2018_2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章推理與證明2綜合法與分析法教案（含解析）北師大版.docx

2綜合法與分析法 綜合法閱讀下面的例題例：若實數(shù)a，b滿足ab2，證明：2a2b4.證明：因為ab2，所以2a2b2224，故2a2b4成立問題1：本題利用什么公式？提示：基本不等式問題2：本題證明順序是什么？提示：從已知到結(jié)論綜合法(1)含義：從命題的條件出發(fā)，利用定義、公理、定理及運算法則，通過演繹推理，一步一步地接近要證明的結(jié)論，直到完成命題的證明的思維方法，稱為綜合法(2)思路：綜合法的基本思路是“由因?qū)Ч?3)模式：綜合法可以用以下的框圖表示：其中P為條件，Q為結(jié)論.分析法你們看過偵探小說福爾摩斯探案集嗎？尤其是福爾摩斯在探案中的推理，給人印象太深刻了有時，他先假定一個結(jié)論成立，然后逐步尋找這個結(jié)論成立的一個充分條件，直到找到一個明顯的證據(jù)問題1：他的推理如何入手？提示：從結(jié)論成立入手問題2：他又是如何分析的？提示：逐步探尋每一結(jié)論成立的充分條件問題3：這種分析問題方法在數(shù)學(xué)問題證明中可以借鑒嗎？提示：可以分析法(1)含義：從求證的結(jié)論出發(fā)，一步一步地探索保證前一個結(jié)論成立的充分條件，直到歸結(jié)為這個命題的條件，或者歸結(jié)為定義、公理、定理等這種證明問題的思維方法稱為分析法(2)思路：分析法的基本思路是“執(zhí)果索因”(3)模式：若用Q表示要證明的結(jié)論，則分析法可以用如下的框圖來表示：得到一個明顯成立的條件1綜合法是從“已知”看“可知”逐步推向未知，由因?qū)Чㄟ^逐步推理尋找問題成立的必要條件它的證明格式為：因為，所以，所以所以成立2分析法證明問題時，是從“未知”看“需知”，執(zhí)果索因逐步靠攏“已知”，通過逐步探索，尋找問題成立的充分條件它的證明格式：要證，只需證，只需證因為成立，所以成立綜合法的應(yīng)用例1設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，且(3m)Sn2manm3(nN)，其中m為常數(shù)，且m3.(1)求證：an是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列an的公比為qf(m)，數(shù)列bn滿足b1a1，bnf(bn1)(nN，n2)，求證：為等差數(shù)列思路點撥解題的關(guān)鍵是利用等差、等比數(shù)列的定義進行證明精解詳析(1)由(3m)Sn2manm3，得(3m)Sn12man1m3，兩式相減，得(3m)an12man，(m3)，又m為常數(shù)，an為等比數(shù)列(2)(3m)Sn2manm3，(3m)a12ma1m3，又m3，a11，b1a11，由(1)，可得qf(m)(m3)，nN且n2時，bnf(bn1)，bnbn13bn3bn1，又易知bn0，.數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列一點通綜合法的解題步驟1已知x0，y0，xy1，求證：9.證明：因為xy1，所以52.又因為x0，y0，所以0，0.所以2，當(dāng)且僅當(dāng)，即xy時取等號則有5229成立2已知函數(shù)f(x)log2(x2)，a，b，c是兩兩不相等的正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，試判斷f(a)f(c)與2f(b)的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論解：f(a)f(c)2f(b)證明如下：因為a，b，c是兩兩不相等的正數(shù)，所以ac2.因為b2ac，所以ac2(ac)b24b，即ac2(ac)4b24b4，從而(a2)(c2)(b2)2.因為f(x)log2(x2)是增函數(shù)，所以log2(a2)(c2)log2(b2)2即log2(a2)log2(c2)2log2(b2)故f(a)f(c)2f(b).分析法的應(yīng)用例2當(dāng)ab0時，求證： (ab)思路點撥條件和結(jié)論的聯(lián)系不明確，考慮用分析法證明，將要證明的不等式一步步轉(zhuǎn)化為較簡單的不等式精解詳析要證 (ab)，只需證()22，即證a2b2(a2b22ab)，即證a2b22ab.因為a2b22ab對一切實數(shù)恒成立，所以(ab)成立一點通分析法證明不等式的依據(jù)、方法與技巧(1)解題依據(jù)：分析法證明不等式的依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)、已知的重要不等式和邏輯推理的基本理論；(2)適用范圍：對于一些條件復(fù)雜，結(jié)構(gòu)簡單的不等式的證明，經(jīng)常用綜合法而對于一些條件簡單、結(jié)論復(fù)雜的不等式的證明，常用分析法；(3)思路方法：分析法證明不等式的思路是從要證的不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，最后得到的充分條件是已知(或已證)的不等式；(4)應(yīng)用技巧：用分析法證明數(shù)學(xué)命題時，一定要恰當(dāng)?shù)赜煤谩耙C”、“只需證”、“即證”等詞語3已知ABC三邊a，b，c的倒數(shù)成等差數(shù)列，求證：B為銳角證明：要證B為銳角，根據(jù)余弦定理，只需證明cos B0，即證a2c2b20.由于a2c2b22acb2，要證a2c2b20，只需證2acb20.a，b，c的倒數(shù)成等差數(shù)列，即2acb(ac)要證2acb20，只需證b(ac)b20，即b(acb)0，上述不等式顯然成立，B為銳角4若a，b，c是不相等的正數(shù)，求證：lg lg lg lg alg blg c.證明：要證lg lg lg lg alg blg c，只需證lglg(abc)，只需證abc.由于0，0，0，且上述三式中的等號不全成立，所以abc.因此lg lg lg lg alg blg c.綜合法和分析法的應(yīng)用例3已知0a1,0b1,00，b0，c0.要證1，只需證1abbccaabcabc，即證1abbcca(abcabc)0.1abbcca(abcabc)(1a)b(a1)c(a1)bc(1a)(1a)(1bcbc)(1a)(1b)(1c)，又a1，b1，c1，(1a)(1b)(1c)0，1abbcca(abcabc)0成立，即1.一點通綜合法推理清晰，易于書寫，分析法從結(jié)論入手，易于尋找解題思路，在實際證明命題時，常把分析法與綜合法結(jié)合起來使用，稱為分析綜合法，其結(jié)構(gòu)特點是：根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q；根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論P；若由P可推出Q，即可得證5已知ABC的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c為三個內(nèi)角對應(yīng)的邊長，求證：.證明：法一：要證，即證3，即證1.即證c(bc)a(ab)(ab)(bc)，即證c2a2acb2.ABC三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列B60.由余弦定理，有b2c2a22cacos 60，即b2c2a2ac.c2a2acb2成立，命題得證法二：ABC三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列B60.由余弦定理，有b2c2a22cacos 60，即b2c2a2ac.c2a2acb2，c2a2bcabacb2bcab，即c(bc)a(ab)(ab)(bc)，等式兩邊同除以(ab)(bc)，得1.113，即3，.6證明函數(shù)f(x)log2(x)是奇函數(shù)證明：|x|，x0恒成立，f(x)log2(x)的定義域為R，要證函數(shù)ylog2(x)是奇函數(shù)，只需證f(x)f(x)，只需證log2(x)log2(x)0，只需證log2(x)(x)0，(x)(x)x21x21，而log210.上式成立故函數(shù)f(x)log2(x)是奇函數(shù)分析法與綜合法的優(yōu)缺點：綜合法和分析法是直接證明的兩種基本方法，兩種方法各有優(yōu)缺點分析法解題方向較為明確，容易尋找到解題的思路和方法，缺點是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結(jié)論，較簡捷地解決問題，但不便于思考實際證題時常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后用綜合法有條理地表述解題過程1要證明(a0)可選擇的方法有多種，其中最合理的是()A綜合法B類比法C分析法 D歸納法解析：選C直接證明很難入手，由分析法的特點知用分析法最合理2命題“對于任意角，cos4sin4cos 2”的證明：“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 2 ”，其過程應(yīng)用了()A分析法B綜合法C綜合法、分析法綜合使用D間接證法解析：選B結(jié)合分析法及綜合法的定義可知B正確3用分析法證明命題“已知ab1.求證：a2b22a4b30.”最后要具備的等式為()Aab Bab1Cab3 Dab1解析：選D要證a2b22a4b30，即證a22a1b24b4，即(a1)2(b2)2，即證|a1|b2|，即證a1b2或a1b2，故ab1或ab3，而ab1為已知條件，也是使等式成立的充分條件4已知a，b為正實數(shù)，函數(shù)f(x)x，Af，Bf()，Cf，則A，B，C的大小關(guān)系為()AABC BACBCBCA DCBA解析：選A因為函數(shù)f(x)x為減函數(shù)，所以要比較A，B，C的大小，只需比較，的大小，因為，兩邊同乘得：ab，即，故，ABC.5.如圖所示，在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件_時，有A1CB1D1(注：填上你認(rèn)為正確的一個條件即可，不必考慮所有可能的情形)解析：要證A1CB1D1，只需證B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1，因為該四棱柱為直四棱柱，所以B1D1CC1，故只需證B1D1A1C1即可答案：對角線互相垂直(本題答案不唯一)6如果abab，則正數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件是_解析：ab(ab)a()b()()(ab)()2()只要ab，就有abab.答案：ab7閱讀下列材料：根據(jù)兩角和與差的正弦公式，有sin()sin cos cos sin ，sin()sin cos cos sin ，由得sin()sin()2sin cos ，令A(yù)，B，有，代入得sin Asin B2sin cos .類比上述推證方法，根據(jù)兩角和與差的余弦公式，證明：cos Acos B2sin sin .證明：cos()cos cos sin sin ，cos()cos cos sin sin ，得cos()cos()2sin sin .令A(yù)，B，有，代入得cos Acos B2sin sin .8在