。設A/DC有M位，那么用M位二進制數表示并取代這一串樣本數據，即形成數字信號。因此，采樣以后到形成數字信號的這一過程是一個量化編碼的過程。例如：模擬信號xa(t)=sin(2ft+/8)，式中f=50Hz，選采樣頻率fs=200Hz，將t=nT代入Xa(t)中，得到采樣數據：,當n=0，1，2，3，時，得到序列x(n)如下： x(n)= 0.382683, 0.923879, -0.382683, -0.923879 ， 用M=6進行量化編碼，得數字信號 x(n)= 0.01100, 0.11101, 1.01100, 1.11101 , 再用十進制表示它時 x(n)= 0.37500, 0.90625, -0.37500, -0.90625 。這們一來，最后得到的信號就產生了誤差。,3 D/A變換器 用一個理想低通濾波器可以不失真地恢復原來的模擬信號。下面由(1.5.6)式表示的低通濾波器的傳輸函數G(j)推導其單位沖激響應g(t)：,因為s=2fs=2/T，因此g(t)也可以用下式表示：,將(1.5.7)式表示的g(t)和(1.5.2)式表示的xa(t)代入輸出的卷積公式，得到 如果采樣是滿足采樣定理的，則ya(t)=,(1.5.8),(1.5.9),圖1.5.6 內插函數g(t)波形，其作用是在個采樣點之間內的補充插入，但它是非因果的函數。 圖1.5.7 用內插函數的理想恢復,實際中的D/A變換過程是：解碼，零階保持，平滑濾波。 解碼是將數字信號轉成時域離散信號；零階保持器起內插的作用，也可以用一階線性函數作內插；平滑濾波是個低通濾波器。 零階保持器的單位沖激函數h(t)以及輸出波形如圖1.5.9所示。,圖1.5.8 D/AC方框圖,圖1.5.9 零階保持器,對h(t)進行傅里葉變換，得到其傳輸函數：,(1.5.10),圖1.5.10 零階保持器的頻率特性,其頻率特性是一個低通濾波器，與理想低通濾波器有明顯的差別，主要是在|/T區(qū)域有較多的高頻分量，表現在時域上是恢復出的模擬信號是臺階形的。因此需要在D/AC之后加平滑低通濾波器，濾除多余的高頻分量，對時間波形起平滑作用。雖然這種零階保持器恢復的模擬信號有些失真，但簡單、易實現，是經常使用的方法。,第一章 習題,1 （1）建立數學模型 該圖表示時域離散信號，即序列。 （2）MATLAB程序DSP1.m clear,close all n=-4:6; % x(n)的序號 xn=1,0,2,-1,2,1,2,4,0.5,0,2; stem(n,xn); xlabel(n);ylabel(xn) （3） 程序運行結果,3 （1）建立數學模型 設定A=1，2/=14/3是有理數，x(n)是周期序列，N=14。 （2）MATLAB程序DSP2.m n=0:20; xn=cos(3*pi*n/7-pi/8); stem(n,xn) （3） 程序運行結果,4 （1）建立數學模型 該題對應題1的序列x(n)，可以利用它。 （2）MATLAB程序DSP3.m n=-4:6; % x(n)的序號 xn=1,0,2,-1,2,1,2,4,0.5,0,2; subplot(2,1,1);stem(n,xn); xlabel(n);