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電子雙縫衍射實(shí)驗(yàn)的MATLAB演示xxx (xxxxxx理學(xué)院 09級(jí)物理學(xué)1班 云南 玉溪 653100)指導(dǎo)老師:xxxx摘要:依據(jù)電子衍射的幾率密度函數(shù),運(yùn)用蒙特卡洛隨機(jī)模擬方法,借助MATLAB編程和計(jì)算機(jī)可視化技術(shù)、繪圖技術(shù)、構(gòu)建電子雙縫衍射的動(dòng)態(tài)隨機(jī)過程、清晰的展示電子雙縫衍射的全過程。關(guān)鍵字:電子雙縫衍射;蒙特卡洛;幾率密度函數(shù);MATLAB;計(jì)算機(jī)模擬;波函數(shù)1.引言通過光的衍射現(xiàn)象和實(shí)驗(yàn)來進(jìn)一步揭示光的波動(dòng)性,說明衍射現(xiàn)象是光在空間或物質(zhì)中傳播的基本方式,同時(shí)說明衍射現(xiàn)象是討論現(xiàn)代光學(xué)問題的基礎(chǔ)1 。1924年,法國物理學(xué)家德布羅意(L.V.de Broglie)提出物質(zhì)波概念,并指出可以用晶體對(duì)電子的衍射實(shí)驗(yàn)加以證明。1961約恩孫(C.JOnsson)得到了電子單縫、雙縫衍射,說明電子具有波動(dòng)性2。M.Born(1926)提出把粒子性與波動(dòng)性統(tǒng)一起來,更確切地說,把微觀粒子的“原子性”與波的“相干疊加性”統(tǒng)一起來。他是在薛定諤方程來處理散射問題時(shí)為了解釋散射粒子的角度分布提出來的。他認(rèn)為量子力學(xué)中的波函數(shù)所描述的,并不像經(jīng)典波那樣代表什么實(shí)在的物理波動(dòng)性,只不過是刻畫粒子在空間的概率分布的概率波(probability wave)3。電子雙縫衍射4-7對(duì)實(shí)驗(yàn)儀器的穩(wěn)定性要求很高,實(shí)驗(yàn)平臺(tái)要求防震,環(huán)境的溫度濕度都對(duì)實(shí)驗(yàn)有一定的影響。由美國Mathworks公司推出的MATLAB8-11 是數(shù)值分析中較強(qiáng)的軟件,具有強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算、數(shù)據(jù)可視化與編程、仿真和圖形處理等功能,克服普通實(shí)驗(yàn)不利的因素,從而直觀的展示電子雙縫衍射的相關(guān)圖像,加深對(duì)原理概念的理解。對(duì)電子雙縫衍射幾率密度的計(jì)算推導(dǎo),采用MATLAB進(jìn)行編程,分別畫出e_number為100、1000、10000、20000個(gè)電子的雙縫衍射圖像與實(shí)驗(yàn)得出的進(jìn)行比對(duì),總結(jié)分析比對(duì)結(jié)果。2.電子雙縫衍射幾率密度函數(shù)2.1電子雙縫衍射幾率密度函數(shù)的理論 根據(jù)量子力學(xué)原理,任何微觀粒子都具有波粒二象性。微觀粒子的波動(dòng)性并不是由于粒子大量聚集在空間中形成的,即波動(dòng)性是單個(gè)微觀粒子所具有的特性。若已知微觀粒子的波函數(shù)12,13,則其模的平方表示的是微觀粒子出現(xiàn)在z點(diǎn)附近的幾率大小,與此相對(duì)應(yīng)的就是波動(dòng)光學(xué)中所說的光波強(qiáng)度,這被稱為波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋。設(shè)入射電子流很微弱,電子幾乎是一個(gè)一個(gè)經(jīng)過雙縫然后在感光底片上被記錄下來。起初,當(dāng)感光時(shí)間較短時(shí),底片上出現(xiàn)一些點(diǎn)子,它們看起來沒什么規(guī)律。當(dāng)感光時(shí)間足夠長(zhǎng)時(shí),底片上出現(xiàn)的點(diǎn)子愈來愈多,就會(huì)發(fā)現(xiàn)有的地方點(diǎn)子很密,有的地方則幾乎沒有點(diǎn)子,最后在底片上呈現(xiàn)出有律明亮布的條文1。2.2電子雙縫衍射幾率密度函數(shù)的計(jì)算 設(shè)質(zhì)量為m的電子經(jīng)電場(chǎng)加速后具有速度v,根據(jù)德布羅意的物質(zhì)波理論,電子的動(dòng)量和波長(zhǎng)的關(guān)系為: 當(dāng) (為光速)時(shí),電子波的波長(zhǎng)為: 式中U為加速電壓。按照波動(dòng)理論,電子穿過雙縫應(yīng)產(chǎn)生衍射現(xiàn)象。圖1是電子雙縫衍射原理圖。圖 1 電子雙縫衍射原理圖電子的雙縫衍射強(qiáng)度分布函數(shù)為: 式中,為處的衍射強(qiáng)度,為衍射角,為縫寬,為雙縫間距。當(dāng)時(shí)(為縫與屏的間距)下式成立: 把式代入式得: 由式知,衍射強(qiáng)度最大值在處,且。令 則為處相對(duì)于的衍射強(qiáng)度,顯然。圖l是電子雙縫衍射的示意圖。衍射屏位于平面,觀測(cè)屏位于平面,縫和的寬度均為,兩縫中心間距為,衍射屏到觀測(cè)屏的距離為。設(shè)動(dòng)量為、能量為E的自由電子沿軸正方向入射到雙縫,其波函數(shù)為: 設(shè)在時(shí)刻,波前到達(dá)雙縫處,由式可知,在雙縫處波函數(shù)為一常數(shù)。設(shè)在衍射屏上的波函數(shù)為: 根據(jù)費(fèi)曼的路徑積分理論,電子經(jīng)過雙縫而在t時(shí)刻到達(dá)觀測(cè)屏上P點(diǎn)的衍射波函數(shù)為: 式中,所以,電子經(jīng)過雙縫在觀測(cè)屏上P點(diǎn)出現(xiàn)的幾率密度為: 設(shè),則有: 代入有:其中,。2.3電子雙縫衍射動(dòng)態(tài)過程的實(shí)現(xiàn)根據(jù)幾率密度函數(shù)分布的隨機(jī)數(shù)系列,采用蒙特卡羅隨機(jī)抽樣的Von Neumannn的舍選發(fā)。舍選發(fā)的具體內(nèi)容為:計(jì)算機(jī)在一定的范圍內(nèi)隨機(jī)地選取觀測(cè)屏一坐標(biāo)點(diǎn),并計(jì)算,其中,是幾率密度函數(shù)在點(diǎn)的值,是幾率密度函數(shù)的最大值; 計(jì)算機(jī)產(chǎn)生一個(gè)0到1之間均勻分布的隨機(jī)數(shù); 將與進(jìn)行比較,若,則選取該點(diǎn),若,則舍去該點(diǎn),并重復(fù)至,重新選擇坐標(biāo)點(diǎn)。通過以上方法,即可以得到一個(gè)按分布的隨機(jī)數(shù)序列。這個(gè)隨機(jī)數(shù)序列就是實(shí)現(xiàn)電子衍射隨機(jī)運(yùn)動(dòng)過程的依據(jù)。3電子雙縫衍射實(shí)驗(yàn)MATLAB的可視化3.1電子雙縫衍射的MATLAB程序 h=6.62559e-34;m=9.10908e-31;e=1.6021e-19;U=1000;a=2e-7;b=1e-6;D=0.25; rd=h/sqrt(2*m*e*U); %計(jì)算電子波長(zhǎng)rd A=(pi*a)/(rd*D);B=pi*(a+b)/(rd*D); %計(jì)算A和B axis(-5e-5,5e-5,-4e-5,4e-5); %設(shè)置坐標(biāo)軸范圍 set(gca,color,0.122,0.012,0.62); %設(shè)置背景色 i=1; while i=M hold on %保留當(dāng)前坐標(biāo)系中已經(jīng)存在的圖形對(duì)象 h_point=plot(x,y,.r,EraseMode,none); %用紅色顯示符合條件的坐標(biāo)點(diǎn),并賦句柄值給h_point i=i+1; pause(1) %暫停1秒 set(h_point,color,w) %將當(dāng)前坐標(biāo)點(diǎn)由紅色變?yōu)榘咨?endend注釋:e_number只需更改電子數(shù)目幾率密度函數(shù): h=6.62559e-34;m=9.10908e-31;e=1.6021e-19;U=1000;a=2e-7;b=1e-6;D=0.25; rd=h/sqrt(2*m*e*U); %計(jì)算電子波長(zhǎng)rd A=(pi*a)/(rd*D);B=pi*(a+b)/(rd*D); %計(jì)算A和B axis(-5e-5,5e-5,-4e-5,4e-5) x=-3e-5:1e-8:3e-5; W=(sin(A*x).2)./(A*x).2).*(cos(B*x).2); %衍射幾率分布函數(shù) Warning: Divide by zero. plot(x,W,EraseMode,none); %將當(dāng)前坐標(biāo)點(diǎn)由紅色變?yōu)榘咨?3.2電子雙縫衍射圖像通過更改e_number分別為100、1000、10000、20000在MATLAB上畫出對(duì)應(yīng)的圖像: e_number=100的電子雙縫衍射圖像e_number=1000的電子雙縫衍射圖像e_number=10000的電子雙縫衍射圖像e_number=20000的電子雙縫衍射圖像幾率密度函數(shù)圖像4.結(jié)論 通過改變e_number,對(duì)比4個(gè)圖像,變化十分明顯。在普通的光學(xué)實(shí)驗(yàn)中,由于對(duì)儀器精度、實(shí)驗(yàn)環(huán)境的的要求非常高,在改實(shí)驗(yàn)變參數(shù)時(shí)引起條文變化不明顯,難以觀察,難以充分展示實(shí)驗(yàn)的特征。電子雙縫衍射圖像與幾率密度函數(shù)圖像完全吻合。致謝我衷心地感謝任xxxx在我寫論文中給予的認(rèn)真指導(dǎo)和提供的諸多幫助。參考文獻(xiàn)1 姚啟均.光學(xué)教程 .(第四版)出版時(shí)間:2008年6月2 普通物理實(shí)驗(yàn)3光學(xué)部分.(第四版)出版時(shí)間:2007(12)3 曾謹(jǐn)言.量子力學(xué)教程.(第二版)出版時(shí)間: 2003年2月4 羅禮進(jìn). 基于蒙特卡羅的電子雙縫衍射的計(jì)算機(jī)模擬J. 南通大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版). 2005(04)5 蔣練軍,金輝霞. 電子雙縫及多縫衍射的量子分析J. 云南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版). 2005(S2)6 王筠,吉紫鵑,肖鵬程. 楊氏雙縫實(shí)驗(yàn)中的干涉與衍射現(xiàn)象J. 湖北第師 范學(xué)院學(xué)報(bào). 2012(08)7 林連昶. 談雙縫干涉與雙縫衍射J. 寧波教育學(xué)院學(xué)報(bào). 2001(04)8 張崢、楊文平、石博強(qiáng)、李海鵬. MATLAB程序設(shè)計(jì)與實(shí)例應(yīng)用.出版時(shí)間:2003(11)9 張亮、郭仕劍、王寶順、賀興華.MTHLAB7 .X系統(tǒng)建模與仿真.出版時(shí)間:2006(11)10 賀興華、周媛媛、王繼陽、周輝.MTHLAB7 .X系統(tǒng)建模與仿真.出版時(shí)間:2006(11)11 陳鳳翔,汪禮勝,譚改娟,許文英. 量子力學(xué)虛擬實(shí)驗(yàn)的MATLAB演示J. 大學(xué)物理. 2012(05)12 張德偉. 淺談量子力學(xué)中的概率波J. 科教文匯(中旬刊). 2009(11)13 張樹林. 基于MATLAB的能級(jí)、波函數(shù)及幾率密度圖形的繪制J. 大學(xué)物理實(shí)驗(yàn). 2008(03)Electronic double-slit diffraction experiment MATLAB demoxxx(Yuxi Teachers College of Science 09 Physics classes Yuxi 653100)Directed by Prof. xxxxxAbstract: Based on the probability density function of the electron diffraction, the use of stochastic simulation Monte Carlo method, with MATLAB programming and computer visualization technology, graphics technology, build dynamic random process electronic dou

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